《高数上期中复习》PPT课件.ppt

高等数学 上 期中复习 基本概念 基本定理 基本方法 1 概念罗列函数 有确定对应规则 自变量 定义域及求法 有 上 下 界 无界 奇 偶函数 单调 增 减 函数 复合函数 直接函数与反函数 关于y x对称 基本初等函数及对应图形 初等函数 极限 左右极限 单侧极限 无穷大与无穷小 无穷小的阶 高阶 低阶 同阶 数量阶 等价无穷小 连续 3定义 间断 间断点分类 导数 高阶导数 相关变化率 微分 线性主部 极值 驻点 最值 极值与最值区别 7种自变量的变化 1 自变量n 双侧 双侧 单侧 单侧 2 极限定义 7种自变量变化的精准定义 1 自变量n 2 自变量x x0 3 自变量x x0 0 4 自变量x x0 0 6 自变量x 5 自变量x 7 自变量x 5种函数的变化 5种函数变化的精准定义 1 函数f x A 2 无穷小 3 f x 无穷大 4 f x 正无穷大 5 f x 负无穷大 极限的7个定义及无穷大与无穷小的相应定义组合的例子 设f x 在 x 充分大时有定义 如果 对于X 0 当 x X时 恒有 设在的某一去心邻域内有定义 如果对于当时 有 或 设在的某一去心邻域内有定义 如果对于当时 有 或 1 用倒推法导出希望的条件 不是结果或事实 证极限是从出发导出N 或 或X 技巧是放大 证 是从出发导出N 或 或X 技巧是縮小 2 套定义复述 即 用定义证极限 或 的步骤 当时 有 共35个可能 例 设 用定义证明 2 1 3 基本定理极限及无穷小的性质 无穷小与极限的关系 极限性质 惟一 有界 保号 局部服从全体 极限的四则运算与复合运算性质 参与的变量极限一定要存在 连续函数经 与复合运算后仍连续 闭区间上连续函数的 两类 性质 有界 介值 可导必连续 连续不一定可导 左右极限 左右连续 左右导数 可导充要条件是可微 dy y dx 4个微分中值定理 4 极限的求法 若函数连续 初等函数在定义区间内连续 四则运算 有理函数在的计算公式 去0因子 及有理化 变量代换 有界与无穷小之积是无穷小 无穷大与无穷小 除0外 互为倒数关系 两准则 两极限 等价无穷小替换 注 只用于乘除 加减不能用 洛必达法则 5 导数的求法定义 导数是切线斜率 多用于抽象函数或分段函数在固定点 初等函数求导 基本初等函数求导公式 求导 运算法则 复合函数求导公式 反函数求导公式 隐函数求导方法 对数求导法 参数方程求导公式 高阶导数公式 隐函数求导要点 方程两端同时关于x求导 遇到y时 将y当作中间变量 先对y求导 然后 马上乘以y 最后解出y 对数求导注意点 要充分地使用对数性质 将对数性质发挥至极致 适用于 1 幂指函数 2 多因子乘积 参数方程求导注意点 y y 是t的函数 对t求导后一定要及时除以xt 3 莱布尼茨 Leibniz 公式 高阶导数公式 求高阶导数的方法小结 抽象函数关于某一点或分段函数在分段点求 高阶 导数 多用定义求得 具体函数的低阶导数要由一阶导数 二阶导数 依序算出 简单函数类的高阶导数求至3 4阶后 尽量把它们变换成同一形式 用不完全归纳法得一般规律 或套公式 1 做 简单函数类指f x xa ex ax sinx cosx Lnx等和中间变量为线性的函数复合而成 不太复杂函数的高阶导数 先化成简单函数类的线性组合 而后用高阶导数的线性运算法则即公式 2 做 尤其是多项式和简单函数类乘积的高阶导数 用Leibniz公式 6 微分中值定理 条件 满足 1 在闭区间 a b 上连续 2 在开区间 a b 内可导 3 结论 在开区间 a b 内至少有一点 使 微分中值定理的特点 罗尔中值定理适用于有关方程的根 牵涉到一个函数 拉格朗日中值定理的适用于有关函数的改变量 拉格朗日中值定理的推论 导数为零的函数是常数 适用于恒等式 柯西中值定理适用于方程的根 牵涉到两个函数 泰勒中值定理涉及函数的高阶导数 例设f x 在 0 1 上连续 0 1 内可导 f 0 1 f 1 0 证明 至少存在一点 0 1 使得 此类 辅助函数F x x f x 例设f x 可导 证明f x 的任意两个零点之间一定有的零点 此类 辅助函数F x ekxf x 7 洛必达法则 24个 使用说明 1 可反复使用 但每次使用前