【DOC】期中测试卷.doc

期中测试卷作者：黄丽芳说明：本试卷分为第、卷两部分，请将第卷选择题的答案填入题后括号内，第卷可在各题后直接作答.共150分，考试时间120分钟.第卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.教室内有一直尺，无论怎样放置，在地面总有直线与直尺所在直线A.平行B.垂直C.相交D.异面解析：当直尺与地面相交时，A不成立；当直尺与地面平行时，C不成立；当直尺在地面内时，D不成立.答案：B2.设不同直线m、n和不同平面、,给出下列四个命题:m;n;m、n异面;m.其中假命题有A.0个B.1个C.2个D.3个解析:正确;错误,因为n可能在内;错误,因为m、n可能平行;错误,因为m可能平行于.答案：B3.一个简单多面体共有12个面和8个顶点,其中两个顶点处各有6条棱,其他顶点处各有相同数目的棱,则其他顶点各有_条棱A.4B.5C.6D.7解析:F=12,V=8,E=V+F2=18.设其他顶点各有x条棱,则有E=,解得x=4.答案:A4.已知a=（1t,1t,t),b=(2,t,t),则|ba|的最小值是A.B.C.D.解析：ba=（2,t,t)(1t,1t,t)=(1+t,2t1,0),|ba|=.答案：C5.设a、b是平面外的任意两条线段，则“a、b的长相等”是“a、b在平面内的射影长相等”的A.非充分也非必要条件B.充要条件C.必要而非充分条件D.充分而非必要条件解析：从平面外一点向这个平面引垂线段和斜线段，条件不足，结论就不正确.在这里，a、b长相等，它们的射影不一定相等；a、b射影相等，a、b长也不一定相等.答案：A6.a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面、，对于下列4种情况，可能的情况种数有b b A.1B.2C.3D.4解析：观察如下两个图，由图（1）可知，b可能，亦可能.由图（2）可知 可能，但若b,则ba与已知条件矛盾.故b不可能.答案：C7.设P是60的二面角l内一点,PA平面,PB平面,垂足分别为A、B,PA=4,PB=2,则AB的长是A.2B.2C.2D.4解析:由已知条件易得APB=120,|AB|=.答案:C8.已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点，如果AB=AC=BC=2，则球心到平面ABC的距离为A.1B.C.D.2解析：如图所示，设该球的半径为R，S表=4R220,R=.在ABC中,AB=BC=AC=2,由正弦定理，得ABC外接圆的半径r=2.所求距离为=1.答案：A9.两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm,把它们重叠在一起组成一个新长方体,在这个新长方体中,最长的对角线的长度是A. cmB.7 cmC.5 cmD.10 cm解析:两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况,分别计算三种情况的体对角线为、,所以最长的对角线为=5.答案:C10.正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面边长为1,侧棱长为,则这个棱柱侧面对角线E1D与BC1所成的角是A.90B.60C.45D.30解析:连结FE、FD，则由正六棱柱相关性质得FE1BC1.在EFD中,EF=ED=1,FED=120，FD=.在RtEFE1和RtEE1D中,易得E1F=E1D=.E1FD是等边三角形.FE1D=60.BC1与DE1所成的角为60.答案:B11.球的直径为d,体积为V球，一正方体的棱长为a,体积为V正，若它们有相同的表面积，则有A.da,V球V正B.da,V球V正C.dV正D.da,V球a.排除C、D，从而正方体的体积为a3=d3.而V球=()3=d3,1,故选A.答案：A12.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB=AC=，BB1=BC=6，E、F为侧棱AA1上的两点，且EF=3,则多面体BB1C1CEF的体积为A.30B.18C.15D.12解析：V=SA1F,VEABC=SABCAE,V=V (V+VEABC)=SABCAA1SABC(AA1EF)=SABC6SABC=5SABC=30.答案：A第卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)13.正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面成60二面角,则异面直线AD和BF所成角的余弦值是_.解析:如图,DAF=60,设正方形棱长为1,则FD=1.又CD面ADF,RtCDF中,CF=.又BC=1,BF=,cosCBF=,即AD与BF所成角的余弦值为.答案: 14.如图，在底面边长为2的正三棱锥VABC中，E是BC的中点，若VAE的面积是，则侧棱VA与底面所成角的大小为_.（结果用反三角函数值表示） 解析：如图，作VO垂直于AE，由正三棱锥VABC,得O为ABC的中心.AE=2=，AEVO=，得VO=，tanVAO=,得VA与底面所成的角的大小为arctan.答案：arctan15.在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，则B、D间的距离为_.解：如下图，因为ACD=90，所以=0.同理=0.AB与CD成60角，所以, =60或120.= + +，2=2+2+2+2+2+2=2+2+2+2=3+211cos, =|=2或，即B、D间的距离为2或.答案：2或16.正四棱锥的侧棱长是底面边长的k倍，则k的取值范围是_.解析：如图所示，设正四棱锥VABCD底面中心为O，令BC=a,则VB=ka,而OB=a,在RtVOB中,cosVBO=.VBO(0,),01,1k+, k+.k的取值范围是（，+).答案：(,+)三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分12分）如图，两条线段AB、CD所在的直线是异面直线，CD平面，AB，M、N分别是AC、BD的中点，且AC是AB、CD的公垂线段.（1）求证：MN ;（2）若AB=CD=a，AC=b，BD=c，求线段MN的长.（1）证明：过B作BB,垂足为B，连结CB、DB，设E为BD的中点，连结NE、CE，则NEBB且NE=BB.又AC=BB，MCNE,四边形MCEN为平行四边形（矩形）.3分MNCE.又CE,MN,MN.6分（2）解：由（1）知MN=CE，AB=CB=a=CD,BD=,9分CE=,即线段MN的长为.12分18.（本小题满分12分）如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB=a.（1）求证：平面AD1B1平面C1DB；（2）求证：A1C平面AD1B1；（3）求平面AB1D1与平面BC1D之间的距离.（1）证明：D1B1DB,D1B1平面C1DB.1分同理AB1平面C1DB.2分又D1B1AB1=B1，平面AD1B1平面C1DB.3分（2）证明：A1C1D1B1，而A1C1为A1C在平面A1B1C1D1上的射影，A1C1D1B1.5分同理A1CAB1，D1B1AB1=B1，A1C平面AD1B1.7分（3）解：设A1C平面AB1D1=M，A1C平面BC1D=N，O1、O分别为上底面A1B1C1D1、下底面ABCD的中心，则MAO1，NC1O,且AO1C1O，MN的长即等于平面AD1B1与平面C1DB的距离,10分即MN=A1M=NC=A1C=a.12分19.（本小题满分12分）如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是一直角梯形,BAD= 90,ADBC,AB=BC=a,AD=2a,PA底面ABCD,PD与底面成30角.(1)若AEPD,E为垂足,求证:BEPD;(2)求异面直线AE与CD所成的角.(1)证明:以A为原点,AB、AD、AP所在直线为坐标轴,建立直角坐标系,则A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,2a,0),P(0,0,a),2分=(a,0,0)(0,2a,a)=0.又=0, .PDBE.4分(2)解:PA面ABCD,PD与底面成30角,PDA=30.6分过E作EFAD,垂足为F,则AE=a,EAF=60,AF=a,EF=a,E(0,a, a).8分于是=(0, a, ).又C(a,a,0),D(0,2a,0),=(a,a,0).10分设与的夹角为,则cos=.=arccos.12分20.（本小题满分12分）如图，点P为斜三棱柱ABCA1B1C1的侧棱BB1上一点，PMBB1交AA1于点M，PNBB1交CC1于点N.（1）求证：CC1MN；（2）在任意DEF中有余弦定理DE2=DF2+EF22DFEFcosDFE.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所成的二面角之间的关系式，并予以证明.（1）证明：CC1BB1CC1PM,CC1PN,2分CC1平面PMNCC1MN.5分（2）解：在斜三棱柱ABCA1B1C1中，有S2=S2+S22SScos，其中为平面CC1B1B与平面CC1A1A所组成的二面角.7分CC1平面PMN，上述的二面角为MNP.8分在PMN中，PM2=PN2+MN22PNMNcosMNPPM2CC12=PN2CC12+MN2CC122(PNCC1)（MNCC1）cosMNP.10分由于S=PNCC1S=MNCC1S=PMBB1，有S2=S2+S22SScos.12分21.（本小题满分12分）在斜三棱柱A1B1C1ABC中，底面是等腰三角形,AB=AC，侧面BB1C1C底面ABC.（1）若D是BC的中点，求证：ADCC1；（2）过侧面BB1C1C的对角线BC1的平面交侧棱于M，若AM=MA1，求证：截面MBC1侧面BB1C1C；（3）AM=MA1是截面MBC1平面BB1C1C的充要条件吗？请叙述判断理由.（1）证明：AB=AC,D是BC的中点，ADBC.1分底面ABC平面BB1C1C，AD侧面BB1C1C.2分ADCC1.3分（2）证明：延长B1A1与BM交于N，连结C1N.AM=MA1.NA1=A1B1,4分A1B1=A1C1,A1C1=A1N=A1B1.C1NC1B1.5分底面NB1C1侧面BB1C1C，C1N侧面BB1C1C.6分截面C1NB侧面BB1C1C.截面MBC1侧面BB1C1C.7分（3）解：结论是肯定的，充分性已由（2）证明，8分下面证明必要性.过M作MEBC1于点E，连结DE.截面MBC1侧面BB1C1C，ME侧面BB1C1C.9分又AD侧面BB1C1C，MEAD，M、E、D、A四点共面.10分AM侧面BB1C1C，AMDE.四边形AMED是平行四边形.11分CC1AM，DECC1.D是BC的中点，E是BC1的中点.AM=DE=CC1=AA1.AM=MA1.12分22.（本小题满分14分）如图，已知三棱柱ABCA1B1C1的各棱长均为2，侧棱B1B与底面ABC所成角为,且侧面ABB1A1垂直于底面ABC，（1）求证：ABCB1；（2）求三棱锥B1ABC的体积；（3）求二面角CAB1B的大小.（1）证明：在平面ABB1A1内，过B1点作B1DAB于D.侧面ABB1A1平面ABC，B1D平面ABC.2分B1BA是B1B与底面ABC所成的角，即B1BA=60.3分又三棱柱的各棱长均为2，ABB1是正三角形.D是AB的中点.连结CD，在正ABC中，CDAB，ABCB1.5分