求通项1答案.doc

1、（全国二20）（本小题满分12分）设数列的前项和为已知，（）设，求数列的通项公式；（）若，求的取值范围解：（）依题意，即，由此得4分因此，所求通项公式为，6分（）由知，于是，当时，当时，又综上，所求的的取值范围是12分2、（四川卷20）（本小题满分12分） 设数列的前项和为，已知（）证明：当时，是等比数列；（）求的通项公式解：由题意知，且两式相减得即 （）当时，由知于是又，所以是首项为1，公比为2的等比数列。（）当时，由（）知，即 当时，由由得因此得3解：()对一切有，即 , () 由及两式相减,得: 是等差数列,且, . 说明:本小题也可以运用先猜后证(数学归纳法)的方法求解.() 由,知,因此,只需证明. 当或时,结论显然成立.当时,所以,原不等式成立.3数列an满足a1=1，an=an11(n2)（1）若bn=an2，求证bn为等比数列；（2）求an的通项公式 3.解析： (1)由an=an11得an2= (an12)即，(n2)bn为以1为首项，公比为的等比数列(2)bn=(1)( )n1，即an2=()n1an=2()n14已知数列中，是其前项和，并且，设数列，求证：数列是等比数列；设数列，求证：数列是等差数列；求数列的通项公式及前项和。4、解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b 已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3 由和得，数列b是首项为3，公比为2的等比数列，故b=32当n2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+25（本小题满分12分）已知满足，（1）求证：是等比数列；（2）求这个数列的通项公式.5、解：6已知是正项数列的前项和，且=.（1） 求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和6、解：（1）令，得：又，.由 由左右两边同时相减可得所以，即：所以 ，所以是等差数列，且.（2）， 设的前项和为， 则= 由-得:=所以，=. 7已知数列中，其前n项和满足（1）试求数列的通项公式；（2）令是数列的前n项和，证明：；（2） 证明：对任意的，均存在，使得（2）中的成立 7解：（1）由得，即又，故数列的通项公式为 （2），（3）证明：由（2）可知若，则得：，化简得，当，即当，即，取即可，综上可知,对任意的均存在使得时（2）中的成立.8 (本小题满分16分) 已知数列的前项和为, 且.设,求b1并证明数列为等比数列；设,求证是等差数列.8解:（1）a1=1，b1=52=3， （2分）由,得， 两式相减得, （4分）即，亦即 （6分） （8分）对nN恒成立，bn为首项为3，公比为2的等比数列（10分）（2）由（1）得bn=32n1，bn=an12an 12分），即，又 c1= （15分）为首项为，公差为的等差数列. （16分）9（本小题满分12分）已知公差不为0的等差数列的前项和为，且满足，又依次成等差数列，数列满足，其中为大于0的常数。（1）求数列，的通项公式；（2）记数列的前项和为，若当且仅当时，取得最小值，求实数的取值范围。9.解：（1）设等差数列的公差为，依题意得：，解得，所以，3分所以，所以；6分（2），因为，所以数列是递增数列，8分当且仅当时，取得最小值，则：，所以，即的取值范围是。12分10.（本小题满分14分）以数列的任意相邻两项为坐标的点均在一次函数的图象上，数列满足条件：，求证：数列是等比数列；设数列、的前项和分别为、，若，求的值10.证明：由条件得 显然 1 分（若，则，那么点Pn在一次函数的图象上，与条件不符）为常数， 5分所以数列是公比为2的等比数列 7分由得：， 9分 10分，12分由得代入得 14分11（本小题满分14分）已知数列满足：（1）求数列的通项公式；（2）证明：；（3）设，且，证明：11解：（1）由，得令，有 又b12a12，（3分） （4分）（2）证法1：（数学归纳法）1，当n1时，a11，满足不等式（5分）2，假设nk（k1，kN*）时结论成立即，那么 即（7分）又由1，2可知，nN*，都有成立（9分）（3）证法2：由知：， 当n1时，综上（2）证法3： 为递减数列当n1时，an取最大值an1 由（1）中知 综上可知（3）欲证：即证（12分）即ln（1Tn）Tn0，构造函数f （x）ln（1x）x当x0时，f（x）0 函数yf （x）在（0，）内递减f （x）在0，）内的最大值为f （0）0当x0时，ln（1x）x0又Tn0，ln（1Tn）Tn0 不等式成立（14分）12本小题满分12分已知数列 1当为何值时，数列可以构成公差不为零的等差数列，并求其通项公式 2若令求数列的前n项和(此题主要考查数列等差等比数列的概念数列的递推公式数列前n项和的求法，同时考查学生的分析问题与解决问题的能力，逻辑推理能力及运算能力)12、解：I 、T 天星版权天星om权13、（10分）已知数列中，。（1）求的值。（2）猜想的通项公式，并给予证明。13解：（1）n=1时 =21+1=3 n=2时 =23+1=7 n=3时 =27+1=15tesoon天星om权天星om权T 天星版权tesoontesoontesoon天星14、（本小题满分12分） 在数列中，为常数，且成公比不等于1的等比数列. （）求的值； （）设，求数列的前项和14、解：（）为常数，. 2分.又成等比数列，解得或.4分当时，不合题意，舍去. . 6分（）由（）知，. 8分 10分 12分15.（本题满分14分）已知数列的前项和为，对一切正整数，点都在函数的图象上，且过点的切线的斜率为（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和；（3）设，等差数列的任一项，其中是中的最小数，求的通项公式15.解：（1）点都在函数的图象上，,当时，当1时，满足上式，所以数列的通项公式为（4分）（2）由求导得过点的切线的斜率为，.用错位相减法可求（10分）（3）,.又，其中是中的最小数，.是公差是4的倍数，.又，,解得27.所以，设等差数列的公差为，则，即为的通项公式（14分）16、.设（I）是否存在常数p,q使an+pn+q为等比数列？若存在，求出p、q的值，若不存在，说明理由。（II）求an的通项公式；（III）当n5时，证明：an(n+2)2。（文科只做（I）（II）问）16.解: （1）设得 可见应有 因此存在常数p=1,q=2，使为等比数列（II）由于是以a1+1+2=4为首项，2为公比的等比数列， （III）当n5时， 而（n+16） 当n5时，17、（本小题满分12分）设各项为正数的等比数列的首项，前n项和为，且。（）求的通项；（）求的前n项和。17、（本小题满分14分）解：（）由 得 即可得因为，所以 解得，因而 （）因为是首项、公比的等比数列，故则数列的前n项和 前两式相减，得 即 18、已知数列满足,（n=2,3,4,）其中为非零常实数.（I）当时, 求; （II）求证:数列是等差数列,并求出数列的通项公式. 18、解: ( I ) 当2时, 计算可得 -2分 (II) 因为， 所以 所以，故 因此， 所以是以为首项, 公差为的等差数列,- 4分所以, 所以,所以.-6分 19、 （本题满分12分）已知数列的前项之和为，点在直线上，数列满足()。（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项之和。19、（本小题满分12分） （1）由已知条件得=2n+1n=n(2n+1) . -2分当n=1时,a1=S1=3; -3分当n2时,an=Sn-Sn-1=4n-1a1符合上式an=4n-1; -6分 （2）bn=43n+1Tn=6(3n-1)+n; -12分20、已知数列满足=1，=，（1）计算，的值；（2）归纳推测，并用数学归纳法证明你的推测.20、解：（1）a1=1，an+1=，a2= a3=，a4= （2）推测an= 证明：1当n=1时，由（1）已知，推测成立。 2假设当n=k时，推测成立，即ak= 则当n=k+1时，ak+1=这说明，当n=k+1时，推测成立。 综上1、2，知对一切自然数n，均有an=21、（本小题满分12分）数列的前项和为，若.（I）若数列+c成等比数列，求常数c的值；（II）求数列的通项公式；（）数列中是否存在三项,它们可以构成等差数列?若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在, 请说明理由 21、解：（I）当时有：n，(n+1)，两式相减得：2。分（）。又，分数列是首项6，公比为2的等比数列从而分 （II）由（1）知：+3，分（）假设数列中是否存在三项,(rst),它们可以构成等差数列, 只能是,（）（）（）即，、均为正整数，式左边为奇数右边为偶数，不可能成立因此数列中不存在可以构成等差数列的三项12分22、（本小题满分14分）已知数列满足（I）求，的值；（）求数列的通项公式；（）记，若对于任意正整数都有成立，求实数的取值范围。22、解：（I）（）原式两边取倒树，则 上式两边取对数，则解得（）由题中不等式解得，对于任意正整数均成立注意到，构造函数则设函数由对成立，得为上的减函数，所以即对成立，因此为上的减函数，即，故23、（本小题满分12分）数列中，（是不为零的常数，），且成等比数列（1）求的值；（2）求的通项公式；（3）求数列的前项之和解2 24、（本小题满分12分）已知满足，（1）求证：是等比数列；（2）求这个数列的通项公式.解（2）25、 已知数列，且, , 其中k=1,2,3,.（）求，（II）求通项公式.25、解： （I）a2=a1+(1)1=0,a3=a2+31=3. a4=a3+(1)2=4, a5=a4+32=13, 所以，a3=3,a5=13. (II) a2k+1=a2k+3k = a2k1+(1)k+3k, 所以a2k+1a2k1=3k+(1)k, 同理a2k1a2k3=3k1+(1)k1, a3a1=3+(1). 所以(a2k+1a2k1)+(a2k1a2k3)+(a3a1)=(3k+3k1+3)+(1)k+(1)k1+(1), 由此得a2k+1a1=(3k1)+(1)k1,于是a2k+1= a2k= a2k1+(1)k=(1)k11+(1)k=(1)k=1 an的通项公式为： 当n为奇数时，an= 当n为偶数时，26、(陕西20)（本小题满分12分）已知数列的