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幂函数2017届数学组 问题引入 1 如果回收旧报纸每公斤 元 某班每年卖旧报纸 公斤 所得价钱 是关于 的函数 2 如果正方形的边长为 面积 这里 是关于 的函数 3 如果正方体的边长为 正方体的体积为 这里 是关于 函数 4 如果一个正方形场地的面积为 这个正方形的边长为 这里 是关于 的函数 5 如果某人 秒内骑车行驶了 他骑车的平均速度是 这里 是关于 的函数 我们先看几个具体问题 以上各题目的函数关系分别是什么 以上问题中的函数具有什么共同特征 y x 一 幂函数的定义 注意 1 幂函数的解析式必须是y x 的形式 同时满足 系数为1 底数是自变量x且指数为常数 2 定义域与 的关系 一般地 函数y x 叫做幂函数 其中x是自变量 是常数 a x x 幂函数与指数函数的对比 判断一个函数是幂函数还是指数函数切入点 看看自变量x是指数还是底数 幂函数 指数函数 2 若幂函数y f x 的图象过点 则函数的解析式为 二 幂函数的图像及性质 0 减 0 减 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 公共点 0 减 增 增 0 增 增 单调性 奇 非奇非偶 奇 偶 奇 奇偶性 0 R 0 R 值域 0 定义域 y x 1 y x3 y x2 y x 函数性质 常见幂函数的性质 在第一象限内 函数图象的变化趋势与指数有什么关系 在第一象限内 当 0时 图象随x增大而上升 当 0时 图象随x增大而下降 不管指数是多少 图象都经过哪个定点 在第一象限内 当 0时 图象随x增大而上升 当 0时 图象随x增大而下降 图象都经过点 1 1 0时 图象还都过点 0 0 点 幂函数的性质 所有的幂函数在 0 都有定义 并且函数图象都通过点 1 1 幂函数的定义域 奇偶性 单调性 因函数式中 的不同而各异 如果 0 则幂函数的图象过点 1 1 并在 0 上为减函数 如果 0 则幂函数的图象过点 0 0 1 1 并在 0 上为增函数 当 为偶数时 幂函数为偶函数 4 当 为奇数时 幂函数为奇函数 练习1 如果函数是幂函数且在区间 0 内是减函数 求满足条件的实数m 练习2 如图所示 曲线是幂函数y xk在第一象限内的图象 已知k分别取四个值 则相应图象依次为 一般地 幂函数的图象在直线x 1的右侧 大指数在上 小指数在下 指大图高 在y轴与直线x 1之间正好相反 练习 小结 形如y x 为常数 的函数叫做幂函数 3 幂值比较
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