《走向清华北大》高考总复习 数系的扩充与复数的引入课件.ppt

第五十三讲数系的扩充与复数的引入 回归课本 1 复数的有关概念 1 形如a bi的数叫做复数 其中a和b都是实数 其中a叫做复数z的实部 b叫做复数z的虚部 对于复数a bi a b r 当且仅当b 0时 它是实数 当b 0时 叫做虚数 当a 0且b 0时 叫做纯虚数 2 复数的相等即如果a b c d都是实数 那么a bi c di a c且b d a bi 0 a 0且b 0 注意 1 如果两个复数都是实数 则可以比较大小 否则 不能比较大小 2 复数相等的条件是把虚数问题转化为实数问题的重要依据 是虚数问题实数化这一重要数学思想方法的体现 2 复平面的概念建立直角坐标系来表示复数的平面 叫做复平面 x轴叫做实轴 y轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实数 除原点外 虚轴上的点都表示纯虚数 各象限内的点都表示虚数 复数集c和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的 复数集c与复平面内所有以原点o为起点的向量组成的集合也是一一对应的 3 共轭复数概念当两个复数的实部相等 虚部互为相反数时 这两个复数叫做互为共轭复数 复数z的共轭复数用表示 即z a bi 则 a bi a b r 注意 1 实数a的共轭复数仍是a本身 即z z r 2 z a bi与z a bi a b r 互为共轭复数 则z 2a z 2bi z z z 2 2 4 复数的加法与减法 1 复数的加减法运算法则 a bi c di a c b d i 2 复数加法的运算定律复数的加法满足交换律 结合律 即对任何z1 z2 z3 c 有z1 z2 z2 z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 3 复数加 减法的几何意义 复数加法的几何意义若复数z1 z2对应的向量不共线 则复数z1 z2是以为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数 复数减法的几何意义复数z1 z2是连接向量的终点 并指向被减数向量所对应的复数 5 复数的乘法与除法设z1 a bi z2 c di 1 复数的乘法运算法则z1z2 a bi c di ac bd bc ad i 交换律z1 z2 z2 z1 结合律 z1 z2 z3 z1 z2 z3 分配律z1 z2 z3 z1z2 z1z3 2 复数的除法运算法则 a bi c di c di 0 注意 特殊复数及其运算 1 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i n n 考点陪练 1 2010 北京 在复平面内 复数6 5i 2 3i对应的点分别为a b 若c为线段ab的中点 则c对应的复数是 a 4 8ib 8 2ic 2 4id 4 i解析 两个复数对应的点分别为a 6 5 b 2 3 则c 2 4 故其对应的复数为2 4i 答案 c 2 2010 陕西 复数在复平面上对应的点位于 a 第一象限b 第二象限c 第三象限d 第四象限 答案 a 3 2010 湖北 若i为虚数单位 图中复平面内点z表示复数z 则表示复数的点是 a eb fc gd h 答案 d 答案 b 答案 a 类型一复数的概念解题准备 处理有关复数基本概念的问题 关键是掌握复数的相关概念 找准复数的实部与虚部 即实部和虚部必须是实数 从定义出发解决问题 本题考查复数集的分类及复数的几何意义 用标准的代数形式 因为容易确定其实部与虚部 若不然 则应先化为代数形式后再依据概念求解 典例1 已知复数z m2 1 i m 3 i 6i 则当m为何实数时 复数z是 1 实数 2 虚数 3 纯虚数 4 零 5 对应点在第三象限 分析 复数z a bi的分类取决于其实部a与虚部b的不同取值 解 z m2 3m m2 m 6 i m m 3 m 2 m 3 i 1 当m 2或m 3时 z为实数 2 当m 2且m 3时 z为虚数 3 当m 0时 z为纯虚数 4 当m 3时 z 0 反思感悟 利用复数的有关概念求解 使复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法 也是化归思想的重要表现 类型二复数的相等解题准备 1 两个复数z1 a bi a b r z2 c di c d r 当且仅当a c且b d时 z1 z2 特别地 当且仅当a b 0时 a bi 0 即两复数相等 其实部与实部 虚部与虚部分别相等 2 两个实数可以比较大小 但是两个复数 如果不全是实数 它们之间就不能比较大小 只能说相等或不相等 3 复数相等的重要条件提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径 典例2 设存在复数z同时满足下列条件 1 复数z在复平面内对应的点位于第二象限 2 z 2iz 8 ai a r 试求a的取值范围 解 设z x yi x y r 则 x yi 由 1 知x0 又 2iz 8 ai a r 故 x yi x yi 2i x yi 8 ai 即 x2 y2 2y 2xi 8 ai y 0 4 y 1 2 0 36 a2 0 即a2 36 6 a 6 又2x a 而x 0 a 0 故 6 a 0 a的取值范围为 6 0 反思感悟 1 复数相等当且仅当复数的实部与虚部分别相等 利用这一性质可以解决以下问题 解复数方程 方程有解时系数的值 求轨迹方程 2 复数问题实数化是复数问题的最基本也是最重要的思想方法 其转化的依据就是复数相等的充要条件 基本思路是 设出复数的代数形式z x yi x y r 由复数相等可以得到两个实数等式所组成的方程组 从而可以确定两个独立的基本量 类型三复数代数形式的运算解题准备 1 复数代数运算的实质是转化为实数运算 在转化时常用的知识有复数相等 复数的加 减 乘 除运算法则 模的性质 共轭复数的性质 2 一些常用的结论 1 i 2 2i i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i i4n i4n 1 i4n 2 i4n 3 0 其中n n 若 则 2 3 1 1 2 0 分析 可用 的性质计算 反思感悟 复数的四则运算类似于多项式的四则运算 此时含有虚数单位i的看作一类同类项 不含i的看作另一类同类项 分别合并即可 但要注意把i的幂写成最简单的形式 化简的依据是i的周期性 即i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i n n 复数的代数形式运算 基本思路是直接用法则运算 但有时如果能用上特殊复数i或 的一些性质以及一些常见的结论 如 1 i 2 2i 1 i 2 2i i b ai i a bi 可更有效地简化运算 提高计算速度 错源一对复数的有关概念的理解不清致误 典例1 当m为何实数时 复数2m2 5m 3 2m2 m 1 i是纯虚数 错解 令2m2 5m 3 0 解得 m 3或所以当m 3或m 时 复数2m2 5m 3 2m2 m 1 i为纯虚数 剖析 错解只考虑复数的实部 而没有顾及虚部 纯虚数的定义要求复数的实部为零而虚部不为零 本例中 当时 2m2 m 1 0 不满足纯虚数的条件 正解 由上述分析知 m 3时 满足上述要求 错源二盲目套用实数集上的性质致误 典例2 若x sin15 cos15 求 i 4x的值 错解 i 4x i 4 x 1x 1 剖析 错解中没有根据地将实数中底数是正数时的幂指数运算法则 am n amn搬到复数中去 正解 因为x sin15 cos15 所以4x 2sin30 1 所以 i 4x i 1 i 技法一函数思想 典例1 已知复数z1 cos i z2 sin i 求 z1 z2 的最大值和最小值 解题切入点 本题可以转化成利用三角函数求最值问题 技法二数形结合思想 典例2 如果复数z满足 z i z i 2 那么 z i 1 的最小值为 解析 从复数的几何意义分析 z i z i 2 表示一条线段 线段端点分别为 i i所对应的点 而 z i 1 表示z与 1 i所对应两点间的距离 问题转化为求这个距离的最小值 构图 如图所示 z i z i 2表示z所对应的点p在以a 0 1 b 0 1 为端点的