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空间向量的正交分解及其坐标表示 A P 二 共面向量 1 共面向量 平行于同一平面的向量 叫做共面向量 注意 空间任意两个向量是共面的 但空间任意三个向量就不一定共面的了 三 平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示 问题 我们知道 平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 平面向量基本定理 对于空间任意一个向量 有没有类似的结论呢 一 空间向量基本定理 都叫做基向量 注 如果三个向量不共面 那么对空间任一向量 存在有序实数组 x y z 使 1 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底 特别提示 2 由于可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含着它们都不是 3 一个基底是指一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关连的不同概念 二 空间直角坐标系 x y z e1 e2 e3 O 在空间直角坐标系O xyz中 对空间任一点P 对应一个向量 于是存在唯一的有序实数组x y z 使 如图 x y z O P x y z 点P的坐标为 x y z 记作P x y z 其中x叫做点P的横坐标 y叫做点P的纵坐标 z叫做点P的竖坐标 e1 e2 e3 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标 则 三 平面向量的坐标运算 一 设 设M x y 若M是线段AB的中点 则 三 空间向量的坐标运算 一 设 设M x y z 若M是线段AB的中点 四 平面向量的距离与夹角 1 距离公式 问 此公式有何几何意义 2 夹角公式 四 空间向量的距离与夹角 1 距离公式 问 此公式有何几何意义 2 夹角公式 正方体中 点分别是的一个四等分点 求所成角的余弦值 例3 证明 设正方体的棱长为1 建立如图的空间直角坐标系 1 基本知识 1 向量的长度公式与两点间的距离公式 2 两个向量的夹角公式 3 空间向量运算的坐标表示 2 思想方法 用向量计算或证明几何问题时
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