江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：导数及其应用.doc

江苏省12市2015届高三上学期期末考试数学试题分类汇编导数及其应用一、填空题1、（常州市2015届高三）曲线在点处的切线方程为 二、解答题1、（常州市2015届高三）已知为实数，函数，函数 （1）当时，令，求函数的极值； （2）当时，令，是否存在实数，使得对于函数 定义域中的任意实数，均存在实数，有成立，若存在，求出实数的取值集合；若不存在，请说明理由2、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）已知函数，(1)若，求函数的单调递减区间；(2)若关于的不等式恒成立，求整数的最小值；(3)若，是两个不相等的正数，且， 求证：3、（南京市、盐城市2015届高三）已知函数，.（1）设. 若函数在处的切线过点，求的值； 当时，若函数在上没有零点，求的取值范围；（2）设函数，且，求证：当时，.4、（南通市2015届高三）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点. 已知函数当时，求的极值；若在区间上有且只有一个极值点，求实数的取值范围.5、（苏州市2015届高三上期末）已知函数，其中为自然对数底数.（1）当时，求函数在点处的切线方程；（2）讨论函数的单调性，并写出相应的单调区间；（3）已知，若函数对任意都成立，求的最大值.6、（泰州市2015届高三上期末）已知函数，(1)若函数在上单调递增，求实数的取值范围；(2) 若直线是函数图象的切线，求的最小值；(3)当时，若与的图象有两个交点，求证：（取为，取为，取为）7、（无锡市2015届高三上期末）设函数在点处的切线方程为.(1)求实数及的值；(2)求证：对任意实数，函数有且仅有两个零点.8、（扬州市2015届高三上期末）已知函数。（1）若f（x）的图象与g（x）的图象所在两条曲线的一个公共点在y轴上，且在该点处两条曲线的切线互相垂直，求b和c的值。（2）若ac1，b0，试比较f（x）与g（x）的大小，并说明理由；（3）若bc0，证明：对任意给定的正数a，总存在正数m，使得当x时，恒有f（x）g（x）成立。9、（连云港、徐州、淮安、宿迁四市2015届高三）如图，有一个长方形地块，边为2，为4地块的一角是草坪（图中阴影部分），其边缘线是以直线为对称轴，以为顶点的抛物线的一部分现要铺设一条过边缘线上一点的直线型隔离带，分别在边，上（隔离带不能穿越草坪，且占地面积忽略不计），将隔离出的作为健身场所设点到边的距离为（单位：），的面积为（单位：）(1)求关于的函数解析式，并指出该函数的定义域；(2)是否存在点，使隔离出的面积超过3？并说明理由EF（第17题）PABCD参考答案一、填空题1、 二、解答题1、解：（1），令，得 1分列表：x0 + 极小值 所以的极小值为，无极大值 4分（2）当时，假设存在实数满足条件，则在上恒成立 5分1）当时， 可化为，令，问题转化为：对任意恒成立；（*）则，令，则时，因为， 故，所以函数在时单调递减，即，从而函数在时单调递增，故，所以（*）成立，满足题意； 7分当时，因为，所以，记，则当时，故，所以函数在时单调递增，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立； 所以当，恒成立时，； 9分2）当时，可化为，令，问题转化为：对任意的恒成立；（*）则，令，则时，故，所以函数在时单调递增，即，从而函数在时单调递增，所以，此时（*）成立；11分当时，）若，必有，故函数在上单调递减，所以，即，从而函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立； 13分）若，则，所以当时，故函数在上单调递减，即，所以函数在时单调递减，所以，此时（*）不成立；所以当，恒成立时，； 15分综上所述，当，恒成立时， ，从而实数的取值集合为 16分2、（1）因为，所以，1分此时，2分由，得，又，所以所以的单调减区间为 4分（2）方法一：令，所以当时，因为，所以所以在上是增函数，又因为，所以关于的不等式不能恒成立6分当时，令，得所以当时，；当时，因此函数在上是增函数，在上是减函数故函数的最大值为8分令，因为，又在是减函数故当时，所以整数的最小值为210分方法二：由恒成立，得在上恒成立，问题等价于在上恒成立令，只要 6分因为，令，得设，因为，所以在上单调减，不妨设的根为当时，；当时，所以在上是增函数；在上是减函数所以8分因为，所以，此时，即所以，即整数的最小值为2 10分（3）当时，由，即， 从而， 13分令，则由得， 可知，在区间上单调减，在区间上单调增所以， ，故成立16分3、解：（1）由题意，得，所以函数在处的切线斜率， 2分又，所以函数在处的切线方程，将点代入，得. 4分（2）方法一：当，可得，因为，所以，当时，函数在上单调递增，而，所以只需，解得，从而. 6分当时，由，解得，当时，单调递减；当时，单调递增.所以函数在上有最小值为，令，解得，所以. 综上所述，. 10分方法二：当， 当时，显然不成立；当且时，令，则，当时，函数单调递减，时，函数单调递减，当时，函数单调递增，又，由题意知. （3）由题意，而等价于， 令， 12分则，且，令，则，因， 所以， 14分所以导数在上单调递增，于是，从而函数在上单调递增，即. 16分4、5、解：（1）当时， 2分函数在点处的切线方程为，即 4分（2），当时，函数在上单调递增；6分当时，由得，时，单调递减；时，单调递增 综上，当时，函数的单调递增区间为；当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为 9分（3）由（2）知，当时，函数在上单调递增，不可能恒成立； 10分当时，此时； 11分当时，由函数对任意都成立，得， 13分， 设， ， 由于，令，得，当时，单调递增；时，单调递减，即的最大值为，此时 16分6、解：（1）,则，在上单调递增，对，都有，即对，都有，故实数的取值范围是 4分(2) 设切点，则切线方程为，即，亦即，令，由题意得，分令，则，当时 ，在上单调递减；当时，在上单调递增，故的最小值为 分（3）由题意知，两式相加得，两式相减得，即，即， 分不妨令，记，令，则， 在上单调递增，则，则，又，即，令，则时，在上单调递增，又，则，即分7、8、解: ， ， 2分依题意：，所以； 4分解: ，时， 5分时，即时，即时，令,则.设，则，当时, 单调递减;当时, 单调递增.所以当时, 取得极小值, 且极小值为即恒成立，故在上单调递增,又,因此,当时, ,即. 9分综上，当时,；当时, ；当时, 10分证法一：若，由知，当时, .即，所以，时，取，即有当，恒有.若,即，等价于即令,则.当时,在内单调递增.取,则，所以在内单调递增.又即存在,当时，恒有. 15分综上，对任意给定的正数，总存在正数，使得当，恒有. 16分证法二：设，则，当时，单调减，当时，单调增，故在上有最小值， 12分若，则在上恒成立，即当时，存在，使当时,恒有；若，存在，使当时,恒有；若，同证明一的， 15分综上可得，对任意给定的正数，总存在,当时,恒有. 16分9、(1)如图，以为坐标原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则点坐标为1分设边缘线所在抛物线的方程为， 把代入，得