数学(四)试题.doc

水木艾迪考研辅导班 教学与命题研究中心清华大学数学系教授 刘坤林 俞正光 谭泽光数学(四)试题一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分，把答案填在题中横线上）（1）极限 。（2）设，则曲线上与直线垂直的切线方程为 。（3）微分方程的解为 。（4）设，若，则= ，其中是4阶单位矩阵。（5）设，其中为常数，已知存在3阶非零矩阵满足，则矩阵的秩= （6）设X1, X2, K,Xn是独立同分布的随机变量, 方差为0. 令=, 则 = _ 。 二、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内。）（7）设，在上有定义，,且满足 , 则函数在处（ ）。(A) 可微, 且。(B) 可微, 且。(C) 可微, 且。(D) 不可微。（8）设由方程确定，则在点的两个偏导数（ ）（A） 分别等于。 （B） 分别等于 。 （C） 都等于。 （D） 都等于。（9）设在某邻域内有二阶导数，且，则（ ）。(A) ，且点是曲线的拐点(B) 点是曲线的拐点(C) ，是的极小值 (D) ，是的极大值（10）方程可以确定隐函数的条件是（ ）。（A） (B) (C) (D) （11）已知，其中在的某邻域内具有二阶导数，且，则（ ）。(A) 在处不可导 (B) 在处可导，且 (C) 在处可导，且 (D) 在处可导，且（12）设向量组线性无关，则下列向量组中线性无关的是( )(A) (B) (C) (D) （13）设，且与二事件互斥，下列关系式正确的是（ ）。（A） （B）（C） （D）（14）设随机变量X的任一线性函数Y= aX+b, a 0. 则下面命题不成立的是 ( ).(A) 如果X是连续型随机变量, 则Y也是连续型随机变量;(B) 如果X是泊松分布, 则Y也是泊松分布; (C) 如果X是均匀分布, 则Y也是均匀分布; (D) 如果X是正态分布, 则Y也是正态分布; 三、 解答题(本题9小题，满分94分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)（15）（本题满分10分）计算广义积分 。（16）（本题满分10分）若在上有二阶连续导数，证明对任意的,都存在,使得（17）（本题满分11分）某公司的一个研发部门研发甲已两类高科技产品，甲类产品可有个品种选择，已类产品可有个品种选择，限于研发能力，甲已两类产品的品种需满足，若每季度研发甲已两类产品对该公司产生的效益函数为 （百万元），问：该研发部门每个季度应如何制定研发策略使其效益最大？该研发部门每个季度潜在的最大风险（亏损最大）是什么？（18）（本题满分11分）设是定义在上的非负连续函数，且有相同的最大值。又有二次函数 , 证明：, 使得.（19）（本题满分11分）在曲线上点处引该曲线的法线.由该法线,轴及该曲线围成区域为D,求D绕轴旋转一周生成的体积.（20）（本题满分10分）设，试讨论取什么值时，矩阵与对角矩阵相似，并求出可逆矩阵和对角矩阵，使得（21）（本题满分9分）设齐次线性方程组 其中试讨论取何值时，该方程组只有零解；取何值时，有非零解，并在有非零解时，求方程组的通解（22）（本题满分10分）用两个独立的同类设备分别组成串联、并联及备用（即当一个接通的设备不能工作时系统立即自动接通另外一个备用设备）系统. 如此类设备的寿命为参数是l的指数分布, 试求系统的寿命分布. （23）（本题满分12分）在计算机上作大型科学计算, 需对十进制的的小数点后第6位作四舍五入, 得到 的近似数, 则误差在区间内随机取值. 视e j为此区间内的均匀分布随机变量, 累积误差为. 试求(1) 试求的分布; (2) 利用切贝雪夫不等式估计, 当n=10000时给出不超过0.0005的概率的上界(3) 利用中心极限定理, 当n=10000时以99.7%以上的把握给出