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文档简介
Key 四点共圆的证明五个基本判断方法 1 若四个点到一个定点的距离相等 则这四个点共圆 2 若一个四边形的一组对角互补 和为180 则这个四边形的四个点共圆 3 若一个四边形的外角等于它的内对角 则这个四边形的四个点共圆 4 若两个点在一条线段的同旁 并且和这条线段的两端连线所夹的角相等 那么这两个点和这条线的两个端点共圆 5 同斜边的直角三角形的顶点共圆 1 若四个点到一个定点的距离相等 则这四个点共圆 如图 菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点 E F G H分别是AB BC CD DA的中点 求证 E F G H四个点在以O为圆心的同一个圆上 分析指导 利用直角三角形斜边的中点等于斜边的一半 再利用菱形的四边相等即可证出 2 若一个四边形的一组对角互补 和为180 则这个四边形的四个点共圆 若 A C 180 或 B D 180 则点A B C D四点共圆 已知 四边形ABCD中 A C 180 求证 四边形ABCD内接于一个圆 A B C D四点共圆 证明 用反证法过A B D作圆O 假设C不在圆O上 则C在圆外或圆内 若C在圆外 设BC交圆O于C 连结DC 根据圆内接四边形的性质得 A DC B 180 A C 180 DC B C这与三角形外角定理矛盾 故C不可能在圆外 类似地可证C不可能在圆内 C在圆O上 也即A B C D四点共圆 3 若一个四边形的外角等于它的内对角 则这个四边形的四个点共圆 若 B CDE 则A B C D四点共圆证法同上 例如图所示 已知四边形ABCD是平行四边形 过点A和点B的圆与AD BC分别交于E F点 求证 C D E F四点共圆 分析 欲证C D E F四点共圆 可证以该四点构成的四边形中 一组对角互补或外角等于内对角即可 由此 连接EF构成四边形EFCD后 证明 BFE D即可 证明 连接EF 四边形ABFE是圆内接四边形 A BFE 180 又 四边形ABCD是平行四边形 A D 180 BFE D C D E F四点共圆 4 若两个点在一条线段的同旁 并且和这条线段的两端连线所夹的角相等 那么这两个点和这条线段的两个端点共圆 若 A D或 ABD ACD 则A B C D四点共圆 用反证法 已知 同侧 ABC和 CBD 共有底边CB A D 求证 A B C D四点共圆证明 假设四点不在同一圆上 作 ABC外接圆 则D点不在圆上 因二角共用AB弧 则 A D 与实际不符 所以只有D点在 ABC外接圆上 故A B C D四点共圆 5 同斜边的直角三角形的顶点共圆如图1 四边形ABCD中 A C 90 求证 A B C D四点共圆 如图2 A C 90 求证 A B C D四点共圆 分析指导 可以直接根据圆的定义证
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