数值方法 第９章 常微分方程数值解 （下）.doc

3 单步法的收敛性和绝对稳定性（I）收敛性 解出： 数值求解微分方程初值问题解 ，总是要求是的近似，对于Euler方法，我们推导了整体截断误差。 满足 当时，有，我们注意到这个极限与通常不同。R中点 应该是不动的，当，如果用 那么这个极限过程当是同时的，而仍固定，这样的极限可以记为并称其为固定态极限（fixed station limit）例如： 另一种情况 定义 设初值问题 ，对y满足Lipschitz条件，如果单步方法 （*）得到的解 ，对任，均有则称单步法是收敛的 由收敛性可以推得，对于 整体截断误差 关于收敛性有：定理 若初值问题的一个单步方法 的局部截断误差为精确成立，并且对y有Lipschitz条件：单步法收敛并有 证明 根据收敛定义因此必须估计 事实上，即估计 仿Euler方法中整体截断误差的推导，可以插入项，引入局部截断误差，局部截断误差有由定理条件 这样递推下去有取，并且 并有 具体例子Euler方法： 由于对满足Lipschitz条件对也满足Lipschitz条件。应用定，理知Euler方法收敛。Runge-Kutta方法，对R=2的改进Euler方法。 假定步长，取为 关于的Lipschitz常数对于一般Runge-Kutta方法： ， 记 对满足Lipschitz条件 (为权应大于0) 于是，存在，当时有 对于 还可以取，使当时有同样可得：由此，取有（收敛性证明中，因此可取h充分小）（II）相容性收敛性定理中要求局部截断误差 若按变量在处作Taylor展开，那么有，而，也就是说是有界量这相当于含h的项必为零，即满足微分方程，由此有 定义 单步法 满足条件 则称单步法与微分方程初值问题是相容的。事实上，相容的方法必有 相容方法至少是一阶的。，则单步法是相容的相容单步法，若对满足Lipschitz条件方法收敛即 移次来看： 令 时。 即计算格式趋微分方程。相容本质的意义在于“差分格式”收敛于“微分方程”。（III）稳定性（绝对稳定性）用单步法 在求解时，舍入误差是不可避免的。稳定性就是研究舍入误差传播问题，当求解过程中舍入误不增长，则称该数值方法是稳定的。设是带舍入误差的值，而是单步法精确计算而得的准确值。 即 在之间为使舍入误差不增长，则应有 由于与有关，所以稳定性与方程（微分）右端项有关，为了测试某个方法的稳定性，一般把该数值方法用于一个“模型方程”（试验方程），（为复数，其解析解，来考察其方法稳定性选择模型方程原因。讨论方便，如果对这样简单方程不稳定，那么复杂方程也不稳定一般方程可局部化讨论先考虑Euler方法用 相应误差方程 可以看，误差方程与原来单步法一致，这是模型方程是常系数线性方程而得到的，因此用于模型方程，仅考虑的增长与误差增长是一样。即对于一般单步法用于模型方程，可以写成 依赖于方法选取，Euler方法；先考虑一下的性态令 有误差 有误差有误差。 有误差 有误差如果很大，产生不稳定，由此给出定义定义 单步方法 解模型问题 ，若得到的解 ，满足，则称单步法是绝对稳定的。在复平面中，满足的区域，称为单步法的绝稳定区域，它与实轴的交称为绝对稳定区间。 对于每个方法是不同的，对于Euler方法有 为复数，令，那么，这是以（-1，0）为圆心，1为半径的单位圆的内部，此为Euler法的绝对稳定性区域。区域与实轴交的区间为，此为绝对稳定性区间。对于改进Euler方法有 绝对稳定性条件为 此等价于 即 考虑区间当时，有，因此，改进Euler方法的绝对稳定性区间为。对于4阶经典R-K方法 应用到方程 代入有： ，绝对稳定向后Euler方法 用于 它是以（1,0）为圆心，1为半径的单位圆外部，故绝对稳定性区间为。定义 绝对稳定性区域包含整个左半平面，这种方法称为A-稳定的。向后Euler方法是A稳定的。4 线性多步法（I）基本概念显式单步法一般为 即由上近似值上近似值，隐式也是由解方程（迭代）求出，即求上的近似值，仅与前面一个点的近似值相联系。提高精度的Runge-Kutta方法，一般也不很简单。另外提高精度办法是采用前面上的近似来求，这样的数值方法称为多步方法。初值问题 右边采用Simpson求积公式，这样有用来表示得计算，要用到以及相应的，并且公式中对是线性的。这样方法称为线性二步法。线性多步法的一般形式为其中常数，不全为零，等式两边同除 ，故可设 要计算，假定均已计算出来，从而 均已知。 若 ，可以显式计算，为显式方法。若，为隐式方法。 为求解，必须进行迭代 可由相应显式给定，迭代收敛条件 ， L为关于的Lipschitz常数线性单步法是线性步方法的特例，例如 有 不同可得各种显、隐单步法定义 （局部截断误差） 设 是 的解，步线性方法（*） ， 称为线性步法（*）在的局部截断误差，按h展开的首项称为主局部截断误差。这个定义包含了线性步法（当然包含线性单步法），特别包含了线性隐式单步方法。为主局部截断误差，相应的多步法称为P阶方法例子Simpson公式 用微分方程充分光滑解代入，并Taylor展开有 局部截断误差主项为（II）Adams方法 1.显式Adams方法Adams方法是基于数值积分的方法，但积分区间为，对微分方程在积分有为求近似积分，采用插值多项式来近似这样可以求得k-1次Lagrange插值多次式其中为对应点上的k-1次插值多项式基函数 从而有 其中 这是显式Adams方法，称Adams-Bashforth方法。例k=2其中 容易得到：得多步法 （二步法）其局部截断误差 2.隐式Adams方法在显式Adams方法中，采用上的来插值求，这相当于外推，精度可以会影响，改进办法是把作为一个插值的节点，即共有k+1个节点，可得插值多项式取，那么 直接用局部截断误差定义求是一样的。一般形式有：（隐式Adams方法or Adams-Moulton方法） 下面对常用显式Adams和隐式Adams列表如下 k为步数，P为方法的阶，Cp+1是局部截断误差主项的系数（主局部截断误差的系数） 显式Adams（Adams-Bashforth）隐式Adams (Adams-Moulton方法)（III）待定系数方法 设y是微分方程的充分光滑解，代入在处进行Taylor展开 其中 考虑4步方法即 要求方法是4阶的，即 （*）其5个方程，未知数9个取 得 由此得到 的Adams-Bashforth方法如果在（*）中取可以得出 ，可以有Milne公式 局部截断误差为 推导如下： 下面考虑三步方法要求方法是4阶的，那么有7个未知数，5个方程，取 ，可以解得得到Hamming方法（IV）预估一校正方法对于隐式方法，每一节点上近似值用迭代方法得到，这必须大大增加计算量。若用一个恰当的显式方法，求出作为隐式方法的预估值，然后用隐式方法对预估值作校正，并以这个校正值作为所求节点上的，那么将克服迭代法缺点。用Eular方法作预估，用梯形方法作校正的预估校正方法。 预估值 计算函数值 相当于修正Euler方法 通常使用预估校正方法有： Adams-Bashforth-Moulton方法4步4阶显式Adams方法作为预估，3步4阶隐式Adams方法 作校正 预估 求值 校正这是使用相当广泛的方法如果h充分小，由可知，当h充分小，从而有 其中 可以看出，误差来估计而不用 The milne-Simpson MethodMilne方法Simpson方法 利用Simpson，Milne的局部截断误差假定h充分小 The Hamming method用Milne方法作预估Hamming公式L.T.E 例子 用Adams-Bashforth-Moulton, Milne-Simpson和Hamming求 取