第五章 大数定理及中心极限定理.doc

概率论与数理统计教案 信息与数学学院第五章 大数定律及中心极限定理讲授内容：1大数定律 2中心极限定理教学目的与要求：、 了解随机变量依概率收敛的概念.、 理解大数定律的含义.、 掌握中心极限定理.重难点：重点中心极限定理及其应用难点证明随机变量序列服从大数定律教学方法：课堂讲授教学建议：从一维随机变量、维随机变量到随机变量序列作为切入点,中心极限定理的结论与正态分布有关,再一次说明正态分布的重要性.学时：2学时教学过程： 一、大数定律定义：设为随机序列,为一常数.若对于任意的，有： 则称依概率收敛于，记为： .依概率收敛具有性质：设又设函数在连续，则：.定理1 (契比雪夫定理的特殊情况)设随机变量相互独立，且具有相同的数学期望和方差.作前个随机变量的算术平均：, 则有 即： .证明：由于 由契比雪夫不等式有：令得： 定理2 (伯努利大数定理)设是次独立重复试验中事件发生的次数.是事件在每次试验中发生的概率，则对于任意的，有：或证明： 令 （）即有：其中相互独立，且服从以为参数的分布因此：,于是由切比雪夫定理有：即： .伯努利定理表明：事件发生的频率依概率收敛于事件发生的概率.因此由实际推断原理，当试验的次数很大时，可以用事件发生的频率代替事件的概率.定理3 (辛钦定理)设随机变量相互独立，服从同一分布，具有期望： 则，有：辛钦定理条件较宽，定理1（切比雪夫）是它的特例，贝努里定理又是切比雪夫定理的特例或应用.二、中心极限定理定理4 (独立同分布的中心极限定理)设随机变量相互独立，服从同一分布，且具有数学期望和方差：，则随机变量之和的标准化变量：的分布函数对于任意满足：定理含义：均值为,方差为的独立同分布的随机变量之和的标准化变量，当充分大时，有：可以将上述结果改写为：即有： 这一结果是数理统计中大样本统计推断的基础.定理5 (李雅普诺夫定理)设随机变量相互独立，它们具有数学期望和方差：记： ,若存在正数，使得当时，有：则随机变量之和的标准化变量：的分布函数对于任意满足：定理表明：满足定理条件的相互独立的随机变量，无论服从什么分布，只要知道其期望和方差，则当很大时有近似.定理6 (棣莫弗-拉普拉斯定理)设随机变量服从参数为的二项分布，则对任意的，有：.证明：由于，由前面例题知，其中服从分布，且分布律为： 于是有： 由定理4得：. 此定理表明，正态分布是二项分布的极限分布，当充分大时，我们可用正态分布来计算二项分布的概率.中心极限定理的应用例1 根据以往经验，某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机地取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件的寿命的总和大于1920小时的概率.解：设第只元件寿命为, 令 故 .例2 一船舶在某海区航行，已知每遭受一次波浪的冲击，纵摇角大于的概率为，若船舶遭受了90000次波浪冲击，问其中有2950030500次纵摇角大于的概率是多少?解：将船舶每遭受一次波浪冲击看作一次试验，并假定各次冲击是相互独立的，在90000次冲击中纵摇角大于的次数为一随机变量，且.直接计算则所求概率为：但此计算麻烦.现用中心极限定理来作近似计算.已知：所求概率为：.例3 （1）一个复杂的系统由100个相互独立的元件组成，在系统运行时每个元件损坏的概率为0.10，又知为使系统正常工作，至少必须有85个元件工作，求系统的可靠度(正常工作的概率);(2)上述系统假如由个相互独立的元件组成，而且又要求至少有80%的元件工作才能使整个系统正常工作，问至少为多少才能保证系统的可靠度为0.95?解：（1）设,为系统正常工作时完好的元件个数，则且有：于是所求概率为：（2）查表得：，求得,即至少需要25个元件.例4 在某保险公司有一万人参加保险，每人付18元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领取2500元，问保险公司亏本的概率为多大？解：一万人每年的保险费为1000018=180000元，公司不亏本，即每年赔偿费不大于18万元在一万人中，一年内死亡人数不多于1800002500=72（人）本例概型为的二项分布概型，设为死亡的人数.则 由棣莫佛拉普拉斯定理知 故 可见保险公司亏本的概率是非常小的.作业布置P35： 3，4，5，8.本章教学参考书目孔繁亮主编，概率论与数理统计， 哈尔滨工业大学出版社赵辉主编，张国志主审，概率论与数理统计， 东北林业大学出版社陈桂林、计东海编，概率论与数理统计，科学出版社毛纲源，概率论与数理统计解题方法技巧归