几何概型(优秀课件).ppt

3 3 1几何概型 下图是卧室和书房地板的示意图 图中每一块方砖除颜色外完全相同 小猫分别在卧室和书房中自由地走来走去 并随意停留在某块方砖上 在哪个房间里 小猫停留在黑砖上的概率大 卧室 书房 创设情境3 问题情境 古典概型的两个基本特点 1 所有的基本事件只有有限个 2 每个基本事件发生都是等可能的 那么对于有无限多个试验结果的情况相应的概率应如果求呢 思考 上述问题的概率与什么有关 这是古典概型问题吗 几何图形 1 取一根长度为30cm的绳子 拉直后在任意位置剪断 那么剪得两段的长度都不小于10cm的概率有多大 从30cm的绳子上的任意一点剪断 基本事件 问题 解 记 剪得两段绳长都不小于10cm 为事件A 把绳子三等分 于是当剪断位置处在中间一段上时 事件A发生 由于中间一段的长度等于绳长的1 3 2 上图中有两个转盘 甲乙两人玩转盘游戏规定当指针指向B区域时 甲获胜 否则乙获胜 在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少 问题 分析 甲获胜的概率只与B所在扇形区域的圆弧长度有关 而与B所在区域的位置无关 不管这些区域是否相邻 对于一个随机试验 我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点 该区域中的每一个点被取到的机会都一样 而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点 这里的区域可以是线段 平面图形 立体图形等 几何概型的特点 1 基本事件有无限多个 2 基本事件发生是等可能的 形成概念 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度 面积或体积 成比例 则称这样的概率模型为几何概型 Geometricmodelsofprobability 一般地 在几何区域D中随机地取一点 记 该点落在其内部一个区域d内 为事件A 则事件A发生的概率 注 2 D的测度不为0 当D分别是线段 平面图形 立体图形时 相应的 测度 分别是长度 面积和体积 1 古典概型与几何概型的区别在于 几何概型是无限多个等可能事件的情况 而古典概型中的等可能事件只有有限多个 3 区域应指 开区域 不包含边界点 在区域内随机取点是指 该点落在内任何一处都是等可能的 落在任何部分的可能性只与该部分的测度成正比而与其性状位置无关 1 射箭比赛的箭靶是涂有五个彩色的分环 从外向内为白色 黑色 蓝色 红色 靶心是金色 金色靶心叫 黄心 奥运会的比赛靶面直径为122cm 靶心直径为12 2cm 运动员在70m外射箭 假设每箭都能中靶 且射中靶面内任一点都是等可能的 那么射中黄心的概率是多少 练习 例1 某人午休醒来 发觉表停了 他打开收音机想听电台整点报时 求他等待的时间短于10分钟的概率 打开收音机的时刻位于 50 60 时间段内则事件A发生 由几何概型的求概率公式得P A 60 50 60 1 6即 等待报时的时间不超过10分钟 的概率为1 6 解 记 等待的时间小于10分钟 为事件A 思考 能用圆盘等设计一种方法模拟试验吗 设打开收音机的时刻X是随机的 则X为 0 60 上的均匀随机数 1 两根相距8m的木杆上系一根拉直绳子 并在绳子上挂一盏灯 求灯与两端距离都大于3m的概率 练习 解 记 灯与两端距离都大于3m 为事件A 由于绳长8m 当挂灯位置介于中间2m时 事件A发生 于是 2 在1万平方公里的海域中有40平方公里的大陆贮藏着石油 假如在海域中任意一点钻探 钻到油层面的概率是多少 练一练 3 如右下图 假设你在每个图形上随机撒一粒黄豆 分别计算它落到阴影部分的概率 4 有一杯1升的水 其中含有1个大肠杆菌 用一个小杯从这杯水中取出10毫升 求小杯水中含有这个细菌的概率 练一练 思考 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话 发现30min的磁带上 从开始30s处起 有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息 后来发现 这段谈话的部分被某工作人员擦掉了 该工作人员声称他完全是无意中按错了键 使从此后起往后的所有内容都被擦掉了 那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大 例2 甲 乙二人约定在下午12点到17点之间在某地会面 先到者等一个小时后即离去 设二人在这段时间内的各时刻到达是等可能的 且二人互不影响 求二人能会面的概率 解 以X Y分别表示甲 乙二人到达的时刻 于是 即点M落在图中的阴影部分 所有的点构成一个正方形 即有无穷多个结果 由于每人在任一时刻到达都是等可能的 所以落在正方形内各点是等可能的 M X Y 二人会面的充要条件是 记 两人会面 为事件A 1 国家安全机关监听录音机记录了两个间谍的谈话 发现30min的磁带上 从开始30s处起 有10s长的一段内容包含间谍犯罪的信息 后来发现 这段谈话的部分被某工作人员擦掉了 该工作人员声称他完全是无意中按错了键 使从此后起往后的所有内容都被擦掉了 那么由于按错了键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉的概率有多大 思考 解 记事件A 按错键使含有犯罪内容的谈话被部分或全部擦掉 则事件A发生就是在 min时间段内按错键 故 用几何概型解简单试验问题的方法 1 适当选择观察角度 把问题转化为几何概型求解 2 把基本事件转化为与之对应的区域D 3 把随机事件A转化为与之对应的区域d 4 利用几何概型概率公式计算 注意 要注意基本事件是等可能的 课堂小结 1 古典概型与几何概型的区别 相同 两者基本事件的发生都是等可能的 不同 古典概型要求基本事件有有限个 几