南京审计学院《微积分(二)》同步练习册打印版(76页).doc

微积分(二)同步练习册 班级 姓名 学号说明：为方便复习，上学期第五章“不定积分”的练习及答案，参见本练习册第36页第六章 定积分6.1 定积分的概念与性质1. 利用定积分的几何意义，计算下列定积分： (1）；(2）；(3）.2. 不计算积分，比较下列各积分值的大小（指出明确的“”关系，并给出必要的理由）.(1） 与 ； (2） 与 ；(3） 与 3. 利用定积分的性质，估计的大小. 4. 设在区间上连续，在内可导，且满足，试证：在内至少存在一点，使得. 5. 试判断下列定积分是否有意义（即，被积函数在相应的积分区间上是否“可积”），并说明理由. (1）；(2），其中 6*.根据定积分的定义，将极限表达为定积分的形式（不需要计算出具体的数值结果）：6.2 微积分基本定理1求下列函数关于的导数： (1）； (2）；(3）；(4*）2求下列极限：(1）； (2）；(3）3求函数的极值点4计算下列定积分：(1）； (2）；(3）；(4）；(5），其中；5设在上连续，且满足，试求6*求解（提示：利用定积分的定义）6.3 定积分的换元积分法与分部积分法1. 试利用定积分的换元法计算下列积分： (1）； (2）；(3）； (4）；2. 利用函数的奇偶性计算.3. 设是上的连续函数，试证：对于任意常数，均有. 4*. 设是上的连续函数，并满足，试求.5. 利用定积分的分部积分法计算下列积分：(1）；(2）(3）.6*. 试计算，其中.7*. 已知是上的连续函数，试证：.6.4 定积分的应用1. 计算下列曲线围成的平面封闭图形的面积：(1）； (2）. 2. 假设曲线、轴和轴所围成的区域被曲线分为面积相等的两部分，试确定常数的值.3. 求由下列曲线围成的平面图形绕指定轴旋转一周而成的立体体积：(1）；绕轴；（2）： （i）绕轴；（ii）绕轴4. 已知某产品的固定成本为，边际成本和边际收益函数分别为，其中为产品的销售量（产量），试求最大利润.5. 已知某产品在定价时的市场需求量，在任意价格处的需求价格弹性为，其中均为常数，为产品在价格处的市场需求量。试求该产品的市场需求函数（提示：弹性）6.5 反常积分初步1. 判定下列无穷限积分的敛散性；若收敛, 则求其值. (1) （为常数）；(2)（其中，均为常数）. 2. 求下列极限：(1) ；(2*) . 3. 判定下列积分的敛散性；若收敛, 则求其值. (1) ；(2) .4. 利用函数和函数的性质，以及的结果，分别计算：，和. 5. 计算下列反常积分（提示：利用函数的定义，以及的结果）(1) ； (2) . 第七章 多元函数微积分学 7.1 预备知识 7.2 多元函数的概念 1. 已知点，在轴上找出与点相距的点2. 求过点，的平面方程3. 分别写出下列区域的“x-型”与“y-型”表达形式：(1) 由、所围成的区域；(2) 由、所围成的区域；(3) 由、所围成的区域4. 求下列函数的定义域并画出定义域的示意图：（1）；（2）5. 设，求6. 试求下列二元函数的极限：（1）； （2*）7*. 设，讨论在点处的连续性7.3 偏导数与全微分 1. 求下列函数在给定点处的偏导数：（1），求；（2），求2. 求下列函数的指定偏导数：（1），求；（2），求； （3），求3. 设，分别讨论在处是否连续、是否存在偏导数4. 求下列函数的全微分：（1）；（2）5. 求函数在点(2,1)处的全微分6. 利用全微分计算的近似值7. 已知一矩形的长为6米、宽为8米。当长增加5厘米，宽减少10厘米时，求矩形对角线长度变化的近似值。7.4 多元复合函数与隐函数微分法1. 求下列复合函数的偏导数或导数：（1），求；（2），求；（3），求；2. 设，求3. 设可导，证明：4. 设函数由方程所确定，试求5. 求下列二元（三元）方程所确定的隐函数（）的全微分：（1）；（2）6*. 设函数与均可微，且由方程所确定，其中，试证：一元函数的驻点必然满足方程7.5 高阶偏导数1. 设, 求2. 设, 求3. 设的两个偏导函数连续, , 求4. 设，求7.6 多元函数的极值 1. 求的极值2. 求在上的最大值与最小值3. 求在条件，下的最值4. 求曲线上到平面距离最短的点5. 假设某企业在两个相互分割的市场上出售同一种商品，商品在两个市场上的需求量与定价分别满足,，其中分别是该产品在两个市场上的价格(单位：万元/吨)，分别是该产品在两个市场上的需求量(单位：吨)，且该企业生产这种产品的总成本函数为。如果该企业实行价格无差别策略，试确定两个市场上该产品的销售量及统一的价格，使该企业的总利润最大化。7.7 二重积分 1. 将二重积分按照两种次序化为累次积分，其中积分区域分别给定如下：（1）由曲线与直线所围成；（3）由直线，所围成2. 交换积分次序：（1）；（2）；（3）3. 计算二重积分：（1）；（2）；（3），其中由所围成4. 计算累次积分：（1）；（2）5. 画出区域，并把化为极坐标系下的二次积分：（1）；（2）6. 利用极坐标变换计算：（1*），；（2）7. 用二重积分计算曲线，围成的平面图形的面积8. 用二重积分计算由坐标面与平面所围立体的体积9*. 计算二重积分10*. 设，给定常数，试求下列反常积分：1）；2）11*. 已知连续于，试证不等式：第八章 无穷级数8.1 常数项级数的概念和性质1.利用级数的部分和,求和以及和值.2. 判断下列级数是否收敛；若收敛，求其和值. (1) ；(2) 3已知级数收敛，且和值为，证明：(1) 级数收敛，且和值为；(2) 级数 收敛. 4利用无穷级数性质以及几何级数与调和级数的敛散性，判别下列级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3) 5*给定级数，有，试证级数收敛，其和8.2 正项级数 1利用比较判别法或其极限形式判别下列级数的敛散性： (1) ； (2) ；(3) ； (4) 2利用比值判别法或根值法判别下列级数的敛散性： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ；(5) 3*证明：若正项级数收敛，则与均收敛8.3 任意项级数1. 判别下列级数是绝对收敛，条件收敛还是发散？(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) .2. 判别下列交错级数的敛散性：(1) ；(2) .3如果级数绝对收敛，试证：(1) 级数绝对收敛；(2) 级数收敛. 8.4 幂级数1求下列级数的收敛半径、收敛区间和收敛域： (1) ； (2) ； (3) .2求下列级数的收敛域，以及它们在收敛域上的和函数： (1) ；(2) .3求幂级数收敛域及和函数，并求的和. 4已知在时收敛,试判定在以下各点处的敛散性，说明理由：(1) ；(2) ；(3) ；(4) .5将下列函数展开成的幂级数，并写明后者的收敛域. (1) ； (2) .6求函数在指定点的幂级数展开式，并求收敛域 第九章 微分方程初步9.1 微分方程的基本概念1. 验证下列各函数是否为所给微分方程的通解：(1) ，；(2) ，；(3) ，2. 验证函数是否为初值问题，的解3. 验证函数是否分别为：1）微分方程的解；2）初值问题，的解9.2 一阶微分方程1. 求下列方程的通解或在给定条件下的特解：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ，2. 设函数满足方程，试求3*. 设函数满足方程，试求4*. 设，证明：和函数满足微分方程方程，并求第十章 差分方程10.1 差分方程的基本概念1. 计算下列差分：(1) ，求； (2) ，求2. 按教材P330定义 改写下列差分方程，并指出方程的阶数：(1) ； (2) 3. 验证以下是否为数列所给方程的解（其中，为任意常数）：(1) ，；(2) ，10.2 简单的一阶常系数差分方程的解法求下列差分方程的通解或满足给定条件的特解：(1) ； (2) ；(3) ，【补充材料】鉴于积分在本学期的重要性，将上学期“不定积分”各章节练习题及答案汇编如下.第五章 不定积分5.1 原函数与不定积分的概念 5.2 基本积分公式1. 已知一曲线经过点，且在其上任一点处的切线斜率等于，求曲线的方程. 2. 求下列不定积分：（1）已知, 求不定积分；（2）已知, 求不定积分；（3）已知, 求不定积分. 3. 求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）5.3 凑微分法和分部积分法（一）凑微分法1求下列不定积分： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13*）； （14*）（二）分部积分法1求下列不定积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）2求下列有理函数的不定积分：（1）； （2）3求下列不定积分：（1）已知是的一个原函数，求；（2）已知是的一个原函数，求5.4 换元积分法1 求下列不定积分： （1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8*）2*求不定积分3*试求不定积分4*已知，求【第五章 参考答案】5.1-5.2答 案1. 2.（1）； （2）；（3）3.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）5.3 答 案（一）1.（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）（二）1（1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）2（1）； （2）；3（1）； （2）5.4 答 案1（1）； （2）； （3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）234第六章 自测题一、选择题 1设是上的连续函数，则下列论断不正确是( )(A) 是的一个原函数 (B) 是的一个原函数 (C) 是的一个原函数 (D) 在上可积 2设是连续函数，是的原函数，则( ) (A) 当是奇函数时，必为偶函数 (B) 当是偶函数时，必为奇函数 (C) 当是周期函数时，必为周期函数 (D) 当是单调递增函数时，必为单调递增函数3设在区间上， 则下列不等式成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 4设在内为连续可导的奇函数，则下列函数中为奇函数的是( )(A) (B) (C) (D) 5设函数有连续的导数，且当时， 与为同阶无穷小，则( ) (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 6已知则为( )(A) 正常数 (B) 负常数 (C) 零 (D) 非常数7已知 则为( )(A) 正常数 (B) 负常数(C) 零 (D) 非常数二、填空题1设具有一阶连续导数，且，则 2设连续，则3设在区间上具有二阶连续导数， ，4设连续函数满足，则三、解答题 1. 求下列定积分：(1) ； (2) ；(3)；(4) 设，求2求下列反常积分： (1) ；(2) 3求由抛物线与它在点及点处的两条切线所围成图形的面积.4函数在区间上单调递减,证明第七章 自测题一、选择题 1极限存在的充分条件是 . A 点沿无穷条路径趋于点时，的极限均存在且相等 B 存在 C 点沿过的任意直线趋于时，的极限均存在且相等 D 在处连续2若，则 . A B C D 3二元函数在点的偏导数存在是其在该点可微的 . A 充分条件 B 必要条件 C 充要条件 D 非充要条件4设定义于有界闭区域，下列命题正确的个数是 . A 0个 B 1个 C 2个 D 3个1）若可微、存在唯一驻点，且为极值点，则必为最值点2）若可微，且存在最值点，则必为驻点3）若连续，且存在唯一的极值点，则必为最值点4）若连续于，则在内必存在最值5设在的某邻域内具有连续的偏导数，且. 若是可微函数在约束条件之下的极值点，则下列命题正确的是 . A 恒有B C D 二、填空题 1 . 2设，则= ， = . 3设，则= . 4设在坐标系下，则在极坐标系下， . 5无穷限积分 = . 三、解答题 1设，讨论在点的连续性、偏导数以及的偏导函数在在点的连续性2求下列函数的全微分：(1) ，求；(2) ，求；(3) 已知有连续的偏导数，求3设在连续偏导数，为正整数，证明满足的充要条件是对任意有4设，求5设具有二阶连续偏导数，求6设由方程所确定，求7求的极值8设求在上的最值9求周长为定值的三角形面积的最大值(提示：，其中为三角形的各边长) 10某厂生产甲、乙两种产品，当两种产品的产量分别是和(单位：吨)时，总收益函数为，总成本函数为(单位：万元)。此外，生产甲种产品每吨还需支付排污费万元，生产乙种产品每吨还需支付排污费万元。在限制排污费用支出总额为万元的情况下，两种产品的产量各为多少时总利润最大? 最大总利润是多少? 11计算二重积分：（1） （2）（3） （4）12用二重积分计算圆锥体被平面所截部分的体积13. 证明：(1) 若为上的正的连续函数，则；(2) 若及连续于，且，与均单增，则第八章 自测题 一、选择题1. 正项级数收敛的充分必要条件是 .A B 数列单调有界 C 部分和数列有上界 D 2. 下列结论中正确的是 . A 若级数,都发散，则级数发散；B 若级数收敛，则级数与都收敛；C 若级数与都收敛，则级数收敛；D 若级数收敛,发散,则的敛散性不确定3. 已知，则级数 .A 收敛且其和为 B 收敛且其和为 C 收敛且其和为 D 发散4. 下列级数中发散的是 . A B C D 5. 设，则下列级数中收敛的是 .A B C D 6. 命题“若发散，则发散”成立的条件是 . A B C D 7. 若幂级数在收敛, 则该级数在处 .A 条件收敛 B 绝对收敛 C 发散 D 敛散性不能确定8. 若，则幂级数的收敛半径 .A B C D 二、填空题1. 若级数收敛于S，则级数收敛于 .2. 已知级数，则级数 .3. 级数的敛散性是 ，级数的敛散性是 . 4. 设幂级数在条件收敛，则该幂级数的收敛半径是 .三、解答题 1. 判别下列级数的敛散性：(1) ；(2) ；(3) .2. 证明：若级数收敛，则级数绝对收敛. 3求下列级数的收敛域： (1) ； (2) ；(3) ； (4) .4求幂级数的收敛域及和函数，并求常数项级数的和. 5将下列函数展开为的幂级数，并求其收敛域： (1) ； (2) ； (3) . 近年期中试卷汇编南京审计学院20092010学年第二学期微积分二期中试卷一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分）1极限 2积分 3设函数，则4设，则 5设，且可微，则二、单项选择题（本题共4小题，每小题2分，满分8分）1设函数与在上连续且，则对任何，下列结论正确的是 (A) (B) (C) (D) 2以下反常积分中发散的是 (A) (B) (C) (D) 3设函数在点的某邻域内有定义且，则下列结论正确的是 (A) 函数在处连续(B) 一元函数在可导且导数等于(C) 函数在处可微，且全微分(D) 一元函数在可导且导数等于24极限存在的充分条件是 (A) 存在(B) 在处连续(C) 点沿着过的任意直线趋于时，的极限存在且相等(D) 点沿着过的无穷条路径趋于时，的极限存在且相等5设，则 (A) (B) (C) (D) 三、计算下列积分（本题共3小题，每小题6分，满分18分）1设，计算2计算3计算四、求偏导及微分（本题共3小题，每小题6分，满分18分）1求函数的二阶偏导数2设是由方程所确定的隐函数，试求3设函数可微且满足，试求函数的偏导数五、应用题（本题共2小题， 8+6分）1设是由两条曲线和围成的区域，试求：（1）区域的面积；（2）绕轴旋转一周所得立体体积2已知某产品的边际成本和边际收益函数分别为，固定成本为其中，为销售量，为总成本，为总收益试求最大利润值六、证明(选做一题)（本题共1小题，每小题5分，满分5分）1设函数在上连续，在内可导，且，证明：存在，使得2设是以为周期的连续函数，试证：对任何常数，恒有南京审计学院20102011学年第二学期微积分二期中试卷一、单选题（共4小题，每小题2分，满分8分）1设连续于，且，则下列等式中不成立的是 A B C D 2下列不定积分中，能用初等函数表示的是 A B C D 3设连续于，且，给定以下四个命题：1）为偶函数的充要条件是为奇函数；2）为有界函数的充分非必要条件是为有界函数；3）为奇函数的充要条件是为偶函数；4）为周期函数的必要非充分条件是为周期函数，其中的真命题是 A 1）2） B 2）3） C 1）4） D 3）4）4函数在点处 A 可微且偏导数存在 B 不可微但偏导数存在C 不可微且偏导数不存在 D 不可微但连续二、填空题（本题共4小题，每小题3分，满分12分）1若的一个原函数是，则 2设，则 3无穷限积分 4设，则其在处的偏导 三、解答题（本题共8小题，满分60分）1（6分）求2（6分）求3（7分）求4（7分）设，求连续函数5（8分）设可微，求在处的全微分6（8分）设是由函数方程在点附近所确定的隐函数，求曲线在点处的法线方程7.（9分）过点作曲线：的切线，求：(1) 与所围平面图形的面积；(6分)(2) 图形的的部分绕轴旋转一周所得立体的体积(3分)8.（9分）设连续于，且 (1) 证明：在内至少有两个零点；(6分)(2) 进一步，在什么条件下，在内至少有三个零点？试说明理由(3分)南京审计学院20112012学年第二学期微积分二期中试卷一、填空题（本题共5小题，每小题2分，满分10分）1. 设，则 .2. 极限 . 3. .4. 利用全微分可得 .（精确到小数点后两位）5. 极限 .二、选择题（本题共4小题，每小题2分，满分8分）1下列结论正确的是（ ）（A） （B） （C） （D）2下列命题正确的个数是（ ） （A）个 （B）个 （C）个 （D）个1）若在上可积，且不恒为零，则 2）若在上有界，则在上可积3）若在上不连续，则在上不可积4）设在内连续且以为周期，则对任意常数，均有3设函数在上连续，且满足，则（ ） （A） （B） （C） （D）4下列命题错误的个数是（ ） （A）个 （B）个 （C）个 （D）个1）若均存在，则在处可微且2）若在处的偏导存在，则在处连续3）若点沿过的任意直线趋于时的极限都存在且相等，则存在4）若且，则在处可微三、（本题共5小题，每小题7分，满分35分）1计算2求 （表示两数的最大者）3判定敛散性若收敛，求其值4设是由方程确定的隐函数，求5已知函数可微，. 试求函数在处的偏导数四、（满分10分）设平面图形由曲线与直线围成试求：1）此平面图形的面积（5分）；2）此平面图形绕轴旋转一周而成的立体体积（5分）五、（满分7分）已知某产品的固定成本为，边际成本和边际收益分别为，其中为产品的产量（销售量），试求最大利润六、证明题（本题共2小题，每小题5分，满分10分）1. 已知在区间上连续，试证：.2. 设在区间上连续，在内可导，且满足. 试证：存在，使得近年期末试卷汇编南京审计学院20092010学年第二学期微积分二试卷一、填空题（共9个空，每空2分,满分18分）1收敛，则参数满足的条件为 2设，则 ， 3交换积分次序 4设级数的部分和，则 ，该级数的和为 5函数展开成的幂级数为 ，后者的收敛域为 6某商品的需求量对价格的弹性为，已知当价格时，需求量，则需求量对价格的函数关系为 二、单项选择题（共5题，每题2分,满分10分）1设在点处连续，则下列说法中正确的是（ ） 在处一定连续 在与在处仅有一个连续 与分别在与处连续 在与在处都不一定连续2已知反常积分收敛于（），则（ ） 3下列级数中绝对收敛的是（ ） 4设，则函数在点处可微的充分条件是（ ）在点处连续 在点处存在偏导数 5若，则积分区域为（ ） 由轴，轴及所围成的区域 由，及，所围成的区域 由，所围成的区域 由，所围成的区域 三、计算题（共6题，每小题5分，满分30分）1234设，求5设由方程所确定，求偏导函数在点处的值6求，其中是由，和所围成的区域四、（10分）设有幂级数，求：（1）该级数的收敛域；（2）在其收敛域内的和函数；（3）求数项级数的和五、证明题（5分）设，证明函数在区间内有唯一零点六、（10分）二元函数，问：(1)在点是否连续，说明理由；(2)在点关于的一阶偏导数是否存在，说明理由七、 应用题（共2题，满分17分）1（10分）设平面图形由，所围成，试求：（1）此平面图形的面积；（2）此平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积2（7分）设生产某种产品的数量与所用两种原料A，B的数量，间有关系式，欲用元购料，已知A，B原料的单价分别为元和元，问购进两种原料各多少，可使生产的产品数量最多？南京审计学院20102011学年第二学期微积分二试卷一、填空题（共6个空，每空2分,满分12分）1设，则2由方程确定的曲线在处的法线方程为_3. 将展开成的幂级数为_ _4交换积分次序： .5，则 6微分方程的通解为_二、单项选择题（共5题，每题2分,满分10分）1.下列级数中绝对收敛的是（ ） 2若，则积分区域可以是（ ） 由轴，轴及围成的区域 由及围成的区域由围成的区域由围成的区域3下列广义积分收敛的是（ ） 4下列二元函数在处不可微的是（ ）5（ ） 三、计算题（共8题，每题6分，满分48分）1，求2求所围成图形的面积，并求此图形绕轴旋转生成的旋转体体积3求，是由围成的图形4由确定，求5级数的收敛域6计算定积分7已知，求，8在连续，并且，求四、（满分7分）求二元函数的极值，其中，五、（满分7分）设函数，问：（1）在是否连续？（2）在是否存在偏导数？六、证明题（满分5分）方程确定的，有连续的偏导数，试证：七、综合题（5分）求级数的和函数八应用题（6分）某厂家生产的一种产品分别在两个市场销售，销售量分别为和，边际收益分别为，总成本函数为，问厂家如何确定两个市场的销售量，能使其获得的总利润最大？最大利润是多少？此时两市场的销售价格是多少？南京审计学院20112012学年第二学期微积分二试卷一、填空题（共5小题，每小题2分，满分10分）1定积分 . 2设，则导数 . 3将函数展开成的幂级数后，其中的系数等于 4交换积分次序 . 5. 微分方程满足的解为 . 二、单项选择题（共5小题，每小题2分，满分10分） 1由曲线，围成的平面图形绕旋转一周后所成立体的体积等于 (A) (B) (C) (D) 2下列命题正确的个数是 (A) 0个 (B) 1个 (C) 2个 (D) 3个 1）设连续于且严格大于零，则时2）若在处的两个偏导均存在，则极限也存在 3）若在处取得极小值，则也在处取得极小值4）若是可微函