双线性函数2.doc

欧氏空间与双线性函数基本概念1. 欧几里得空间设V是实数R上一线性空间，在V上定义了一个二元函数，称为内积，记作（），它具有以下性质：（1） （）=（）；（2） （）= k();（3） ()= ()+();（4） （）0，当且仅当=0时，（）=0。 这里是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间V称为欧几里得空间。 2. 酉空间 设V是复数C上的线性空间，在V上定义了一个二元复函数，称为内积，记作（），它具有以下性质：（1） （）=（）；这里（）是（）的共轭复数；（2） （）= k();（3） ()= ()+();（4）（）0，当且仅当=0时，（）=0。 这里是V中任意的向量，k是任意实数，这样的线性空间称为酉空间。 3. 向量的长度 非负实数称为向量的长度，记为。 4. 向量的夹角 非零向量的夹角规定为 =, 0 5. 向量正交 如果向量的内积为零，即（）=0，那么正交，记为。 6. 基的度量矩阵 .是n维欧氏空间的V一组基,令，,称为基的度量矩阵。 7. 正交向量组 欧氏空间V中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一正交向量组。 8. 正交基、标准正交基 在n维欧氏空间中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基，由单位向量组成的正交基称为标准正交基。 9. 正交矩阵、酉矩阵 n级实矩阵称为正交矩阵,如果。 n级复矩阵称为酉矩阵,如果。 10. 欧氏空间同构 实数域R上欧式空间V与V称为同构的,如果由V到V有一个双射,满足 （1）(= （2） （3 这里V，kR，这样的映射称为V到V的同构映射。 11. 正交变换、酉变换 欧氏空间V的线性变换如果满足 则称为V的一个正交变换。 酉空间V的线性变换如果满足 则称为酉空间的一个酉变换。 12. 子空间正交、向量与子空间正交 设是 欧氏空间V的两个子空间，如果对于任意的 恒有 （）= 0则称为正交的，记为。一个向量，如果对于任意的，恒有 （）= 0则称与子空间正交，记为。 13. 子空间的正交补子空间称为子空间的一个正交补，如果，并且。 14. 欧氏空间V的线性变换如果满足 则称为V的一个对称变换。 15. 向量之间的距离 长度称为向量和的距离。 16. 最小二乘解 实系数线性方程 可能无解，即任何一组实数 都可能使 （1）不等于零。使等式（1）成立的最小实数组 称为方程组的最小二乘解。 17. 对称矩阵，Hermite矩阵 如果，则称矩阵为对称矩阵。如果，则称矩阵为Hermite矩阵。 18. Hermite二次型 设为Hermite矩阵，二次齐次函数 称为Hermite二次型。 19. 线性函数 设是数域上的一个线性空间，是到的一个映射，如果满足 （1） （2） 其中 是 中任意元素，是中任意元素，则称是上的一个线性函数。 20. 对偶空间、对偶基 设是数域上的一个n维线性空间，上全体线性函数组成的集合记作。用自然的方法在上定义加法和数量乘法，成为数域上的线性空间，称为的对偶空间。 设是数域上的一个n维线性空间,是的一组基，作上n个线性函数 ,使得 则为的一组基，称为的对偶基。 21. 双线性函数 是数域上的一个线性空间，是上一个二元函数，即对中任意两个向量，根据都唯一地对应于中一个数，如果有下列性质: (1) ; (2) ;其中 是中任意向量，则称为上的一个双线性函数。 22. 双线性函数的度量矩阵 设是数域上n维线性空间上的一个双线性函数。是的一组基，则矩阵叫做在基下的度量矩阵。 23. 非退化的双线性矩阵 设是线性空间上一个双线性函数，如果 对任意，可推出，就叫做非退化的。 24. 对称双线性函数，反对称双线性函数 是线性空间上一个双线性函数，如果对中任意两个向量都有 则称 为 对称双线性函数，如果对中任意两个向量都有 则称 为反对称双线性函数。 25. 双线性函数对应的二次齐次函数 设是数域上的线性空间，是上双线性函数，当时，上函数称为与对应的二次齐次函数。 26. 双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间 设是数域上的线性空间，在上定义了一个 非退化双线性函数，则称为一个双线性度量空间，当是非退化对称双线性函数时，称为上的正交空间；当是n维实线性空间，是非退化对称双线性函数时，称为准欧氏空间，当是非退化反对称双线性函数时，称为辛空间。 基本结论 1. 柯西-布涅柯夫斯基不等式欧式空间中的任意向量有 当且仅当线性相关时，等号才成立。 2. 度量矩阵是正定的，不同基的度量矩阵是合同的。 3. n维欧式空间中任何一个正交向量组都能扩充成一组正交基。 4. 对于n维欧式空间中任意一组基，都可以找到一组正交基 使 其中。 5. 是正交矩阵 是n维欧氏空间V中两组标准正交基之间的过渡矩阵。 ,其中是正交变换，是V的一组标准正交基。 6. 是n维欧氏空间的一组标准正交基 基的度量矩阵为单位矩阵。 存在基准正交基及正交矩阵。使 7.两个有限维欧式空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。 8.设是n维欧氏空间的一个线性变换，以下四个命题是等价的： （1）保持内积不变，即对任意的，都有= （2）保持向量的长度不变，即，； （3）如果是标准正交基，那么也是标准正交基。 （4）在任一组标准正交基下的矩阵是正交矩阵。 9.如果子空间两两正交，那么喝时直和。 10.n维欧式空间的每一个子空间都有唯一的正交补。 11.是实对称矩阵，则的特性值都是实数，且属于的不同特征值的特征向量必正交。 12.设是对称变换，是一子空间，则也是一子空间。 13.对于任意一个n阶实对称矩阵，都存在一个n阶正交矩阵，使=成对角形。 14. 任意一个实二次型 都可以经过正交的线性变换替换成平方和 其中平方项的系数就是矩阵的特征值。 15.线性方程组的最小二乘解为满足方程组的解。 16.埃尔米特矩阵的特征值为实数，它的处于不同特征值的特征向量必正交。 17.若是埃尔米特矩阵，则酉矩阵,使是对角形矩阵。 18.对埃尔米特二次型必有酉矩阵，当时 19.设数域上的n维线性空间，是的一组基，是中任意n个数，存在唯一的上线性函数，使 20. 设 及是线性空间V的两组基,它们的对偶基 分 别 是 及 。如 果 由 到的过度矩阵为，那么由到的过度矩阵为。 21. V是一个线性空间，是V的对偶空间的对偶空间，V到的映射是一个同构映射。 22. 同一个双线性函数在不同基下的度量矩阵是合同的。 23. 双线性函数是非退化的充要条件为其度量矩阵为非退化矩阵。 24. 设V是数域P上n维线性空间，是V上对称双线性函数，则存在V的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵。 25. 设V是复数域上n维线性空间，是V上对称双线性函数，则存在V的一组基，对V中任意向量有 26. 设V是实数域上n维线性空间，是V上对称双线性函数，则存在V的一组基，对V中任意向量有 27. 是n维线性空间V上的反对称双线性函数则存在V的一组基，使 基本方法 1. 常用的欧式空间 （1） 线性空间，对如下定义的内积构成欧式空间。 （2） 线性空间对如下定义的内积构成欧式空间。 2. 将对称矩阵的理论、二次型的理论及对称双线性函数的理论互相转化，会给解题带来一些方便。第十章 双线性函数一 内容概述1 线性函数）线性函数 设V是数域P上线性空间，映射：VP满足(+)=()+() V ()=k() V，kP则是V上的一个线性函数）线性函数的简单性质：(1) 设是V上的线性函数，则(0)=0，(2) 如果的线性组合：，那么 定理 设V是P上一个n维线性空间，是V的一组基，而是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数使()= 2 线性函数空间设V是数域上P线性空间，V上的全体线性函数的集合记为L(V, P), 定义）加法 ()()=()+() L(V, P) V）数乘，则 也是一个 p上的线性空间。并称 为的对偶空间。3 对偶基设为 的一组基，定义 =，则是的一组基。称 为的对偶基。定理 的维数等于的维数，而且是 的一组基定理 设 及 ,是线性空间的两组基，它们的对偶基分别与及。如果由到,的过渡矩阵为A ，那么由到的过渡矩阵为4. 双线性函数设是数域 P上一个线性空间。是上一个二元函数，即对中任意两个向量都唯一地对应P 中的一个数。记为。如果有以下性质： =k+k 则称 为 上的双线性函数。 设 是数域 上 维线性空间上的一个双线性函数，是的一组基，则矩阵A=叫做在下的度量矩阵。5 对称双线性函数是线性空间 上一个双线性函数，如果对中任意两个向量 都有=则称为对称双线性函数。如果对中任意两个向量都有=则称 为反对称双线性函数。定理 设是数域P上维线性空间。 是上对称双线性函数，则存在的一组基使在这组基下的度量矩阵为对角阵。推论1 设 是复数域上n维线性空间，是 上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量=，=，有=(0)推论2 设 是实数域上 维线性空间， 是上对称双线性函数，则存在的一组基，对中任意向量 =，=，有 定理 设 f 是 维线性空间上的反对称双线性函数，则存在的一组基,使设是数域 P上的一个线性空间，在上定义了一个非退化的双线性函数，则称为一个双线性度量空间。特别地当为 维实线性空间，是上非退化对称双线性函数时， 称为伪欧氏空间。二 例题选讲例1 设是一个线性空间， 是中非零向量，试证：存在 使 ,=1,2,S证 对 S用数学归纳法 当 S=1 时 所以存在 使 即 S=1 使命题成立 假定当 S=K时命题成立。即存在 使 i=1,2,K 下证S=K+1时，命题成立 若 则命题得证。若 但由知存在使设 总可取数C 使a,=1,2,K令 且 归纳法完成例2 设是数域 P上的线性空间的非零向量，证明：有使 证 因为 , 是中的非零向量，所以是的对偶空间中的非零向量。由例1知，存在 使 即(),例3 设是一个n 维欧氏空间，对中确定的向量 定义一个函数 ：（1） 证明：是上的线性函数；（2） 证明：到的映射： 是到的同构映射（在同构的定义下，欧氏空间可看成自身的对偶空间）。 证 是上的线性函数。（2）先证 是单射。事实上，设 而 所以有 ，即 得到 。对于 ，从而 矛盾。又 ， 而 同构。 例4 设是数域P上n维线性空间 V的一个线性变换（1）证明：对V上的线性函数，仍为V上的线性函数；（2）定义 v到自身的映射为： 证明是v上的线形变换；（3）, 是V 的一组基，是其对偶基，并设在下的矩阵为。证明：在下的矩阵为A(称的转置映射)。 证 （1）令g()=()） ,V kPg(+)=(+)=()+()=()+()=g()+g() , g(k)=(k)=(k()=k()=kg() 是V上的线性函数。（2） h,hV, k,P V (kh+h)()=kh()+h()=(kh+h)() 是V的线性函数。（3）由条件()=()A A=() ()=()B B=有 ()=()=()=a ()()=故 有 例5 设,是线性空间V的一个基，是它的对偶基，今给出V中向量= =+ =+试证,是V的一个基，并求它的对偶基。解 因为( )=( )=( )A而0所以,线性无关，故它是V的一个基。因此A是,到,的过渡矩阵。用g,g,g表示,的对偶基。我们求出(A)。那么(g,g,g)=()( A)=()即 就是,的对偶基。例6 在F中给出两个基=(1,0,0), =(0,1,0), =(0,0,1) 及=(1,1,-1), =(1,1,0), =(1,0,0)试求这两个基各自的对偶基。并写出它们作用在F中任意向量X=（x,x,x）上的表达式。解 设是,的对偶基，那么依定义应有f()= i=1, 2, 3于是对任意X=（x,x,x）F由X=x+x+x得(X)=( x,x,x)=x(X)=( x,x,x)=x(X)=(x,x,x)=x由于从到的过渡矩阵是()=()=()A所以（）= （）(A)=（）为,的对偶基。故(X,Y)为P上的双线性函数。（2）设 A=(a) (E,E)=t(E E)=从而求出f(X,Y)在基EEEEEEEEE 下的度量矩阵为B=例9 设V是复数域上的线性空间，其维数2，(,)是V上的一个对称双线性函数。（1） 证明：V中有非零向量，使=0； （2） 如果f(,)是非退化的，则必有线性无关的向量，n满足：(,n)=1 (,)=(n,n)=0证（1）由于(,)是V上的一个对称双线性函数，存在V的一组基，, 使= =V 有(,n)=xy+xy+ +xy(,)=x+x+x (0rn) (1)当r=0时，对V中任意非零向量，都有(,)=0 ；当r=1时，取=0，有(,)=0 ；当r2时，取=+，有(,)=+1=0 ； （3） 若(,)是非退化的，则（1）式为(,n)=xy+xy+ +xy取=+ =- 得(,)=()+()=0 (,)=()+()=0(,)=()+()(-)=+=1且易知是线性无关的向量；例10 试证：线性空间V上双线性函数(,)为反对称的充要条件是：对任意V 有(,)=0 证 必要性 由(,)为反对称的，因而(,)=(,) 故(,)=0 充分性 由条件 故 因而(,)为反对称双线性函数。例11 设(,)是V上对称的或反对称的双线性函数，,是V中两个向量，如果(,)=0，则,正交。再证K是V的一个真子空间。证明；对K，必有K+L()使(,)=0对所有K都成立。 证 先证 是对称双线性函数的情形。 这时， 也是K上的双线性函数。假定维(K)=t, 则由已知结论存在K 的一组基，使在这组基下的度量矩阵为diag() 令= 当=0时，删去相应的项，则K+L()且0 有 (,)=() = = =0再证是反对称双线性函数的情形。1） 若对给定的K，有K使(,)0。可令,使(,)=1,然后将, 扩充为K+L() 的一组基使当s= 0时，取即可。当 s时，取由 K=L( ,) 则 K 有(,)=0 2）若K,(,)=0则取=即可。例12 设V与(,)同上题,K是V的一个子空间。令K=V | f (,)=0 , K 1） 试证： K是V 的子空间 (K称为 K的正交补)。2） 试证： 如果KK=0, 则 V=K+K。证 1）有(0,)=0故 0 所以K非空。， K, KP K 有(K,)=K(,)=0 (+,)=(,)+(,)=0故+ K. K K 从而K是V的子空间。2） K+ KV是显然的。不妨设K是V的真子空间 V 若K , 则证毕。若则由条件知存在非零的K+L() KP （1）显然K0 否则K K=0 =0 矛盾。从而由（1）知=-+ K+ K 所以V K+ K故V= K+ K 。例13 设V , (,) ,K 同上题，并设(,)限制在K上是非退化的，试证：V= K+ K的充要条件是(,)在V上是非退化。证 必要性 由条件V= K+ K 令K0 若(,)在K上不为非退化 设为K的一组基。由此可知K K矛盾。 充分性 设KK假若0 则将扩充成的一组基由于K故(,)=0 即关于基的度量矩阵第一行的元素全为0。因而是非退化的，这与在K上非退化矛盾。所以=0,K K=0, V=KK例14 设(,)是维线性空间上的非退化对称双线性函数，对中一个元素，定义中一个元素：()= (,) 试证：1）到的映射：是一个同构映射；2）对的每组基，有的唯一的一组基使 (,)= =3) 如果数域上维线性空间，则有一组基,使 证