2026高考数学复习：三角函数与解三角形（综合训练） 含解析

第四章三角函数与解三角形（综合训练）（全国通用）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.若角a的终边经过点（-3,3行），贝!jtan（-a）=（）

A.-72B.-2C.72D.2

【答案】C

【分析】结合诱导公式及三角函数的定义即可.

【详解】tan（-a）=-tana=-^^=拒.

—3

故选：C

2.已知VABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若bsin2A=asinB,且c=2b,则，等于（）

b

A.2B.3C.y/2D.6

【答案】D

【详解】由Z?sin2A=asin3,可得2Z?sinAcosA=asin6,

由正弦定理可得2sinBsinAcosA=sinAsin

又因为0〈A5v7i,所以sinAsinBwO,所以cosA=—,

2

在VABC中，c=2b,由余弦定理可得储=匕2.-be2-2bccosA=5b2-2b2=3b2,

所以：=石.

b

故选：D.

3.已知Vasina—sin[a+E）=],贝ijcos（2a-

【答案】A

=^sin«-lcos^sinL-^=3

［详解］^3sincr-sinfcr+j=^3sina+—cosa

22I6)5

故选：A.

4.某公园拟用栅栏围成一个扇形花池，已知围扇形花池一周的栅栏总长C=80m,则此扇形花池的面积S的

最大值为（）

A.200m2B.300m2

C.400m2D.500m2

【答案】C

【详解】设扇形的弧长为/,半径为L则2r+/=80,

所以S==400,当且仅当2r=/=40时，S有最大值400.

244I2J

故选：C.

5.线段的黄金分割点定义：若点C在线段AB上（点C靠近2点），且满足AC2=8C-AB,则称点C为

线段A8的黄金分割点.在VABC中，AB=AC,A=36。，若角B的平分线交边AC于点则点。为边AC

的黄金分割点.利用上述结论，可以求出cos36*（）

A-1口下+1—>/5-1D.^±1

A.-------D.--------C.--------

4422

【答案】B

【详解】如图所示，^AB=AC=l,AD=x,则CD=1—x,

由A£）2=CZ）-AC，可得尤2=1_》，gpx2+x-1^0,

解得丈=立匚或x=（舍去），所以AD=避二1,

222

在VABC中，AB=AC,A=36。，所以NA8C=72°,

因为AD是角8的角平分线，

所以ZAB£>=36°=ZAn3D=AD,

1

-AB

所以cosA=cos36°=2__2

AD下一1

2

故选：B.

6.已知sin2。二人sin2尸=〃，且加

m-n

m-n

【答案】B

【详解】因为sin2a=sin[(a+£)+(a-；0)]=sin(cr+/?)cos(a-^)+cos(cr+/?)sin(cr-/?)=m,

sin2y0=sin[(6Z+y0)-(cr-y0)]=sin(a+4)cos(a-,)—cos(a+6)sin(cr—万)=加,

所以：sin(6r+yg)cos(6r-yg)=m^n,cos(a+夕)sin(a一夕)=皿?〃

m+n

tan(cr+y0)sin(a+〃)cos(a—〃)~m+n

tan(cr-/?)cos(a+')sin(a-,)m—nm-n

故选：B

7.已知函数/Xx）=2cos（。尤+。）3>0,⑷<无）的图象如图，点B在/（x）的图象上，过A,8分别

作x轴的垂线，垂足分别为C,D,若平行四边形ACBD的面积为乎兀，则/（*）=（）

C\D

A.-73C.72D.6

【答案】D

【详解】由四边形ACS。为平行四边形，点4士也），ACLCD,BDLCD,

得忸q=|AC|=0,S“=S^BDC=-X^X\CD\,

由平行四边形ACBD的面积为乎兀，得2xgx0x|cM=孝兀，m\CD\=^,

由函数/（X）图象的对称性得函数/（尤）的周期为兀，又。>0,贝1］。=三=2,

71

由/（；）=&,得2cos（2x至+°）=0,即cos（四+夕）=受，

4422

TTTT37r

而了（%）图象在点A处是上升的，贝喘+夕=2®—kcZ,0=2E—芋，keZ,

244

3jr3兀

又〈兀，则。=一-因此/（%）=2cos（2%---）,

44

LLt、t"7九、_/7兀3兀、_71.rr

所以/仁7）=2cos（二一--）=2cos（z--）=V3

241246

故选：D.

8.在VABC中，若内角A,B,C所对的边分别为。，b,c,/ABC的平分线交AC于点。，3。=2且b=4,

则△回（?周长的最小值为（）

A.2+2血B.2725C.4+4应D.4

【答案】C

=

【详解】由题可得，^^ABCS4ABD+SMCD，

BP—acsmZABC=—BDcsm-------F—BDtzsin------

22222

ZABCZABCZABCZABC

又BD=2,b=4,所以2〃csin------cos------=2csin+2asin

因为°<ZABC5所以。〈管心则sin等"

ZABCZABCc+a

^^accos=c+a即cos

2ac

又因为cosZABC=L+"T6,且cosNABC=2cos2幺些-1,

2ac2

所以2[*]2_]=八/]6

\ac)lac

整理得4(C+Q)2=〃C[(C+〃)2-16],

所以4(C+Q)2=qc[(c+〃)2_]6]W(c；〃).[(c+〃)2一间,

解得(C+Q)2N32,贝l」a+c240，当且仅当a=c=20时等号成立,

贝iJb+Q+cN4+4后，故VABC周长的最小值为4+4夜.

故选：C.

B

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列等式成立的是()

A.sinl50cosl5°=—B.cos75°cos150+sin75°sin15O=0

4

—tan120+tan33°.

C.2sin215°-l=—D.----------------------=1

21-tan12°tan33°

【答案】AD

【详解】对于A,sinl50cosl50=-sin30°=-,A正确；

24

对于B,cos75ocosl50+sin75osinl50=cos(75°-15°)=cos60°=-^,B错误;

对于C,2sin215°-1=-cos30°=--,C错误；

2

riT—tan12°+tan33°…

对于D,----------------------=tan(12°+33°)=tan45°=l,D正确.

1-tan12°tan33°

故选：AD

目两点，将/⑴的

10.已知函数〃x)=sin(ox+o)(«>o,0<9(兀)部分图象如下，它过0,2J

图像向右平移g个单位得到g(x)的图象,则下列关于g(x)的说法错误的是

B.图像关于《兀，。：中心对称

C.在卜日最小值为一,TT

D.在0,-上单调递增

【答案】ABD

T2兀

一〈—/—

2339\13

【详解】由图知,，可得又/(O)=sin°=—,0<°<兀，

jJ.，兀24)

-->----

14-----3

兀…2兀丁,j.12n].(2TT)„2TI,/,

解得："=§或-^1I=sinl-®+^I=0>—co+cp=kit[keZ).

,,兀3左一1十"”■++*2兀3k—2r,_-、，“、.(c27r

右9=4,。=^—,无解；右°=?-,0=2-，则0=2,所以/(x)=sin[2x+y向右平移方得到

g(x)=sin2x,

对于A：因为g(x)=sin2x,所以是奇函数，关于原点对称，故A错误;

对于B：令2x=fat,.,.尤=万，故对称中心1万,0}%eZ,故B错误；

JTTTTT2冗

对于C:因为尤€,则2xe,所以g(x)=sin2x在区间土三的最小值为:

对于D：因为xe,所以2xe[0,兀],所以g(x)=sin2x在此区间不单调，故D错误;

故选：ABD

11.当VABC内一点尸满足条件NR4B=NP3C=NPC4=，时，称点尸为VABC的勃罗卡点，角。为勃罗卡

角.三角形的勃罗卡点于1816年首次被法国某数学家发现，而后于1875年被法国军官勃罗卡重新发现且展

开研究，最终用他的名字命名.如图，在VA3C中，角AB,C所对的边分别为dc,记VA3C的面积为S,

点尸是VABC的勃罗卡点，勃罗卡角为巴则()

B.若〃=c且尸C=尸5时，cos9=—

111

C.若AMC为锐角三角形'则做=----1-----1----

tanAtanBtanC

D.4S-tan0=a2+b2+c2

【答案】ABC

【详解】当b=c时，由“等边对等角“得ZB=NC设=/尸3C=NPC4=。，则:

在AEAB中，APBA=AB-0

在△PJBC中，NPCB=NC—9,故NPBA=NPCB

根据相似判定可得△上钻〜△PBC，由相似三角形的性质“对应边成比例”，有:

—=—nPB?=PA-PC,A正确；

PBPC

pAPR4D

当b=c时，N3=N。且由选项A的相似性△PAS~ABCP,得：—=---=---

PBPCBC

^AB=c,BC=a,则装=£,结合pc=gPB，得工=±=>。=缶此时△PBC中，由余弦定理

PCaa72

a2=Z?2+c2（a=T2c,/7=c）^ZA=90°,ZB=ZC=45°

PCBC

在△PBC中，由正弦定理且ZBPC=180。-e-（45。-e）=135

sin。sinZBPC

PC_a\p2,c

—尸=2c=>PC=2c-sin6

得：sin。sin135°

2

在NPCA中,APAC=90°-0,ZPCA=0,ZAPC=90

由三角函数定义PC=ACcos9=c・cos夕（AC=b=c）

结合尸C=2c-sin，，得:

122y

c-cos=2c-sin^=>tan^=—^>cos0=-----=------,B正确；

2Jlf+45

tanB+tanC

已知A+B+C=TI,所以A=兀-（3+C）,tanA=-tan（5+C）=

1-tanBtanC

则1_1-tanBtanC

、tanAtan3+tanC

因为/PAB=NPBC"PCAE"4曲号

1111-tanBtanC11

在VABC中,-----1------1------------------1------1-----

tanAtanBtanCtanB+tanCtanBtanC

11tanB+tanC

经过通分和三角函数的恒等变换:-----1-----=----------

tanBtanCtanBtanC

1-tanBtanCtanB+tanC

-----------1----------高,故c正确;

tanB+tanCtanBtanC

在APABAPBCOPAC中,分别由余弦定理得:

BP2=c2+AP2-QG^AP0CP2=^+^~aBP6AP2=b2+CP2-bCP6

三式相力口整理得：2cose(c24P+aaP+bCP)=/+/+/①

由三角形面积公式S=jsinC=工AcsinA=工acsin3

222

=

得J：APR~©APsin0SAPC--bXJP-sinOS=—cOBP-sin0

'AArt>2△ArC?ACrPDR?

三式相加整理得：2S=sine((HAP+aBP+bCP)@

I2+从+C22cos0(c?AP+aBP+bCP)

结合①②式，可得：---

sin0(c?AP+aBP+bCP)

4V

整理可得：a2+b-+c2=~^-,D错误.

tan。

故选：ABC.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.在VABC中，若tanA,tanB是关于x的方程三+°（%+1）+1=0的两个实根，则cos2C=.

【答案】0

【详解】因为tanA,tanB是关于x的方程/+「苫+0+1=。的两个实根,

tanA+tanB=-/;

所以由韦达定理可得:

tanAtanB=p+1

tanA+tanB

则tan(A+B)=-----------=1

1-tanAtan3l-(p+l)

又因为A+8e（0,兀）,

所以A+5=：.

又因为人+5+。=兀,，

所以。=三3兀，

4

3兀

则cos2C=cos一=0.

2

故答案为：0.

13.如图，河流的一侧是以。为圆心的扇形区域OCD,河的另一侧有一建筑物AB垂直于水平面，假设扇

形0C£＞与8处于同一水平面上，记。8交c。于E若在C,O,E处看A的仰角分别为45。，30。和60。，则

NCOB的余弦值为.

A

【详解】由题意，可得/ACB=45。，/4。8=30。和/4£8=60。，所以NE4B=30。,

设扇形所在圆的半径为R，可得AE=OE=R,且AB垂直于水平面,

在直角AABE中，可得BE=AEcos600=，R,

2

所以。8S.BC=AB=AEsin60°=—R,

22

(-7?)2+7?2-

在中，可得c"C吁二O?2_5

3~6

2x-RxR

2

故答案为：--

6

14.已知x>0,(peR,/(x)=sin(^x+^),直线y=g与函数y=/(x),工£。,5的图象的交点为4、4、

若对1口＜/4叩。,，一），|4局的最小值为?最大值为g则/

L、4,

【答案】1或-;

【详解】设4（%,%）,

由/(x)=sin(Gx+0)=」可知，①入+0=工+2左1兀(仁GZ)或GX+0=2+2左2兀(左GZ),

266

因为从闯出二，则相邻交点最小距离为白即（巾-七比

2

.5兀_,।7T_।2兀_/__\

由——F2左2兀-I~+2左T］兀I———F2（22—兀，

1,7T47r

可知研为+「%）min=5啰=可，所以口=7.

,2兀3

所以最小正周期为r=d=5.

画2

因为A&Lt=37且5一汽，所以旧"（5）=4

故;刃+夕=事+夕=.+2fai或当+。=|+2也（左£Z）.

所以9=2左兀一］或eZ）,

当夕=2防c■(左£Z)时，f(x)=sin^-^-x——

〃

当夕=2kn+弓（女£Z）时,x)=sin(++3

故答案为：1或-彳.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）已知角。的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点尸（-3,耳，且tana=—1.

6求5皿万一°）+5由怎+9的值；

（2）将。的终边按顺时针方向旋转J，此时终边所对应的角为加求sin（a+£）的值.

【详解】（1）由三角函数定义可得小二子《得广"..............................2分

3

则cosa-i=

7(-3)2+425，

444

sina=tana=——6分

*3)2+4?5，3

71.431

sin(万一a)+sin|—+a=sma+cosa=----=一8分

2555

7Ca冗

(2)因为sin/3=sina~~,COSB=cos~~

也sina-立cos”逑3=旦。sa+2ina=叵,

所以sin/=H分

22102210，

4V237A/2170

所以sin(a+£)=—x-----------x-------=13分

51051050

717C

16.(15分)在VABC中，点。在边AC上，ZABD=~,NDBC=—,AB=1.

26

(1)若3c=2,求AD；

⑵若">=2CD,求AD.

2兀

【详解】（1）在VABC中，ZABC=—

由余弦定理,

27r

AC2=AB2+BC2-2AB•BC-cosZABC=l2+22-2xlx2cos—=7,

3

得AC=此3分

AB2+AC2-BC21+7-42不

所以cos/BAC=6分

2ABAC2xlx近一7

AB1—不

Ar)=

所以在Rta/WC中，cosA2^72•8分

7

(2)设CD=f,AD=2t,(r>0),在ABCD中，

CDBCAD1

由正弦定理得又因为sinZCDB=sinZADB=——二—

sinZCBD~sin/CDB'AD2t

BC

代入上式有：si。71JLJ得5C=1.11分

6It

由余弦定理得AC=^1+1-2cos

综上，AD=—AC=—\/3.15分

33

17.(15分)已知〃也c分别为VA3C的三个内角A,B,C的对边，若为/A4c的内角平分线，且CD=3,

B=y^,(tz+c)(sinA-sinC)=(Z?-c)sinB.

⑴求A的大小;

(2)求角平分线AD的长度:

(3)求VA3c的面积.

【详解】(1)因为(a+c)(sinA-sinC)=(6-c)sin3,

所以①+c)(a-c)=S-c)6,gpz)2+c2-a2=bc,

be1

所以COSA=?+S?T2分

2bc2bc2

因为Ae(O,Jt),

TT

所以A=g;4分

TT

(2)因为ZBAC=1,A。为，BAC的内角平分线,

TT

所以ZBAZ)=NC4O=—,

6

因为=工，B=—

312

所以c三6分

在△C4D中，由正弦定理得,

3

\CD\皿，即

.71.71，

sinZCADsinCsin—sin—

64

解得，|Ar>|=3®,

所以角平分线AD的长度为3a;9分

77r

(3)由(2)知，ZADC=—

12

在AC4£)中，由正弦定理得,

313

，即.兀.7兀，

sinZCADsinZADCsin-sin—

612

解得,|AC|=11分

在VABC中,由正弦定理得,

MM"=网

=，即.5兀.71,

sinBsinCsin——sin—

124

解得|AB卜30,.................................................................................................................................................13分

所以S“ABc=3A8HAa-sinN8AC=：x3^x[^1^]x*=曰(3+6),

乙乙I乙1乙

所以VABC的面积为苫(3+&)..........................................................................................................................15分

4

7T

18.(17分)如图，在平面四边形A8C。中，己知AC,BD交于O,AO=0C=垃，BD=2,ZAOB=-,

4

且。O>2O,令NCDO=cr,^BAO=/3.

(1)判断：AB=CD是否成立？请说明理由;

⑵求cos(a-/7)的值；

7T

（3）证明：当月=:时，。位于VABC外接圆的内部.

6

【详解】（1）成立，理由如下；

由题可知：/-COD=AAOB=—,AO=00—,^2,BD=2,

4

设。3=尤，OD=2-x

所以43?=AO2+OB2-2AOOBcosZAOB,CD2=OD2+OC2-2ODODcosZCOD,

所以AB?=%2-2X+2,CD2=X2-2X+2

所以/1B=CD.............................................................................4分

AB_______OA_______OA

（2）在VA03中，温u标

sin(兀一/一/AOi?)sin(/+NAO3)

CDOC

在△CO。中,.........................................................7分

sinZCODsina

由(1)可知AB=C£),ZCOD=ZAOB=,所以sin[〃+；J=sina,

TTTT

贝！]/?+—=a或£+—+1=兀，.............................................................10分

44

当夕+；=a,即=；时，所以cos(a-/)=^^;

IT

当£+—+戊=兀时，所以NQB4=a,则△AO5岂△C8,所以与OO>H9矛盾，

4

所以cos.....................................................................14分

（3）要证明。位于VABC外接圆的内部，即证明。>/?

IT

由（2）可知a-"=z，所以a>4........................................................17分

19.（17分）为了增强游客体验，某景区拟在一块半径为100m的圆形空地内建造一个内接四边形区域作

为游客漫时光体验区.如图所示，在四边形ABC。区域中，将AACZ）区域设计成花卉观赏区，VABC区域设

计成漫时光DI