定积分之几何应用.ppt

第五节定积分在几何上的应用 微元法元素法 用定积分表示的量U必须具备三个特征 一 能用定积分表示的量所必须具备的特征 3 部分量的近似值可表示为 二 微元法 则U相应地分成许多部分量 用定积分表示量U的基本步骤 1 U是与一个变量的变化区间 a b 有关的量 2 U对于区间 a b 具有可加性 分成许多部分区间 即如果把区间 a b 根据问题的具体情况 选取一个变量 例如为积分变量 并确定其变化区间 a b 2 在区间 a b 内任取一个小区间 求出相应于这个小区间的部分量的近似值 在处的值与的乘积 就把称为量U的微元且记作 即 如果能近似地表示为 a b 上的一个连续函数 3 以所求量U的微元为被积表达式 在区间 a b 上作定积分 得 平面图形的面积 一直角坐标情形 1 曲边梯形 当在 a b 上连续时 由曲线和及轴 所围成的曲边梯形面积就是 2 一般图形 以及两条直线x a x b之间的图形的面积微元为 如果函数在 a b 上连续 且 则介于两条曲线 则图形的面积为 注意 根据具体的图形特点 也可以选择积分变量或者利用图形的对称性简化计算 例1求椭圆的面积 如图 解由对称性 椭圆的面积 则 例2求由 所围图形面积 解 两抛物线的交点为 0 0 及 1 1 取x为积分变量 其变化区间为 0 1 由前面讨论可知 例3求由 所围图形面积 解 两曲线的交点为 2 2 及 8 4 根据此图形特点 可以选择y作为积分变量 其变化区间为 2 4 图形的面积微元为 从而可得图形面积 二 极坐标情形 1 曲边扇形 其中r 在 上连续 且r 0 相应于 d 的面积微元为 则图形面积为 设图形由曲线r r 及射线 所围成 取 为积分变量 其变化区间为 2 一般图形 及射线 所围图形的面积微元为 则面积为 由曲线 例4求r 1与r 1 cos 所围公共面积 解如图 曲线交点为 由对称性 则 而 立体的体积 一 平行截面面积已知的立体体积 点且垂直于轴的截面面积 如图 体积微元为 则体积为 取为积分变量 其变化范围为 a b 设立体介于之间 表示过 A x dV A x dx x a V b a a a a 过点M x 0 0 作垂直于x轴的截面 则截面为正方形 边长为 称为旋转体 则如前所述 可求得截面面积 二 旋转体的体积 则 平面图形绕同平面内一条直线旋转一周而成的立体 设旋转体由图1的曲边梯形绕x轴形成 图1 同理 如旋转体由图2的曲边梯形绕y轴形成 例6求如图直角三角形绕x轴旋转而成的圆锥体的体积 解可求得过点O及P h r 的直线方程为 由公式得 则体积为 图2 图3 柱壳法 由平面图形 绕轴旋转所成的旋转体的体积为 柱壳法 就是把旋转体看成是以y轴为中心轴的一系列圆柱形薄壳组成的 以此柱壳的体积作为体积元素 在区间上 柱壳体的体积元素为 即为圆柱薄壳 当很小时 此小柱体的高看作 x g y c d x g y 绕y轴旋转 y dA 2 g y ds ds是曲线的弧微分 故旋转体侧面积 求旋转体侧面积A ds 平面曲线的弧长 光滑曲线可应用定积分求弧长 若函数的导函数在区间 a b 上连续 则称曲线为区间 a b 上的光滑曲线 一 直角坐标情形 设光滑曲线方程 可用相应的切线段近似代替 即 则弧长微元 弧微分 故弧长为 取为积分变量 变化区间为 a b a b 内任意小区间的一段弧长 二 参数方程情形 设光滑曲线方程 弧长微元 则如前所述 例9求星形线