格林公式及其应用.ppt

格林公式及其应用 一 格林公式 二 平面上曲线积分与路径无关的条件 三 二元函数的全微分求积 一 格林公式 在一元积分学中 牛顿 莱布尼茨公式 表示 在区间 a b 上的积分可以通过它的原函数 在这个区间端点上的值来表达 下面介绍的格林公式告诉我们 在平面闭区域D上 的二重积分可以通过沿闭区域D的边界曲线L上的曲线积分来表达 设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属D则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域 通俗的说 平面单连通区域就是不含 洞 包括点 洞 的区域 复连通区域是含有 洞 包含 洞 的区域 例如 平面上的圆形区域 x y 1 4 或 2 都是复连通区域 x y 0 平面单连通区域的概念 对平面区域D的边界曲线L 我们规定L的正方向如下 当观察者沿L的这个方向行走时 D内在他近处的那一部分总在他的左边 例如 D是边界曲线L及l所围成的复连通区域 作为D的正向边界 L的正向是逆时针方向 而l的正向是顺时针方向 定理1 设闭区域D由分段函数光滑的曲线L围成 函数P x y 及Q x y 在上具有一阶连续偏导数 则有 其中L是D的取正向的边界曲线 公式 1 叫做格林公式 1 注意哦 对于复连通区域D 格林公式 1 右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向 在公式 1 中取P y Q x 即得 上式的左端是闭区域D的两倍 因此有 例1求椭圆 所围成的图形面积A 格林公式的一个简单应用 根据公式 1 有 例2设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明 解 证明 则 因此 有格林公式得 例3计算 其中L为一条无重 点 分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 令 解 则当 时 有 记L所围成的闭区域为D 当 时由格林公 式得 令 当 时 选取适当的r 0 作为于D内的 圆周l 记L和l所围得闭区域为D1 如图 对复连通区域D1应用格林公式 得 其中l的方向取逆时针方向 于是 一般来说 曲线积分的值除了与被积函数有外 还与积分的路径有关 但在自然界中许多问题的曲线积分是与路径无关的 如重力场 静电场中研究力问题时遇到的曲线积分 通常属于这种情况 设G是一个开区域 且P x y Q x y 在G内具有一阶连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点 二平面曲线积分与路径无关 以及G内从点A到点B的任意两段曲线L1 L2等式 恒成立 则称曲线积分 在G内与路径 无关 否则就称该曲线积分与路径有关 此时 从A到 B的曲线积分可记为 或 定理2设二元函数P x y Q x y 在单连通区域G具有一阶连续偏导数 则在单连通区域G内下列条件等价 1 2 沿任意分段光滑的有向 3 曲线积分 与路径无关 闭曲线L 有 满足 注意 1 定理中的等价关系是建立在单连通区域内的 并且要求P x y Q x y 在G上具有有一阶连续偏导数 当这两个条件之一不满足时 等价关系都可能不成立 2 定理中命题 2 和 3 的等价区域可以不是单连通的 3 若函数P x y Q x y 满足定理2条件 例4设函数Q x y 在xoy面上具有一阶连续偏导数 曲线积分 与路径无关 且对任意实数t 恒有 求函数Q x y 解 由题意知曲线积分与路径无关 因而有 即 于是 其中 为任意可导函数 如图所示 取点A t 0 B t 1 C 1 0 D 1 t 对所给等式 左端沿折线OAB 右端沿折线OCD直线进行曲线积分 得 将前面得到的Q x y 代入上式 得 即 两段对t求导数 得 或 故 三 二元函数的全微分求积 给定u x y 求二元函数全微分问题 二元函数的全微分求积分题 讨论以下两个问题 定理3 设区域G是一个单连通域 函数P x y Q x y 在G内具有一阶连续偏导数 则在G内是某个函数的全微分的充分必要条件是 在G内恒成立 证明略 推论 说明 2 推论给出了全微分求积得方法 即 可用积分法求 及动点M x y 例 证 小结 内容 应用 1 格林公式 常用来将较复杂的曲线积分的计算转化为较 简单的二重积分的计算 2 曲线积分与路径无关的条件 3 等价条件 设P Q在D内具有一阶连续偏导数 则有 在D内与路径无关 对D内任意闭曲线L有 在D内有 在D内有 求第二类曲线积分的思路 专项练习 1 计算下面曲线积分 并验证格林公式的正确性 解 其中L是由抛物线 及 所围成的区 域的正向边界曲线 故 用二重积分计算 2 利用曲线积分 求下面曲线所围成的图形面积 圆 解 正确 的参数方程为 所以格林公式 圆 3 证明下面曲线积分在整个xOy面内与路径无关 并计算积分值 解 在整个xOy平面内成立 所 以积分与路