连续信号与系统的频域分析.ppt

1 第3章连续信号与系统的频域分析 3 0引言3 1信号的正交分解3 2周期信号的连续时间傅里叶级数3 3周期信号的频谱3 4非周期信号的连续时间傅里叶变换3 5傅里叶变换的性质3 6周期信号的傅里叶变换3 7连续信号的抽样定理3 8连续系统的频域分析 2 3 0引言 变换域分析 就是选取完备的正交函数集来最佳逼近信号 或者说 信号用完备的正交函数集来展开 其展开系数就是信号的变换表示 不同的变换域的区别就在于选取不同的完备正交集 采用变换域分析的目的 主要是简化分析 傅里叶变换主要从信号频率分量的组成情况去考察信号的特性 从而便于研究信号的传输和处理问题 3 3 1信号的正交分解 信号表示为正交函数分量的原理与矢量分解为正交矢量的概念类似 矢量的分量和矢量的分解 矢量在矢量上的分量示意图 图 a 中 4 从几何图上可得 标志着和相互近似程度 矢量投影 矢量分量 5 正交 6 平面矢量分解图 和是一组模为1的正交矢量 平面矢量分解图 正交 7 空间中的矢量分解图 空间中的矢量分解图 8 则 N维空间中的矢量分解 9 函数的分量 设在区间内 用函数在另一函数中的分量来近似的代表原函数 取何值时 得到最佳近似 信号的分量和信号的分解 10 代表二函数和间的相关联的程度 信号的分量和信号的分解 11 地方 称和在区间内为正交 构成了一对正交函数 称与正交 组成正交矢量 信号的分量和信号的分解 地方 12 设n个函数构成一函数集 如在区间内满足下列正交特性 常数 正交信号空间 则称此函数集为 t1 t2 区间上的正交函数集 这n个构成一个n维正交信号空间 当K 1时 则称该函数集为归一化正交函数集 13 理论上讲 可求得 正交信号空间 则称此函数集为正交函数集 这n个构成一个n维正交信号空间 任意一个代表信号的函数f t 在区间内可以用组成信号空间的n个正交函数的线性组合来近似 dddd P141习题三3 1 14 15 如果用正交函数集 在区间近似表示函数均方误差为使均方误差等于零的函数集称为完备正交函数集 定义1 用完备正交函数集表示信号 16 定义2 如果在正交函数集之外 不存在函数x t 用完备正交函数集表示信号 17 两点说明 1 如果x t 在区间内与正交 则x t 必属于这个正交集 2 若x t 与正交 但中不包含x t 则此集不完备 用完备正交函数集表示信号 两个关于完备正交函数值的定理 见课本 P141习题三3 3 18 19 三角函数集为完备正交函数集 复指数函数集 是一个复变函数集 也是完备正交函数集 和傅里叶变换有关的完备正交函数集 20 3 2周期信号的连续时间傅里叶级数 21 1822年法国数学家傅里叶 1768 1830 在研究热传导理论时发表了 热的分析理论 著作 提出并证明了将周期函数展开为正弦级数的原理 三角函数集 复指数函数集是完备正交函数集 1 三角函数集 3 2周期信号的连续时间傅里叶级数 22 三角函数集 23 地方 地方 信号的三角函数表示 24 复指数函数集 2 复指数函数集 25 地方 地方 信号的复指数函数表示 26 由数学分析知 当周期信号f t 满足狄氏条件时 可展开为三角傅里叶级数或复指数傅里叶级数 狄氏条件 1 在一周期内 间断点的数目有限 2 在一周期内 极大 极小值的数目有限 3 在一周期内 电子技术中的周期信号大都满足狄氏条件 当f t 满足狄氏条件时 才存在 周期信号表示为傅里叶级数 27 1 周期信号f t 展开为三角傅里叶级数 设f t 是周期为T的函数 周期信号表示为三角傅里叶级数 28 周期信号表示为三角傅里叶级数 n次谐波分量 基波分量 29 其中 可取t1 0 t1 T 2等等 显然 an为n的偶函数 bn为n的奇函数 即 周期信号表示为三角傅里叶级数 30 例求图示信号的傅里叶级数展开式 图示周期信号 周期信号表示为三角傅里叶级数 31 解 这表明信号f t 的直流分量为a0 2 E 2 考虑到上式中 2 T 则an 0 32 同样可得 33 据式有 34 当f t 为t的奇函数时 则有f t cosn t为t的奇函数 f t sinn t为t的偶函数 因而有 周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 35 f t 为t的偶函数时 由于f t cosn t为t的偶函数 f t sinn t为t的奇函数 即当f t 为偶函数时 其傅里叶级数展开式中只可能有直流分量及cosn t分量 而无sinn t分量 周期信号的对称性与傅里叶系数的关系 36 2 周期信号f t 展开为复指数傅里叶级数 周期信号表示为复指数傅里叶级数 P142习题三3 5 a 37 38 周期信号的有限项逼近 原始信号 N 1 N 3 信号分解见课本P464附录C 39 原始信号 N 10 N 30 周期信号的有限项逼近 40 吉布斯效应 吉布斯现象 又叫吉布斯效应 将具有不连续点的周期函数 如矩形脉冲 进行傅立叶级数展开后 选取有限项进行合成 当选取的项数越多 在所合成的波形中出现的峰起越靠近原信号的不连续点 当选取的项数很大时 该峰起值趋于一个常数 大约等于总跳变值的9 这种现象称为吉布斯现象 41 为了能既方便又明白地表示一个信号中包含有哪些频率分量 各分量所占的比重怎样 就采用了称为频谱图的表示方法 频谱图的概念 由上一节知周期信号f t 可用傅立叶级数来表示 或 3 3周期信号的频谱 42 例 试画出f t 的振幅谱和相位谱 解f t 为周期信号 题中所给的f t 表达式可视为f t 的傅里叶级数展开式 据 可知 其基波频率 rad s 基本周期T 2s 2 3 6 分别为二 三 六次谐波频率 且有 频谱图举例 43 例题中信号的单边频谱图 a 振幅谱 b 相位谱 44 例题中信号的双边频谱图 a 振幅谱 b 相位谱 45 矩形脉冲信号的频谱 周期矩形脉冲信号 F t T t T 脉冲周期 脉冲宽度 E 脉冲幅度 T 三角函数公共周期 典型周期信号的频谱 矩形脉冲信号的频谱 46 为得到该信号的频谱 先求其傅里叶级数的复振幅 矩形脉冲信号的频谱 47 取样函数定义为 这是一个偶函数 且x 0时 Sa x 1 当x k 时 Sa k 0 据此 可将周期矩形脉冲信号的复振幅写成取样函数的形式 即 矩形脉冲信号的频谱 48 矩形脉冲信号的频谱 49 周期信号频谱普遍具有以下几个特点 离散性此频谱由不连续的谱线组成 每一条谱线代表一个正弦分量 所以此频谱称为不连续谱或离散谱 谐波性此频谱的每一条谱线只能出现在基波频率 的整数倍频率上 即含有 的各次谐波分量 而决不含有非 的谐波分量 收敛性此频谱的各次谐波分量的振幅虽然随n 的变化有起伏变化 但总的趋势是随着n 的增大而逐渐减小 当n 时 Fn 0 矩形脉冲信号的频谱 50 不同 值时周期矩形信号的频谱 a T 5 b T 10 51 不同T值时周期矩形信号的频谱 a T 5 b T 10 52 周期矩形脉冲信号的主要能量集中在第一个零点之内 因而 常常将 0 这段频率范围称为矩形脉冲信号的频带宽度 记为 或 频带宽度 53 频谱密度函数以周期矩形信号为例 当周期 周期信号变为非周期信号 离散频谱变成连续频谱 即谱线长度趋于零 无穷小 以上讨论了周期信号的傅里叶级数 并得到周期信号的频谱具有离散性 谐波性 收敛性三个特点 现在把上述傅里叶分析方法推广到非周期信号中 导出非周期信号的傅里叶变换 此时 原分析方法失效 但谱线长度 振幅 虽同为无穷小 但它们的大小并不相同 相对值仍有差别 3 4非周期信号的连续时间傅里叶变换 54 为了表明无穷小的振幅间的相对差别 有必要引入一个新的量 称为 频谱密度函数 设周期信号 55 非周期信号的傅里叶变换 当 由周期信号 56 非周期信号的傅里叶变换 57 非周期信号的幅度频谱和相位频谱 频谱函数F j 一般是复函数 可记为 幅度频谱 F 的关系曲线相位频谱 的关系曲线 它们都是 的连续函数 58 f t 为实函数时 根据频谱函数的定义式导出 式中 频谱函数的实部和虚部 59 与周期信号的傅里叶级数相类似 F 与R X 相互之间存在下列关系 幅度 相位 实部和虚部关系 60 奇偶关系 在f t 是实函数时 1 若f t 为t的偶函数 即f t f t 则f t 的频谱函数F j 为 的实函数 且为 的偶函数 2 若f t 为t的奇函数 即f t f t 则f t 的频谱函数F j 为 的虚函数 且为 的奇函数 61 非周期信号的三角函数表示 与周期信号类似 也可将非周期信号的傅里叶变换表示式改写成三角函数的形式 即 62 从上面可以看出 非周期信号和周期信号一样 也可以分解成许多不同频率的正 余弦分量 不同的是 由于非周期信号的于是它包含了从零到无限高的所有频率分量 同时 三角函数振幅 故用频谱不能直接画出 必须用它的密度函数作出 最后必须指出 从理论上讲 FT也应满足类似狄氏条件 讨论 结论 63 例1图 a 所示矩形脉冲一般称为门函数 其宽度为 高度为1 通常用符号g t 来表示 试求其频谱函数 解 门函数g t 可表示为 典型信号的傅里叶变换 64 图门函数及其频谱 a 门函数 b 门函数的频谱 c 幅度谱 d 相位谱 65 例2求指数函数f t 的频谱函数 图单边指数函数e t及其频谱 a 单边指数函数e t b e t的幅度谱 66 其振幅频谱及相位频谱分别为 解 指数函数f t 的频谱函数 67 例3求图示双边指数函数的频谱函数 图双边指数函数及其频谱 a 双边指数函数 b 频谱 68 例4求图示信号f t 的频谱函数 图 a 信号f t b 频谱 虚部 69 a 0 解图示信号f t 可表示为 70 例5求符号函数Sgn t 的频谱函数 考察例4所示信号f t 71 当 0时 其极限为符号函数Sgn t 因而可以用求f t 的频谱函数F j 当 0的极限的方法来求得Sgn t 的频谱函数 例4所示信号的频谱函数为 从而有 72 图符号函数Sgn t 及其频谱 a Sgn t 的波形 b 频谱 73 例6求单位冲激函数 t 的频谱函数 图信号 t 及其频谱 a 单位冲激信号 t b t 的频谱 解 物理意义 在时域中变化异常剧烈的冲激函数包含幅度相等的所有频率分量 因此 这种频谱常称为 均匀谱 或 白色谱 74 例7求直流信号1的频谱函数 图直流信号f t 及其频谱 直流信号f t 频谱 解直流信号1可表示为 75 例8求阶跃函数 t 的频谱函数 由阶跃函数 t 的波形容易得到 解 从而就可更为方便地求出 t 的频谱函数 即 76 图阶跃函数及其频谱 a t 的波形 b 频谱 77 表常用傅里叶变换对 78 续表 79 根据傅里叶变换的概念 一个非周期信号可以表述为指数函数的积分 即 3 5傅里叶变换的性质 80 1 线性 若 且设a1 a2为常数 则有 81 2 时移性 若f t F j 且t0为实常数 可正可负 则有 此性质可证明如下 82 例3 5 1求图3 5 1 a 所示信号的频谱函数 图3 5 1例3 5 1的图 a f t 的波形 b 相位谱 83 解 84 3 频移性 85 频谱搬移的原理是将信号f t 乘以载频信号cos 0t或sin 0t 从而得到f t cos 0t或f t sin 0t的信号 因为 调制定理 86 例3 5 2求高频脉冲信号f t 图3 5 2 a 的频谱 图3 5 2高频脉冲信号及其频谱 a f t 的波形 b 频谱 87 解图3 5 2 a 所示高频脉冲信号f t 可以表述为门函数g t 与cos 0t相乘 即 88 4 尺度变换 图3 5 3信号的尺度变换 0 1 0 1 89 图3 5 3 a 所示的信号f1 t 可写成宽度 等于1的门函数 即 90 尺度变换性质表明 信号的持续时间与其频带宽度成反比 在通信系统中 为了快速传输信号 对信号进行时域压缩 将以扩展频带为代价 故在实际应用中要权衡考虑 在尺度变换性质中 当a 1时 有 也称为时间倒置定理 91 5 对称性 例1 例2 92 取样函数及其频谱 更一般地 有 重要 93 6 时域卷积 在信号与系统分析中卷积性质占有重要地位 它将系统分析中的时域方法与频域方法紧密联系在一起 在时域分析中 求某线性系统的零状态响应时 若已知外加信号f t 及系统的单位冲激响应h t 则有 在频域分析中 若知道F j F f t H j F h t 则据卷积性质可知 94 7 频域卷积 f t cos 0t 例 f t cos 0t 95 8 时域微分 此性质表明 在时域中对信号f t 求导数 对应于频域中用j 乘f t 的频谱函数 如果应用此性质对微分方程两端求傅里叶变换 即可将微分方程变换成代数方程 从理论上讲 这就为微分方程的求解找到了一种新的方法 此性质还可推广到f t 的n阶导数 即 96 9 时域积分 97 10 帕塞瓦尔定理 设 则 98 表傅里叶变换的性质 P144习题3 17 99 P145习题3 19 100 P145习题3 20 101 102 3 6周期信号的傅里叶变换 设f t 为周期信号 其周期为T 依据周期信号的傅里叶级数分析 可将其表示为指数形式的傅里叶级数 即 103 例3 6 1求图3 6 1 a 所示周期矩形脉冲f t 的频谱函数F j 图3 6 1周期矩形脉冲信号及其频谱 a f t 的波形 b 复振幅Fn c 频谱函数F j 104 解周期矩形脉冲f t 的复振幅Fn为 105 例3 6 2图3 6 2 a 为周期冲激函数序列 T t 其周期为T T t 可表示为 n为整数 图3 6 2周期冲激序列及其频谱 106 解先求 T t 的复振幅Fn 107 设一周期信号fT t 其周期为T fT t 中位于第一个周期的信号若为fa t 则不难得到 周期冲激函数序列 T t 频谱的应用 108 重新考虑例3 6 1 周期冲激函数序列 T t 频谱的应用 109 3 7连续信号的抽样定理 信号的时域抽样定理 图3 7 1信号的抽样 110 抽样周期 抽样频率 抽样角频率 研究两个问题 111 图3 7 1所示的抽样原理从理论上分析可表述为f t 与抽样脉冲序列PTs t 的乘积 即 式中的抽样脉冲序列PTs如图3 7 2所示 它实际上就是例3 6 1所讨论过的周期矩形脉冲函数 可表示为 112 图3 7 2抽样脉冲序列PTs t 113 图3 7 3理想抽样的过程及其有关波形 114 1 抽样定理 连续时间信号f t 的时域抽样定理可表述为 在频率fmHz以上没有频谱分量的带限信号 由它在均匀间隔上的抽样值惟一地决定 只要其抽样间隔Ts小于或等于 由抽样定理可知 要求被抽样的信号f t 为带限信号 即频带有限的信号 其最高频率为fm 最高角频率 m 2 fm 即当 m时 F j 0 带限信号的概念示于图3 7 4 115 图3 7 4带限信号及其频谱 116 设信号f t 为带限信号 其最高频率分量为fm 最高角频率为 m 2 fm 即当 m时 F j 0 带限信号f t 的波形及频谱示于图3 7 5 a 中 117 图3 7 5信号的抽样及其频谱 118 119 2 f t 的恢复 由图3 7 5 c 所示样值函数fs t 及其频谱Fs j 图形可知 样值函数fs t 经过一个截止频率为 m的理想低通滤波器 就可从Fs j 中取出F j 从时域来说 这样就恢复了连续时间信号f t 即 式中 H j 为理想低通滤波器的频率特性 H j 的特性为 3 7 7 120 由式 3 7 7 可知 据傅里叶变换的时域卷积性质 得 式中 fs t 为Fs j 的傅里叶反变换 121 图3 7 6f t 的恢复原理 122 由式 3 7 8 所表示的理想低通滤波器的频率特性可表示为 的门函数的形式 如式 3 7 10 所示 应用傅里叶变换的对称性 得到 123 当抽样间隔时 上式可写为 124 图3 7 7f t 的恢复 http 202 117 112 33收看动画演示 P145习题3 26 125 126 3 8连续系统的频域分析 127 1 一般信号f t 激励下的零状态响应 由此可得用频域分析法求解系统零状态响应的步骤为 系统函数的概念 128 例3 8 1已知激励信号f t 3e 2t 2 t 试求图3 8 1所示电路中电容电压的零状态响应uCf t 图3 8 1例3 8 1的图 129 130 注意到 的取样性质 并为了较方便地求得UCf j 的逆变换 将UCf j 按如下形式整理 131 例3 8 2如图3 8 2 a 所示系统 已知乘法器的输入 s t 的波形如图3 8 2 b 所示 系统函数 132 图3 8 2例3 8 2图 a 系统组成 b s t 的波形 133 先求f t 的傅里叶变换F j 由于 134 再求s t 的傅里叶变换S j 由于s t 为周期信号 T 1ms 则 因而有 135 图3 8 3y t 的求解 136 P146习题3 31 137 138 2 无失真传输条件从以上分析可知 在一般情况下 系统的响应与所加激励波形不相同 也就是说 信号在传输过程中产生了失真 1 失真的概念如果信号通过系统传输时 其输出波形发生畸变 失去了原信号波形的样子 就称失真 反之 若信号通过系统只引起时间延迟及幅度增减 而形状不变 则称不失真 如图3 8 5所示 139 图系统的无失真传输 140 通常把失真分为两大类 一类为线性失真 另一类为非线性失真 信号通过线性系统所产生的失真称线性失真 其特点是在响应y t 中不会产生新频率 也就是说 组成响应y t 的各频率分量在激励信号f t 中都含有 只不过各频率分量的幅度 相位不同而已 反之 f t 中的某些频率分量在y t 中可能不再存在 如图3 8 6所示的失真就是线性失真 对y t 与f t 求傅里叶变换可知 y t 中决不会有f t 中不含有的频率分量 141 图线性失真 142 信号通过非线性电路所产生的失真称非线性失真 其特点是在响应y t 中产生了信号f t 中所没有的新的频率成分 如图3 8 7所示 其输入信号f t 为单一正弦波 f t 中只含有f0的频率分量 而经过非线性元件二极管后得到的