近独立粒子的最概然分布.ppt

第二章近独立粒子的最概然分布 一 四球在箱子中的分布 前面介绍了热力学基本概念 本章内容 介绍统计物理的基本原理 三种分布 以及三种分布之间的关系 在介绍基本原理之前 先介绍一个简单的例子 四球模型 用来引出统计物理的一些基本概念 第1节四球模型 四球在箱子中 左2右2为最大概率 为什么 1 分布与微观态 分布 不标记球 只数球在每边的数目 左3右1 称为一个分布左2右2 左1右3 等等对于4球来说 共有5个分布 左边有0 1 2 3 4个球 对每个分布 都有4个球不同的组成方法 称为组态 或称为一个微观态 如 左1右3 有4个不同的微观态 4个球分别起名字a b c d a bcd b acd c abd d abc 对于左2右2 有6个不同的微观态 ab cd ac bd ad bc bc ad bd ac cd ab 如果微观态数用 n 表示 n表示左边的球数 则 1 4 2 6 2 等几率假设 每球出现在左半边的几率p 0 5 在右半边的几率q 1 p 0 5 对于每个微观态 相当于4个不相关的事件 出现的几率都是0 44 如果是N个球 则每个微观态出现的几率为0 5N 玻耳兹曼 等几率假设 每个微观态出现的几率都相同 3 最可几分布 对于每个分布 则因为微观态数不同 所以出现的几率也不同 其中微观态最多的分布 出现几率最大 称为最可几分布 讨论 1 什么是分布 2 什么是微观态 3 最可几分布出现概率可以远远大于其他分布 二 推广为N个分子在箱子中的分布 左边分子数为n 右边分子数为n 总分子数N n n 微观态数目为 n 实验观察 1 相互碰撞与箱壁碰撞 不规则运动 2 把箱子等分为左右两部分 左与右分子数目大致相等 1 微观态和分布 左边n个粒子 相当于从N个粒子中选取个n 剩下个在右边 选取方法有 2 最可几分布 分析 微观态数目最大的分布即为最可几分布 当N和n很大时 可用stirling公式 对上式计算微分 找出最大的 n 对应的n 对上式两边取对数 得 化简 并令微分式等于零 用同样的思路 在计算中保留变量n和n 求解最可几问题 再对限制条件n n N取微分 用待定乘子 乘此式与上式相减 上式成立的条件是 n和 n 的系数均为0 即 拉格朗日乘子方法求解条件极值 三 涨落 虽然n n 是最可几分布 但系统并不是总处在这个分布上 实际观测发现有微小的上下波动 为了表示涨落的相对大小 通常用均方根与n的比值来定义相对涨落 当粒子数较少时 涨落很大 当粒子数较大 则涨落可忽略 N 4时 涨落为 N 102时 涨落为 N 1020时 涨落为 第2节粒子运动状态的经典描述 运动状态 一 相空间 空间 能量 能量可写成 粒子的自由度 r 由r个量才能确定粒子的位置 另外r个量则可以确定粒子该方向上的动量 例 粒子r 3 转子 双原子分子r 6 当有外场影响时 能量还可以是外场的函数 例如H 磁场强度 等 可以用2r维正交坐标系 可以是高维坐标系 来描述粒子的状态 对于1维粒子 可以用2维 直角 坐标系中的一个点来描述 包括位置坐标q和动量p 2维 4维坐标系中的1个点3维 6维坐标系中的1个点r维 2r维坐标系中的1个点来描述该粒子的运动状态 粒子运动状态的代表点 2r维正交坐标系的1个点 相空间 空间 这个坐标系构成的空间 可以描述粒子运动状态 相轨道 粒子状态改变 代表点在相空间移动描出的线 相体积 粒子运动 代表点的相轨道占有一定的体积 举例熟悉上述概念 相空间 空间 相轨道 相体积等 二 自由粒子 1维 用x和px表示状态 则x px空间构成相空间 一个自由粒子 在一维箱内 L 箱长 能量固定为 讨论 以下情况时的相空间 相轨道和相体积 用 表示相体积 则相体积元d dxdpx 运动轨道所占据的相体积为 条件下的相体积 三维箱V中的自由粒子 自由粒子在能量 d 范围时的相体积 简称 自由粒子在d 内的相体积 三 线性谐振子 质量m 在回复力f kx作用下振动 k 弹性系数 圆频率 能量 与坐标有关 势能 与动量有关 动能 当 固定时 相轨道为椭圆 变形为标准椭圆方程 谐振子在能量 d 范围时的相体积 第3节粒子运动状态的量子描述 量子力学对于微观粒子运动状态的描述 和经典描述方法有较大的差异 例如 能量的不连续性 波函数 量子数等 一 线性谐振子 n 描述量子态的量子数 可取整数或者半整数 此处只取整数 普朗克常数 线性谐振子的圆频率 二 外磁场中的电子自旋 电子具有自旋动量矩s 自旋磁矩 其中s的量子化取值为 自旋量子数 这里只有两个取值 自旋磁矩取值为 如果有外场B 则电子自旋磁矩在外场中的势能为 电子自旋的势能 由自旋量子数ms决定 三 转子 用来描述双原子分子的一个模型 量子力学的研究表明 大学物理知识 转子的能量为 其中 L是动量矩 角动量 L I 是角速度 角量子数 L在z方向的分量为 m 与角量子数取值有关 有 2l 1 个不同的取值 称为磁量子数 转子的能量 定义 简并 对应同一能量 能级 转子具有多个 2l 1 个不同的量子态 称为能级简并 简称简并 四 经典描述与量子描述的差别 1 运动状态 经典 广义坐标 广义动量 有轨道概念 量子 波函数描述 2 能量 经典 是坐标与动量的函数 连续的 量子 是量子数的函数 能级分立的 因为量子数不连续 3 粒子描述 经典 可以标记 有运动轨道 交换粒子改变微观态 量子 全同粒子 交换不改变 波函数重叠 不可区分 具有波粒二象性 结论 由于以上差别 产生两种不同的统计方法 经典统计物理和量子统计物理 它们的统计原理相同 区别在于 对微观粒子运动状态的描述不同 第4节半经典近似 一 半经典近似 经典描述基础上加上量子化条件 主要内容 玻尔假设 1 满足量子化条件的相轨道 称为量子化轨道 才有可能出现 量子化条件 2 每个量子化的相轨道在空间占据一定的相体积 当自由粒子的自由度为r时 占相体积为hr 即 如果粒子运动的代表点在相空间占相体积为 则其中含有的量子化相轨道的数目为 例 一维自由粒子 如能量为 则 作闭路积分 满足玻尔量子化条件 引入量子化条件后 能量不连续 由量子数n确定 任意两条相轨道之间的相体积为 验证了玻尔假设 2 二 自由粒子的量子态 三维箱L3中的自由粒子 对应动量为 总能量为 有三个量子数 能级可以发生简并现象 三 自由粒子的态密度 对于三维自由粒子 r 3 相空间中的体积元为 对应的量子态数目为 V内的自由粒子 动量在p p dp范围内 相体积为 则量子态数目为 自由粒子的态密度 如果考虑自旋 自旋使能量相同的量子态数目增多 当自旋量子数为s时 自旋动量矩有 2s 1种可能 则 第5节系统微观运动状态的描述 一 近独立的全同粒子系统 近独立 粒子间相互作用可忽略 不考虑势能 以及相互碰撞能量的改变 是统计物理主要的研究对象 例 经典理想气体 稀薄实际气体 说明 1 相互作用必须存在 否则达不到平衡态 2 相互作用很小 求总能量时可忽略相互作用 本节内容 1 近独立全同粒子系统 2 全同性原理 3 量子系统 玻色子与费米子 全同粒子 具有完全相同性质 相同质量 自旋 电量等 的粒子 在外重力场 磁场 电场中的表现相同 二 全同性原理 波粒二象性 物质具有波动性和粒子性 德布罗意 经典粒子也具有波动性 全同性原理 对于全同粒子 互相交换后 不改变系统的微观态 说明 1 定域粒子 运动限制在很小的范围内的微观粒子 例如 晶格原子或离子 可分辨 由定域粒子组成的系统称为定域系 2 对于定域系 虽然组成粒子是全同的 可认为是可区分粒子 非定域系统 必须考虑全同性 三 玻色子和费米子 因为微观粒子自旋不同而做的区分 当自旋是半整数时 遵从泡利不相容原理 系统的单量子态上只可容纳一个粒子 引起微观态不同 自旋的叠加性 例 1H原子 质子1 电子1 4He原子 中子2 质子2 为玻色子 2H原子 D氘 质子1 中子1 电子1 3H核 氚核 质子1 中子2 是费米子 总结 问题 有2个粒子 对应着3个不同的量子态 有多少种不同的微观态 解 定域系统 A B可区分 交换后为不同的微观态 非定域 粒子不可区分 1 玻色系 2 费米系 第6节等几率原理 给定N V E的孤立系统达到平衡态后 可以有很多不同的微观态 每个微观态出现的几率如何 说明 1 基本假设 可由大量观测证明 大量统计物理的结论证明 2 只适用于孤立系统 对于有E N改变的系统不适用 3 系统达到平衡态 等几率原理 假设 Boltzmann 玻耳兹曼 19世纪70年代提出 处在平衡态的孤立系统等几率地出现于每个可能的微观态 没有任何理由认为某一个微观状态出现的概率比别的微观状态更大一些 第7节分布和微观状态 一 分布 考虑一个达到平衡态的孤立系统 有确定的N V E 由近独立全同粒子构成 单粒子的能级为 l 能级的简并度为gl 对应能级上的粒子数为al 分布为 能级 简并度 粒子数 简记为 al 称为 粒子数按能级的一个分布 简称分布 又叫系统的一个宏观态 且满足 二 分布与微观态 给定分布 al 在能级 l上有al个粒子 而al占据gl个量子态的方式没有确定 每种占据方式给定一个微观态 对应一种分布 al 有 个不同的微观态 微观态数为 不同的粒子性质 对同一分布 微观态数不同 分类讨论 三 定域系情形 粒子可分辨 第1步 固定 al 从N个粒子取a1个占到 l 取法为 从 N a1 个粒子取a2个占到 2 取法为 对所有能级都取一遍 总的取法 第2步 对于每个能级 al个粒子 有gl个可能的位置 对于每个能级 都这样做一遍 则有 再考虑第1步 则分布 al 下的分配方式数为 玻耳兹曼分布的微观态数 四 费米系的情形 因为粒子全同 按能级分配只有一种方式 粒子按能级分配后 考虑al个粒子在gl个量子态如何分配 由于泡利不相容原理 每个可能的量子态上最多只能有1个粒子 则相当于gl个空位选出al个 即 则总放法为 费米分布的微观态数 五 玻色系的情形 因为粒子全同 按能级分配只有一种方式 粒子按能级分配后 考虑al个粒子在gl个量子态如何分配 相当于 gl 1 个隔板 al个粒子 共有 al gl 1 个位置 放置 gl 1 个隔板 al个粒子占据其余的位置 即 则总放法为 玻色分布的微观态数 六 非简并性条件 当稀薄气体时 任一能级上的粒子数远小于该能级的量子态数目 则玻色系 非简并性条件 也称为经典极限条件 而费米系 说明 1 在非简并性条件下 2 玻色系与费米系差别消失 3 出现了N 因子 第8节玻耳兹曼分布 每种分布 al 对应不同的微观状态数 其中 最大的分布 称为最可几分布 按等几率原理 每个微观态出现的几率相等 此时的 al 为最有可能出现的分布 本节将导出定域系粒子按能级的分布 称为玻耳兹曼分布 一 玻耳兹曼分布的导出 最可几分布使得 利用stirling公式 求微分 用待定乘子 和 分别乘条件式 玻耳兹曼分布 说明 1 求出了平衡态时每个能级上的粒子数 2 条件可写成 3 和 的值可用其他方法给出 能级 l上有gl个量子态 在平均情况下 每个能量为 l的量子态上的粒子数应当相同 则 二 单粒子量子态上的平均粒子数 条件可写成 三 平衡状态下的分布 最可几分布 al 再考虑另外一个分布 al 偏离 al 为 al 则微观状态数为 做泰勒展开 取前三项 需要求解 2ln 对下式求微分 如果 al 和 al 相比很小 例如 考虑宏观系统有大量粒子数 例如 结论 与 相比几乎不出现 最可几分布 al 出现的可能性 概率 几乎为1 第9节玻色分布与费米分布 一 玻色分布 假设al 1 gl 1 再利用stirling公式 把限制条件乘以待定乘子 和 玻色分布 al 的微观状态数为 玻色系统的最可几分布 说明 1 其中待定乘子 和 由限制条件所确定 2 此推导是有条件的 假设al 1 gl 1 并不严格 可以用更严格的方法 系综方法 推导出同样的公式 二 费米分布 同理 对于费米分布 al 的微观状态数 也可以用类似的方法推导出 费米系统的最可几分布 三 单量子态平均粒子数 对上述最可几分布 如果考虑一个能量为 s的量子态s 则其上的平均粒子数为 表示费米系 表示玻色系 下同 则系统总粒子数N和能量E也可以对量子态求和 第10节三种分布的关系 玻耳兹曼分布玻色分布费米分布 如果考虑e 1 则上面的式子都可以写成玻耳兹曼分布 即为非简并性条件 经典极限条件 见第7节第六部分 说明 1 非简并性条件下 三种系统的最可几分布相同 2 分布相同 但对应的微观状态数不相同 玻耳兹曼分布的微观状态数为 MB 而玻色 费米系统的微观状态数为 MB N 练习题 1 试证明在体积V内 在 d 的能量范围内 三维自由粒子的量子态数为 证明 相体积元d dxdydzdpxdpydpz 则在体积V内 动量范围0 p范围内的相体积为 在体积V内 能量范围0 范围内的相体积为 则求自由粒子在能量 d 范围时的相体积为 对上式求微分 考虑到对于3维粒子 每个量子态所占据的相体积为h3 则 2 试证明 对于二维自由粒子 在面积L2内 在 d 的能量范围内 量子态数为 证明 相体积元d dxdydpxdpy 则在面积L2内 动量范围0 p范围内的相体积为 在面积L2内 动量范围0 范围内的相体积为 则求自由粒子在能量 d 范围时的相体积为 对上式求微分 考虑到