数学模型 (2).doc

数学建模作业第十三组组长：王周闯（3082010017）组员：王亚东（3082010015）李 岩（3082010056）林 健（3082010021）建立适当数学模型分析我国空降兵在现有装备条件下跳伞的最低高度。模型背景我国空降兵在现有装备条件下跳伞，如考虑最低高度，应视为低空跳伞。资料显示，由于距离有限，打开伞包的时间只有5秒钟。假设全副武装的跳伞员的总重量为112kg；飞机为伊尔-76MD运输机，空降时飞行速度为72m/s（y轴方向），跳伞员从飞机的一侧离开飞机，初始速度为0.555m/s（x轴方向）。问题分析：要求跳伞员跳伞的最低高度，则需使所受冲击力或剪应变最大，进而求得着地时最大的合速度，设出最低高度，将模型分为三个阶段，列出各个阶段的方程，求得关于高度的等式最后求出最低高度模型分析1跳伞员从离开飞机到拉开伞绳之前，共有5秒是自由落体运动，这段时间空气阻力可忽略不计。2打开降落伞的同时，跳伞员还受到x轴方向上大小为1.2m/s的横向风。3此后，由于考虑空气阻力，下降变为沿各个轴加速度非恒定的三维抛射运动。模型假设1.跳伞员离开飞机时，飞机的高度为2.不考虑复杂着陆地形，如非平坦地面或树林或不适当的着陆方式。3.跳伞员不会弯曲或扭曲着陆，这样骨头与韧带的断裂力矩无需考虑。4.跳伞员离开飞机是直接跳下，没有旋转。5.尽管身体减速所需的力量对韧带和肌腱造成较大的拉伸应力，不过相对骨头损伤而言，这种影响小很多，因此忽略这些影响，只考虑骨头损伤。6.冲击力经过韧带和肌肉传到骨头时没有衰减。7.假设降落伞瞬间打开，引力立刻起效，没有过渡。8.数据是准确的（尽管实际上只是近似值）。模型求解判定最大着陆速度已知胫骨最大承受力4554.3N，头部能承受最大剪应变为400。为使空降兵能安全降落，有：由冲击力（时间200毫秒）公式 （1）得 （2）由最大剪应变公式 （3）得可知，最大着陆速度符合实际。分如下三个阶段自由落体阶段打开降落伞时的位置（x,y,z）:x轴（加速度为0） （4）y轴（加速度为0） （5）z轴(加速度为g) （6）由已知，可得跳伞员的位置为 x=2.775,y=360,z=z0-122.5此时，x，y轴速度不变，z轴速度为 （7）跳伞员的速度为降落伞打开到垂直速度恒定阶段此阶段运动状态复杂，只能简化处理。假定降落伞瞬时打开且跳伞员在一定时间内速度减速为恒定速度（最终速度）。实验基础上假定这个时间段为 3 秒，在此期间下降 54 米。垂直速度恒定降落阶段受力分析：x轴方向横向风影响 w = 1.2m/s，产生的力大小为 （8）y轴方向空气阻力 （9）z轴方向空气阻力 (10)确定着陆速度：此时加速度为0。垂直方向空气阻力，故，即跳伞员以此速度下降，所需时间为x轴：由得 （11）y轴：由得 （12）求解（11）（12）式，得 yt=1166.4-806.4*e(-10/112)t （13） xt=-4.449+7.224*e(-10/112)t+1.2t （14）求导，得 （15）（16）