SARS的传播.doc

SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测摘要：SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，认识SARS的传播规律对预测和控制传染病蔓延有着重大的意义。因此根据其传播特性，以微分方程为理论基础，利用数学软件Manab求解了此建立的SARS病毒传播的常微分方程模型，画出了有关的图形。利用相轨线性质，讨论了SARS病毒传播的常微分方程模型解的有关性质，描述了SARS病毒传播的整个过程，预测了SARS病毒传播的高峰期，从而对SARS病毒传播的预防，传播提供若干对策。关键词：SARA疫情 常微分方程 图形解析 相轨线1 问题提出数学模型是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象的一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。它是应用数学知识和计算机解决实际问题的一种有效的重要工具。本文拟对SARS病毒的传播的数学模型建立进行研究。对于传染病模型，可以在较一般的情况下，分析受感染人数的变化规律。由于人们不可能通过试验来取得传染病流行的数据，实际的传染病流行的观测往往也不完整和不充分，通常主要是依据机理分析的方法来建模，利用有关计算机的知识求解。SARS(Severe Acute Respiratory Syndrome)。即严重急性呼吸道综合症，俗称：非典型肺炎，是2l世纪初在世界范围内传播的一种疾病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济和人民的生活带来了很大的影响，我们从中得到了很多的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播的规律，为预防和控制传染病蔓延创造条件的重要性。SARS在爆发初期，由于存在潜伏期，公众对SARS病毒传播速度认识不足，感染者迅速增加，公众出现恐慌现象。人们对SARS的发病率进行各种不同的揣测，如“抽烟者不患病”，“女性发病率低”，“青年人容易患病”等皆为主观臆断。现在，SARS疾病得到了有效控制，SARS疫情已经平息。但不能保证已把它“斩草除根”，也不能确保它不会卷土重来。从疫情控制及疾病防治措施来看，目前在医疗上仍然没有一种更有效的预防和治疗方法。故，从结果来看，最直接、最简单、最有效的方法还是“早发现、早隔离、早收治”，即以预防和控制为主。因此，对SARS病毒传播的预防控制进行理论分析具有重要的现实意义和一定的理论意义。本文拟利用数学模型对SARS病毒的传播进行研究。2 模型假设1 地总人数N不变，即不考虑人口出生，死亡，流动等情况。2 人群分为三部分：健康者，感染者，退出者（被治愈者、 免疫者和死亡者）。 3 SARS康复者二度感染的概率为0。4 题中所给的数据真实可信。5 假定疫情爆发后政府一定会采取措施。3 模型评价（一）早期模型重述假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人，平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，累计病例数N(t)随时间t（单位天）的关系是： N（t）= N0 (1+K)t （1-1）如果不考虑传染期的限制，病例数将按指数规律增长，考虑传染期的限制后，则采用半模拟循环计算的办法，把达到L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。然后假定从开始至高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据得出），到达高峰期后，在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据（认为社会在短期剧烈调整后，进入对疫情控制较好的常态）。（二）早期模型的合理性和实用性的评价A早期模型的优点1模型（1-1）实际上是微分方程在（0L）区间内的特解。其中N(t)表示t时刻的累计病例数，则(N(t)-N(t-L)表示传染源数量，为病例总数减去失去传染能力的病例数。2参数K和L是描述SARS传播的两个重要参数，并且具有实际的意义：L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成造成直接传染的期限，在此期限后失去传染作用，可能原因是被隔离、病愈或死去等等。K表示某种社会条件下平均每病人每天传播的人数（但并非文中所述的一个病人的感染他人的平均概率）。3通过对模型的分析，可得到一预测疫情发展的参数RKL，R表示平均每个病人在其传染期内感染的总人数。若R1，说明社会上现存传染源人数在上升，疫情将因失控而爆发；若R1，说明社会上现存传染源人数在下降，疫情将得到控制；若R1，说明社会上现存传染源人数不变，疫情将持续下去。4从拟合的图形来看，此模型对各城市早期的SARS疫情描述的较好，具有一定的通用性。其实际意义就是此模型可大致预测出疫情的爆发点和发展趋势。因为通过对早期数据的拟合确定参数，得出形如（1-1）的一个指数形式的模型，而指数函数的曲线初期增长较慢，后期增长急速，必可大致找到一个“转折点”，而“转折点”所对应的时间便是预测的疫情爆发点。这一数据对于卫生部门十分重要，因为控制疫情的最好时间是在疫情爆发之前。B早期模型的不足之处1首先模型并未给出拟合程度的参数，而当我们试图通过计算得到该模型的拟合程度参数时发现无法进行。原因是原模型求解过程的中间阶段参数K多次手工调整，而且模型中并未给出调整的标准和相关理论，所以我们很难重复该求解过程。由此我们得出结论：该模型的参数取值主观性太强，此作法给阅读者运用并改进模型带来了极大的困难，所以此模型的普适性较差。2在数据不足的情况下因无法进行手工调整，所以该模型用香港后期拟合的K值去预测北京后期疫情的发展趋势。但如问题分析所述，地域因素会造成不同地区的K值不同（如人口密度和人口流动大的城市若爆发传染病，初期的K值会比人口密度和人口流动小的城市大，等等），而很难找到地域因素几乎相同的两城市。所以此作法可能导致预测结果相差较大。对该模型的评价：该模型具有较好的实际意义，能比较合理的反映非典的传播情况和发展趋势，但是未考虑实际情况中许多因素的影响，例如病人被治愈的情况，因此在现实中的实用性不强。4 模型建立模型一（SI模型）：变量说明：N:北京地区总人数（不考虑出生死亡迁移） i(t)：t时刻已感染者占总人数的比例i(0)=i0：初始时刻病人比例 s(t)：t时刻易感染者占总人数的比例k：接触率：每天每个病人有效接触的平均人数根据假设，每个病人每天可使ks(t)个健康者变为病人，因为病人数为N(t)，所以每天共有kNs(t)(t)个健康者被感染，于是kNs就是病人数N的增加率，即有 （1）又因为 S(t)+(t) = 1 （2）再记初始时刻（t = 0）病人的比例为0，则0 （3）方程（3）的解为 （4）(t)t和的图形如图1和图2所示。 由方程（3）（4）式及图1、图2可知，第一，当i=1/2时，达到最大值,这个时刻为 （5）这时病人增加的最快，可以认为是医院的门诊量 最大的一天，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门应关注的时刻，tm与k成反比。因为日接触率k表示北京地区的卫生水平，k越小卫生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟高潮的到来。第二，当t时，i（t）1，即所有人终将被传染，这显然不符合实际情况，其原因是模型一中没有考虑到病人可以治愈，人群中的健康者只能变成病人，而病人不能再变回健康者。为修正上述结果，重新考虑模型。模型二(SIS模型)变量假设：N:北京地区总人数（不考虑出生死亡迁移） i(t)：t时刻已感染者占总人数的比例 i(0)=i0：初始时刻病人比例 s(t)：t时刻易感染者占总人数的比例K：接触率：每天每个病人有效接触的平均人数：日治愈率：每天被治愈的病人数占总病人数的比例为常数：平均传染期：接触数:,整个传染期没每个病人有效接触的平均人数因此修改后的模型为：N=kNs(t)i(t)-Ni(t) 则：=ki（1-i）-i，i（0）=i0 （6）利用，方程9可以写成=-k （7）由方程11容易先画出i的图形，再画出it的图形不难看出，接触数=1是是一个阈值。当=1是一个阈值。当1时i（t）的增减性取决于i0的大小（见图4），但其极限值i（）=1-随着的增加而增加，当1时病人比例比例越来越小，最终趋向于0.模型三（SIR模型）：N:北京地区总人数（不考虑出生死亡迁移）i(t)：t时刻已感染者占总人数的比例i(0)=i0：初始时刻病人比例s(t)：t时刻易感染者占总人数的比例r(t)：t时刻病愈后具有长期免疫力，不再受感染的人的比例K：接触率：每天每个病人有效接触的平均人数：日治愈率：每天被治愈的病人数占总病人数的比例为常数：平均传染期：接触数:,整个传染期没每个病人有效接触的平均人数记： s(t)+i(t)+r(t) = 1 （8） （9） 即可得到： （10）方程（10）无法求出是s(t),i(t)的解析解，所以先进行数值计算。数值计算 在方程（10）中设k = 1，u = 0.3，i(0) = 0.02， s(0) = 0.98，用MATLAB编译