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SARS传播摘要模型研究了SARS的传播规律，讨论其早期的发展情况，能够估算出其影响的一个期限，并对影响其发展的因素做出分析，然后希望通过模型给出相应方案有效的抑制病情。问题一，我们对模型的实用性和合理性进行了分析评价，也指出了其自身的一些不合理的地方，我们根据模型的优缺点进行了解答。 问题二，针对模型一中不足我们引入传染病模型中的SIR模型，将人群分为健康者，病人和移出者（被治愈者，死亡者之和）。根据时刻t三类人在总人数中的比例及假设出相关参数列出相应的感染为SARS患者情况和疑似患者的变化情况的微分方程，根据附录2中的数据利用EXCEL求解出相关参数值，给出一个总人数值，然后将相关值代入并通过对t时刻病人的比例和健康人的比例进行相轨线分析他们的性质，不同的日接触率下病情的高峰期不同，根据分析所得给出抑制病情的方法：降低日接触率，提高日治愈率；或提高移出者比例。最后我们给当地小报写了篇短文描述了建模的实际意义及其重要性。关键词：SIR模型EXCEL表格 相轨线分析问题重述SARS（Severe Acute Respiratory Syndrome，严重急性呼吸道综合症, 俗称：非典型肺炎）是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。SARS的爆发和蔓延给我国的经济发展和人民生活带来了很大影响，我们从中得到了许多重要的经验和教训，认识到定量地研究传染病的传播规律、为预测和控制传染病蔓延创造条件的重要性。请你们对SARS 的传播建立数学模型，具体要求如下：（1）对附件1所提供的一个早期的模型，评价其合理性和实用性。（2）建立你们自己的模型，说明为什么优于附件1中的模型；特别要说明怎样才能建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠、足够的信息的模型，这样做的困难在哪里？对于卫生部门所采取的措施做出评论，如：提前或延后5天采取严格的隔离措施，对疫情传播所造成的影响做出估计。附件2提供的数据供参考。（3）给当地报刊写一篇通俗短文，说明建立传染病数学模型的重要性。附件1SARS疫情分析及对北京疫情走势的预测2003年5月8日在病例数比较多的地区，用数理模型作分析有一定意义。前几天，XXX老师用解析公式分析了北京SARS疫情前期的走势。在此基础上，我们加入了每个病人可以传染他人的期限（由于被严格隔离、治愈、死亡等），并考虑在不同阶段社会条件下传染概率的变化，然后先分析香港和广东的情况以获得比较合理的参数，最后初步预测北京的疫情走势。希望这种分析能对认识疫情，安排后续的工作生活有帮助。1 模型与参数 假定初始时刻的病例数为N0，平均每病人每天可传染K个人（K一般为小数），平均每个病人可以直接感染他人的时间为L天。则在L天之内，病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：N（t）= N0 (1+K)t 如果不考虑对传染期的限制，则病例数将按照指数规律增长。考虑传染期限L的作用后，变化将显著偏离指数律，增长速度会放慢。我们采用半模拟循环计算的办法，把到达L天的病例从可以引发直接传染的基数中去掉。参数K和L具有比较明显的实际意义。L可理解为平均每个病人在被发现前后可以造成直接传染的期限，在此期限后他失去传染作用，可能的原因是被严格隔离、病愈不再传染或死去等等。从原理上讲，这个参数主要与医疗机构隔离病人的时机和隔离的严格程度有关，只有医疗机构能有效缩短这个参数。但我们分析广东、香港、北京现有的数据后发现，不论对于疫情的爆发阶段，还是疫情的控制阶段，这个参数都不能用得太小，否则无法描写好各阶段的数据。该参数放在15-25之间比较好，为了简单我们把它固定在20（天）上这个值有一定统计上的意义，至于有没有医学上的解释，需要其他专家分析。参数K显然代表某种社会环境下一个病人传染他人的平均概率，与全社会的警觉程度、政府和公众采取的各种措施有关。在疾病初发期，社会来不及防备，此时K值比较大。为了简单起见，我们从开始至到高峰期间均采用同样的K值（从拟合这一阶段的数据定出），即假定这阶段社会的防范程度都比较低，感染率比较高。到达高峰期后，我们在10天的范围内逐步调整K值到比较小，然后保持不变，拟合其后在控制阶段的全部数据，即认为社会在经过短期的剧烈调整之后，进入一个对疫情控制较好的常态。显然，如果疫情出现失控或反复的状态，则K值需要做更多的调整。2 计算结果 2.1 对香港疫情的计算和分析。香港的数据相对比较完整准确。但在初期，由于诊断标准等不确切，在3月17日之前，没有找到严格公布的数据。我们以报道的2月15日作为发现第一例病人的起点，2月27日从报道推断为7例。3月17日后则都是正式公布的数据。累积病例数在图1中用三角形表示。我们然后用上述方法计算。4月1日前后（从起点起45天左右）是疫情高峰时期，在此之前我们取K=0.16204。此后的10天，根据数据的变化将K逐步调到0.0273，然后保持0.0273算出后面控制期的结果。短期内K调整的幅度很大，反映社会的变化比较大。图中实心方黑点是计算的累积病例数。从计算累积病例数，很容易算出每天新增病例数（当然只反映走向，实际状况有很大涨落）。可以看出，香港疫情从起始到高峰大约45天，从高峰回落到1/10以下（每天几个病例）大约40天（5月上中旬），到基本没有病例还要再经过近一个月（到6月上中旬）。2.2 对广东疫情的计算和分析。广东的起点是02年11月16日，到今年2月下旬达到高峰，经过了约100天。在今年2月10日以前的数据查不到，分析比较困难。总体上看，广东持续的时间比香港长得多，但累积的总病例数却少一些，这反映出广东的爆发和高峰都不强烈。但广东的回落也比较慢。从2月下旬高峰期到现在经过了约70天，还维持着每天10来个新增病例，而同样过程香港只用了约40天。这种缓慢上升和下降的过程也反映到K值上。比较好的拟合结果是，在高峰期之前（t 101天），K=0.0892；在随后的10天逐步调整到0.031。用这组参数算出的后期日增病例数比实际公布的偏小，说明实际上降低得更慢。这种情况与疫情的社会控制状况有没有什么关系，需要更仔细的分析。2.3 对北京疫情的分析与预测。北京的病例起点定在3月1日，经过大约59天在4月29日左右达到高峰。我们通过拟合起点和4月20日以后的数据定出高峰期以前的K=0.13913。这个值比香港的0.16204来得低，说明北京初期的爆发程度不如香港，但遗憾的是上升时间持续了近60天，而香港是45天，这就造成了累积病例数大大超过香港。从图2中还看出4月20日以前公布的数据大大低于计算值。而我们从对香港、广东情况的计算中，知道疫情前期我们的计算还是比较可行的。从而可以大致判断出北京前期实际的病例数。图中的公布数据截止到5月7日（从起点起67天），其后的计算采用的是香港情况下获得的参数。按这种估算，北京最终累积病例数将达到3100多。图1 对香港疫情的拟合图2 对北京疫情的分析图3是计算的日增病例数。后期下降得较快的实心方黑点是采用香港参数获得的。这就是说，如果北京的疫情控制与香港相当或更好的话，就可以在高峰期后的40天（从起点起100天）左右，即6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。至于什么原因造成香港下降速度快而广东下降速度慢，需要有关方面作具体分析。图3 北京日增病例走势分析3 结论 每个病人可以造成直接感染他人的期限平均在20天左右，这个值在不同地区和不同疫情阶段似乎变化不大。病人的平均每天感染率与社会状况有关，在疫情爆发期较大，在疫情控制期要小很多。香港的初期爆发情况比广东和北京都剧烈，但控制效果明显比较好。北京后期如果控制在香港后期的感染率水平上，则有望在6月上中旬下降到日增几例。然后再经过约一个月，即7月上中旬达到日增0病例。而累积总病例数将达到3100多。但如果北京的新病例下降速度与广东类似的话，则要再多花至少一个月，才能达到上述的效果，且累积总病例数会到3800左右。附件2：北京市疫情的数据( 据：/Resource/Detail.asp?ResourceID=66070 )日 期已确诊病例累计现有疑似病例死亡累计治愈出院累计4月20日33940218334月21日48261025434月22日58866628464月23日69378235554月24日77486339644月25日87795442734月26日988109348764月27日1114125556784月28日1199127559 784月29日1347135866834月30日1440140875905月01日15531415821005月02日16361468911095月03日17411493961155月04日180315371001185月05日189715101031215月06日196015231071345月07日204915141101415月08日213614861121525月09日217714251141685月10日222713971161755月11日226514111201865月12日230413781292085月13日234713381342445月14日237013081392525月15日238813171402575月16日240512651412735月17日242012501453075月18日243412501473325月19日243712491503495月20日244412251543955月21日244412211564475月22日245612051585285月23日246511791605825月24日249011341636675月25日249911051677045月26日250410691687475月27日251210051728285月28日25149411758665月29日25178031769285月30日252076017710065月31日252174718110876月01日252273918111246月02日252273418111576月03日252272418111896月04日252271818112636月05日252271618113216月06日252271318314036月07日252366818314466月08日252255018415436月09日252245118416536月10日252235118617476月11日252325718618216月12日252315518718766月13日25227118719446月14日2522418919946月15日2522318920156月16日2521319020536月17日2521519021206月18日2521419121546月19日2521319121716月20日2521319121896月21日2521219122316月22日2521219122576月23日252121912277问题分析问题一，我们对模型的实用性和合理性进行了分析评价，也指出了其自身的一些不合理的地方，我们根据模型的优缺点进行了解答。问题二，针对模型一中不足我们引入传染病模型中的SIR模型，将人群分为健康者，病人和移出者（被治愈者，死亡者之和）。根据时刻t三类人在总人数中的比例及假设出的相关参数列出相应的感染为SARS患者情况和疑似患者的变化情况的微分方程，根据附录2中的数据利用EXCEL求解出相关参数值，然后将相关值代入并通过对t时刻病人的比例和健康人的比例进行相轨线分析他们的性质。最后根据所得给出抑制病情的方法，并对模型进行了验证。附件二给出了疑似病例，虽然可以根据一定的情况建出模型，但却不知要如何求解，所以没有考虑这种情况。 问题三，根据模型的实际意义给当地小报写了篇短文证明模型建立在现实生活中的重要影响，说明了建模的重要性。模型建立与求解：问题一：模型通过研究病例数与实间的关系，得出病例数目的增长随时间t(单位天)的关系是：N（t）= N0 (1+K)t 这样一个模型。优点： 模型能够较好的描述病情早期的发展情况对未来病情的发展趋势有很好的预见性，并且模型所赋予参数的意义很合理能够通过模型给出相关部门提出有效的抑制病情的合理化意见。缺点：模型是用香港广东的疫情来估计北京的疫情情况，虽然其存在一定的合理性，但仍然比面部了一些香港、广东与北京的人文、地理等不可预见因素的影响。也就是说用香港和广东的参数对北京的疫情进行估计存在一定的误差。问题二：（一） 参数的设定和符号的说明：N：总人数（假设流入量等于流出量）；s(t)：t时刻健康者在总体人群中的比重；i(t)：t时刻SARS病人在总体人群中的比例；r(t)：t时刻的移出率（被治愈者，死亡者在总体人群中的比例之即）。：SARS病人的日接触率。为每个病人每天有效接触。：日死亡率。每天SARS病人死亡的数量和当天病人总数量的比值；：日治愈率。每天被治愈的病人占总病人的比例；：疑似感染率。每天感染为疑似病人的比例。：传染期接触数，。（二） 模型建立 模型一 感染为SARS患者情况 ； 由于 ； 所以SARS患者率模型一建立如下： （三） 模型求解：利用Excel处理数据得出； ； 设=0.5；令N=1500万 ，取初值 则（四） 相轨线分析和 平面称为相平面，相轨线在相平面上的定义域（）为 由方程中消去得 ， 令 得 求出方程的解为 令于是化为 图1 从图中可以看出，随着时间t的增加先增大后减少；但随着SARS疫情的发展，各参数都在变化，反映在变化。而显然是递增的。下图即为取不同之所反映的情况比较。 图2图中红线，绿线，蓝线分别表示取值的增大，的发展情况。从图中可以肯定必定会消失。即=0。可以令，此时将达到最大值，而将等于。接下来讨论：设最终未被感染的健康者的比例为，由（11）式中令得： （13）由图5和图6可以得到以下推断：（1） 若 ，则 先增加，当 时，达到最大值 （14）然后减少趋于零，则单调减少至 （2） 若，则单调减至零，单调减至。于是，得到有关群体免疫和预防的看法：（1） 提高医疗卫生水平和群众的警惕意识，使变大，从而阻止SARS等传染病的蔓延。（2） 通过预防接种使群体免疫，降低。如果忽略病人比例的初始值，则。得 （15）只要群体免疫使初始时刻的死亡者和治愈者比例之和满足（15）式就可以制止SARS的蔓延。但是途径（2）却很难做到，它要求免疫者均匀分布在全体人群中。数值验证与估测 根据上面的分析，制止SARS等传染病有两种途径：一是提高医疗卫生水平及大众的警惕意识，即降低日接触率，提高日治愈率；二是群体免疫，即提高移出者的比例。下面通过数值来验证并估计这两种途径的效果。不妨用最终未感染的健康者的比例和病人比例的最大值作为SARS蔓延程度的度量指标。我们给定不同的，用（13）计算，用（14）计算。结果如下：途径一1.080.20.03990.3490.980.20.19650.1630.980.20.81220.02050.980.20.91720.0542途径二1.00.20.08400.1680560.055780.0767550.1948由表一分析得到：（1） 对于一定的，降低，提高，会使变大，变小；（2） 对于一定的，降低，会使变大，变小；在（13）式中略去很小的，即有 （16） 当SARS再次到来时，如果没有多大变化，就可以用上面得到的分析SARS蔓延过程。模型验证由（2），（3），（5）式解得 （17） （18） 当，在初始值下的解为 （19） 其中，将（17），（19）代入（2）式得对卫生部措施的评估若隔离措施提前实施，则变小；若延迟隔离，则增大。我们分别取=0.52=0.54，=0.58，如下图从图中可以看出，。卫生部的提前或延后5天使合理的，前面参数天，高峰期在第10天左右。显然提前5天隔离措施是合理的。问题三： 非典无疑是我们国家一次灾难，2003年爆发非典，人心惶惶，人们几乎是谈非色变。虽然在今后的几年之中也陆陆续续的出现其他一些传染病，例如甲型H1N1流感，猪流感等等，但其凶猛性远不及非典的万分之一。通过非典爆发的北京数据后，建立的一种研究病情传播规律的工具.这些模型使我们能够对疫情的发展情况做出预测，并估计疫情发展所处的阶段.。根据所建立的模型得出控制疫情的办法。制止SARS等传染病有两种途径：一是提高医疗卫生水平及大众的警惕意识；二是群体免疫。非典的高峰期是在第10天左右，提前采取隔离措施，将延缓SARS高峰期的到来。我们提出有效意见：早发现，早隔离，提高医疗水平，加大政府宣传力度让更多的人认识到病情了解该如何防治。有效地控制了新流感的传播。由此可见建立传染病模型是多么的重要，它不仅预测了疫情的走势，还可以根据模型得出控制疫情的办法，减少疫情的传播，挽救无数条生命，给了我们战胜病魔的勇气以希望！.模型评价本模型采用微分方程模型，对SARS传播做出了合理的假设，并对其进行了拟合，进一步研究和控制SARS的发展。但参数都是取的所给数据的平均值，所以得出的结果会有误差存在；而且不能准确预报每次传染高潮到来的准确时间，附件二也给出了疑似病例，虽然可以根据一定的情况建出模型，但却不知要如何求解，所以没有考虑这种情况，也是该模型的一大缺点。 参考文献MATLAB教程：R2010a/张志勇，杨祖樱等编著.北京：北京航空航天大学出版社，2010.8数学建模与数学实验/赵静，但琦主编.3版.北京：高等教育出版社，2008.1（2010重印）数学模型/姜启源，谢金星，叶俊编。4版.北京：高等教育出版社，2011.1附录：EXECL表格得相关参数值：日增病例日增疑似日死亡日治愈总人数日治愈率日死亡率1432087104310.0232020.01624110656335200.0057690.005769105116796190.014540.0113098181496840.0131580.00584810391397740.0116280.003876111139638730.0034360.006873126162829900.002020.008081852030106500.002817148837512100.0041320.00578593509712910.0054220.006971113771013880.0072050.00504383539914540.006190.00619105255615410.0038940.00324562444315920.0018840.00251394-273316790.0017870.001787631341317360.0074880.00230489-93718080.0038720.00165987-2821118850.0058360.00106141-6121619130.0083640.00104550-282719450.0035990.001028381441119740.0055720.00202639-3392219980.0110110.00450543-4053620100.017910.00248823-305819920.0040160.002511891519970.0025040.00050117-5211620080.0079680.00049815-1543420060.0169490.00199414022519820.0126140.0010093-131719580.0086820.0015327-2444619450.023650.0020570-425218950.0274410.00105512-1628118530.0437130.0010799-2625417790.0303540.00112425-4538517480.0486270.0017169-2943716690.0221690.0023975-3614316330.0263320.0006128-6448115970.050720.0025052-6433815140.0250990.00198230420050.0006783-4317814160.0550850.0007061-1348113380.0605380.002991-803712540.02950600-503312170.02711600-1003211840.02702700-607411520.06423600-205810780.05380300-328210200.0803920.0019611-450439370.0458910-1-1181978930.1086230.001120-9901107950.13836500-1002946850.1372260.002921-940745900.12542400-1021555160.1065890.001938-1-840684590.14814800-672503910.1278770.0051150-10213390.0619470-101383170.1198740.00315502067