数理方程与特殊函数.ppt

1 Email yc517922 数理方程与特殊函数 任课教师 杨春 数学科学学院 2 热传导 稳态场方程及其定解条件 一 热传导方程 本次课主要内容 二 稳态场方程 三 影响物理系统的其它条件 3 常用物理规律 二 1 热传导定律 定义热流密度 4 2 牛顿冷却定律 单位时间内流过单位面积放出的热量为 3 比热公式 5 4 高斯定律 6 一 热传导方程 截面积为A的均匀细杆 侧面绝热 沿杆长方向有温差 求杆内温度的变化规律 1 细杆的热传导问题 u x t x n 7 在dt时间内流入微元的热量为 在dt时间内放出微元的热量为 在dt时间内微元吸收的净热量为 8 由比热公式 由热量守恒定律得 一维齐次热传导方程 9 设均匀且各向同性的导热体 置于温度比它高的热场中 求物体中温度u x y z t 的分布的规律 2 三维空间中的热传导问题 导热体 热场 10 分析 1 t1 t2 时间里流入导热体的热量Q1计算 先要给出在 t1 t2 时间里流入导热体的热量 然后再给出在该时间中导热体温度升高所需要的热量 流入dS的热量微元为 11 在 t1 t2 时间里流入S的热量为 12 2 t1 t2 里导热体升温需要的热量Q2计算 导热体微元dV在dt时间升温需要的热量为 t1 t2 里导热体升温需要的热量Q2为 13 由热量守恒定律 Q1 Q2 于是得到 三维齐次热传导方程 14 如果导热体内部有热源 不难得到非齐次方程形式为 其中 f M t 被称为自由项 物质扩散与热传导现象相似 所以 热传导方程也称为扩散方程 15 二 稳态场方程 稳态场问题是一类重要的典型物理问题 主要特征是所研究的物理量不随时间而变化 1 稳定温度分布 三维齐次热传导方程为 热传导达到稳定状态时有 称后一方程为稳态场中的拉普拉斯方程 16 由静电场的高斯公式 如果设 2 静电场中的电势分布规律 可以得到 17 静电场是保守场 于是存在势函数u x y z 满足 把 2 代入 1 得 这就是静电场中电势满足的泊松方程 如果 0 则泊松方程变为拉普拉斯方程 泊松方程与拉普拉斯方程称为稳态场方程 18 1 波动方程 三类典型物理方程总结 2 热传导方程 3 稳态场方程 泊松方程 19 1 不含初值条件 带第一类边界条件 狄里赫列问题 简称狄氏问题 稳态场方程的定解条件问题 2 边界条件 带第二类边界条件 牛曼问题 带第三类边界条件 洛平问题 稳态场方程求解将在第六章讨论 20 三 影响物理系统的其它条件 1 衔接条件 反映两种介质交界处物理状况的条件称为衔接条件 当物理系统涉及几种介质时 定解条件中就要包括衔接条件 例1 写出由两种不同材料 等截面积杆连接成的杆的纵振动的衔接条件 连接处为x x0 分析 连接处面上点的位移相等 面上协强相等 x x0 Y1 Y2 x u1 x t u2 x t 21 所以 衔接条件为 例2 讨论静电场中电介质表面的衔接条件 设 1 2与u1 u2分别表示两种介质的介电常数与电势 f表示分界面S上电荷面密度 22 1 在界面处 两种介质中的电势应相等 事实上 根据电场强度与电势梯度的关系有 于是 若假定E为p1p2上的平均电场强度 显然它有限 则 两边对 L取极限得 23 2 在界面处 可以导出如下等式 事实上 根据有介质高斯公式就可以推出上式 Qf是面S内的总电荷 有介质高斯公式为 24 取一个包含 S的上下底平行的高为 h的扁平盒 由于 h可以很小 因此 通过侧面的电通量忽略 于是由高斯公式有 而 25 所以 说明 如果u1为导体的电势 u2是绝缘体电势 那么 因为导体是等势体 所以有 2 周期性条件 在极坐标 柱面坐标和球坐标系的经度坐标中 实际物理量常满足周期性条件 即 26 1 在极坐标中 2 在柱坐标中 3 在球坐标中 27 例如 在静电场中 由电势的唯一性有 3 有界性条件 在没有源处 物理量一般有界 常考虑物理量在坐标原点处有界 例如 在静电场中 电势在原点 无电荷 有界 在温度场中 中心温度有界等 4 无穷远条件 或者在无穷远处u有渐进行为f r t 已知函数 28 例3 半径为r0的球面 在0 2的半球上电势为u0 在另一半球上为 u0 写出定解问题 分析 空间中的电势分布分球内 u1 与球外 u2 由于是静电场问题 所以泛定方程为稳态场方程 又空间中没有分布电荷 因此方程为拉普拉斯方程 29 所以 其它条件 30 定解问题的简要总结 对于一个具体物理问题 写出其定解问题 应该分如下三步进行 1 根据问题背景写出物理方程 泛定方程 2 如果有边界条件 要根据物理背景写出边界条件 即考虑描述物理量在边界上状况的三类边界条件和衔接条件 31 除边界条件外 由于物理上合理性的需要 有时还需要对方程中的未知函数加以一些限制 这些限制包括 周期性限制 有界性限制 无穷远限制等 上面限制条件称为自然边界条件