直角三角形勾股定理.ppt

勾股定理与它的逆定理的证明 教学目标 1进一步掌握推理的方法 发展演绎推理能力 2了解勾股定理及其逆定理的证明方法 3灵活运用勾股定理的逆定理 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理 pythagorastheorem 我们曾经利用什么方法得到勾股定理 勾股定理的证明 方法一 拼图计算方法二 割补法方法三 赵爽的弦图方法四 总统证法方法五 青朱出入图方法六 折纸法方法七 拼图计算 这些证法你还能记得多少 你最喜欢哪种证法 4 4 8 方法一 数方格 方法二 拼接图形证明 将四个全等的直角三角形拼成如图正方形 拼接图形证明二 赵爽弦图 总统证法 这个证明方法出自一位总统 1881年 伽菲尔德 J A Garfield 就任美国第二十任总统 在1876 利用了梯形面积公式 图中三个三角形面积的和是2 ab 2 c 2 梯形面积为 a b a b 2 比较可得 c2 a2 b2 人们为了纪念他对勾股定理直观 简捷 易懂 明了的证明 就把这一证法称为 总统 证法 勾股定理不只是数学家爱好 还有达芬奇画家证法等等 方法四 欧几里得证明方法 课本20页 自己课下阅读 勾股定理 直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方 反之 在一个三角形中 当两边的平方和等于第三边的平方时 这个三角形是直角三角形 你能证明吗 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 已知 如图 1 在 ABC中 AC2 BC2 AB2 求证 ABC是直角三角形 方法一 度量法 方法二 证明 分析 由边的关系推出角是90度 是不容易的 如果能借助于 ABC与一个直角三角形全等 导出 A 90 即可 逆定理的证明 证明 作Rt A B C 使 C 900 A C AC B C BC 如图 则 已知 如图 1 在 ABC中 AC2 BC2 AB2 求证 ABC是直角三角形 A C 2 B C 2 A B 2 勾股定理 AC2 BC2 AB2 已知 A C AC B C BC 作图 AB2 A B 2 等式性质 AB A B 等式性质 ABC A B C SSS C C 900 全等三角形的对应边 ABC是直角三角形 直角三角形意义 几何的三种语言 勾股定理的逆定理如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 这是判定直角三角形的根据之一 在 ABC中 AC2 BC2 AB2 已知 ABC是直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 应用1 下列选项的各组数中 能构成的是直角三角形的三边 A0 3 0 4 0 5B6 7 8C15 20 30D6 11 21 点评 先去掉D答案 再利用两条较短边的平方和能否等于最长边的平方 验一次即可 应用2 在 ABC中 AB 13cm BC 10cm BC边上的中线AD 12cm 求证AB AC 13 12 5 应用3 有一块三角形空地 它的三边分别长45m 60m 70m 已知60m长的边线为南北向 是否有一条边线为东西向 60m 又 45 60 70 所以没有一条边线为东西向 这三条边不能组成直角三角形 所以没有一条边线与60米的线垂直 命题与逆命题 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 观察上面两个命题 它们的条件与结论之间有怎样的关系 与同伴交流 命题与逆命题 如果两个角是对顶角 那么它们相等 如果两个角相等 那么它们是对顶角 如果小明患了肺炎 那么他一定会发烧 如果小明发烧 那么他一定患了肺炎 三角形中相等的边所对的角相等 三角形中相等的角所对的边相等 再观察下面三组命题的条件和结论之间也有类似的关系吗 与同伴进行交流 命题与逆命题 在两个命题中 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么这两个命题称为互逆命题 其中一个命题称为另一个命题的逆命题 你能写出命题 如果两个有理数相等 那么它们的平方相等 的逆命题吗 它们都是真命题吗 想一想 一个命题是真命题 它逆命题是真命题还是假命题 定理与逆定理 一个命题是真命题 它逆命题却不一定是真命题 我们已经学习了一些互逆的定理 如 勾股定理及其逆定理 两直线平行 内错角相等 内错角相等 两直线平行 你还能举出一些例子吗 想一想 互逆命题与互逆定理有何关系 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它是一个定理 这两个定理称为互逆定理 其中一个定理称另一个定理的逆定理 蓄势待发 老师提示 你是否能将有关命题的知识予以整理 说出下列命题的逆命题 并判断每对命题的真假 四边形是多边形 两直线平行 同旁内角互补 如果ab 0 那么a 0 b 0 请你举出一些命题 然后写出它的逆命题 并判断这些逆命题的真假 学无止境 勾股定理是数学上有证明方法最多的定理 有四百多种说明 古今中外有许多人探索勾股定理的证明方法 不但有数学家 还有物理学家 甚至画家 政治家 如赵爽 中 梅文鼎 中 欧几里德 希腊 辛卜松 英 加菲尔德 美第二十届总统 等等 其证明方法达数百种之多 这在数学史上是十分罕见的 P19 读一读 勾股定理的证明 学无止境 历时几千年的两个定理 牵动着世界上不知多少代亿万人们的心 前人以坚韧的毅力 开拓创新的精神谱写了科学知识宝库中探宝的光辉篇章 还有许多宝藏等待后人开采 自然无限 创造永恒 同学们要努力学习 提高自身素质 不辜负时代重托 将来为人类作出更大贡献 P18 读一读 勾股定理的证明 学习永远是件快乐而有趣的事 勾股定理的魅力将把你引入一个奇妙的境界 回味无穷 勾股定理 如果直角三角形两直角边分别为a b 斜边为c 那么a2 b2 c2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 勾股定理在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理 pythagorastheorem 勾股定理的逆定理 如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 命题与逆命题在两个命题中 如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 那么这两个命题称为互逆命题 其中一个命题称为另一个命题的逆命题 定理与逆定理如果一个定理的逆命题经过证明是真命题 那么它是一个定理 这两个定理称为互逆定理 其中一个定理称另一个定理的逆定理 知识的升华 1 P19 20勾股定理的证明2 P21 22的1 5题祝你成功 方法一 利用相似证明 方法二 利用勾股定理计算三边 再利用勾股定理逆定理判定是直角三角形 习题1 4 驶向胜利的彼岸 1 如图 在 ABC中 已知AB 13cm BC 10cm BC边上的中线AD 12cm 求证 AB AC 证明 BD CD BC 10cm 已知 BD 5cm 等式性质 AD2 BD2 122 52 144 25 169 AB2 132 169 AD2 BD2 AB2 D 在 ABD中 ABC是直角三角形 如果三角形两边的平方和等于第三边平方 那么这个三角形是直角三角形 在Rt ADC中 AC2 DC2 AD2 122 52 144 25 169 AC2 AB2 AB AC 等式性质 习题1 4 2 房梁的一部分如图所示 其中BC AC A 300 AB 10m CB1 AB B1C1 AC 垂足为B1 C1 那么BC的长是多少 B1C1呢 解 BC AC A 300 AB 10m 已知 BC AB 2 10 2 5 在直角三角形中 如果有一个锐角等于300 那么它所对的直角边等于斜边的一半 又 CB1 AB BCB1 900 600 300 直角三角形两锐角互余 BB1 BC 2 5 2 2 5 在直角三角形中 如果有一个锐角等于300 那么它所对的直角边等于斜边的一半 老师提示 对于含300角的直角三角形边之间 角之间的关系要作为常识去认可 AB1 AB BB1 10 2 5 7 5 等式性质 B1C1 AB1 2 7 5 2 3 75 在直角三角形中 如果有一个锐角等于300 那么它所对的直角边等于斜边的一半 习题1 4 3 如图 正四棱柱的底面边长为5cm 侧棱长为8cm 一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物 那么它需要爬行的最短路径是多少 解 如下图 将四棱柱的侧面展开 连结AC1 AC 10cm CC1 8cm 已知 老师提示 对于空间图形需要动手操作 将其