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文档简介

二重积分的计算 2 二 极坐标系下二重积分的计算 第十二章 第二节 二 极坐标系下二重积分的计算 常数 D 常数 对应的 取点 直角坐标为 即 由极点与积分区域的位置 可分为四种情况讨论 把二重积分中的变量从直角坐标转换为极坐标 有 其中 称为极坐标系下的面积元素 2 计算法 1 极点在积分区域之外 积分区域为 D的特点 从极点发出的射线 0 0 与D的边界至多有两个交点 则 则 2 极点在积分区域边界 积分区域为D 若f 1则可求得D的面积 3 极点在积分区域内 积分区域为D 4 其他情形 如 D D1 D2 D3 D3 D1 D2 变为 在极坐标下直线变为 例1 化二次积分为极坐标形式的二次积分 解 原式 作从极点出发穿过区域的射线 因此 何时使用极坐标计算二重积分 D 例2 解 从而 在极坐标系下 得两圆的交点对应的 例3 计算 其中D为由圆 及直线 所围成的平面闭区域 解 D 例4求球体 被圆柱面 所截得的 画出立体的图形 显然立体关于xOy面和xOz面对称 解 含在柱面内的 立体的体积 立体位于第一卦限的部分在xOy面上的投影D为 例4求球体 被圆柱面 所截得的 画出立体的图形 显然立体关于xOy面和xOz面对称 解 含在柱面内的 立体的体积 立体位于第一卦限的部分在xOy面上的投影D为 因此 分析 例5 解 1 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 若积分区域为 则 若积分区域为 则 内容小结 则 2 一般换元公式 且 则 极坐标系情形 在变换 下 若积分区域为 3 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 充分利用对称性 应用换元公式 思考与练习 1 交换积分顺序 积分域如图 提示 解 2 这是一个有曲顶 曲底的柱体 上顶曲面方程为 的立体的体积 3 解 可得所求体积为 解 原式 例1 解 积分区域如图 例2
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