§4.7已知三角函数值求角、正弦定理和余弦定理.doc

4.7 已知三角函数值求角 正弦定理和余弦定理预备知识已知锐角，求三角函数值三角形的分类角a 终边上的点的坐标重点已知三角函数值，在主值区间内求出对应的角理解正弦定理和余弦定理，并能应用难点正弦定理和余弦定理的应用解斜三角形问题学习要求已知三角函数值，能在主值区间内求出对应的角掌握正弦定理和余弦定理可以解斜三角形的类型及其解法能应用正弦定理和余弦定理解决一些简单的实际问题ABC58.5图4-41在4.5中，你已经学会如何计算已知角的三角函数的函数值可以把它分为两类，第一类，对特殊角，你应该记住函数值；第二类，对一般角可以使用计算器求得函数值但在数学和实际生活中，在很多时候遇到的问题是相反的：已知三角函数值，要求相应的角的大小例如在RtABC中，已知AC=8.5, BC=5，求A(见图4-41)因为tanA=，所以问题成为已知一个角的正切，反求角A 1.已知三角函数值求角 (1)已知特殊角三角函数值求角 记得在4.5中，曾经要求你熟记特殊角的三角函数值吗(见表4-2)？反过来，如果已知的三角函数值是特殊角三角函数值表中的数值姑且称其为特殊三角函数值，那么，你当然也应该立即知道角如 sinx= x=,； tanx= x=；等等求出一个或两个角后，根据三角函数的周期，还可以得到无限多个角，如从sin x=，除了得到x=,外，还有 x=2kp+, 2kp + ( kZ)都是满足sin x=的角；从tan x=，除了x=外，也还有 x= kp+ (kZ)也都是满足tan x=的角你当然会产生疑问：在这么许多可能的角中，我到底应该求哪个角？其实，只要求出一个角后，其它无限多个满足要求的角，都是可以推算出来的，至于怎么推算，除了加或减周期外，还可以用其它公式来得到，这将在第五章中介绍目前在没有介绍这些公式之前，我们的要求是(下文中的a，是特殊三角函数值或它们的相反数)： 已知正弦函数值sinx=a，若a0，求在0,内的角x；若a0，求在-,0) 内的角x； 已知余弦函数值cosx=a，求在0,p内的角x；已知正切函数值tanx=a，若a0，求在0,)内的角x；若a0，求在(-,0) 内的角x 为了叙述方便，称上面求角的范围为主值区间即对正弦函数，主值区间是-,；余弦函数的主值区间是0,p；正切函数的主值区间则是(-,)T x-xOMxyAPTP 图4-42 以前遇到负角，我们总是把它化为一个周期内的正角，很少直接处理负角因此首先考虑已知sinx或tanx值a0，怎么求在(-,0)内的角的问题只要看一下图4-42就可以得到解答图上的圆O是单位圆，角x和角-x的正弦线MP,MP 、正切线AT, AT 的数值正好互为相反数，因此 sin(-x)=-sinx, tan(-x)=-tanx这样，若已知sinx或tanx值a0，你可以先求出(0,)内的x，满足 sinx=|a|或tanx=|a|，然后因为 sin(-x)=-sin x=-|a|=a 或 tan(-x)=-tan x=-|a|=a，因此-x就是要求的答案 例在各三角函数的主值区间内，求满足下列要求的x：(1)sinx=-； (2)cosx=-； (3)tanx=1； (4)tanx=-； (5)sinx=-1； (6)cosx=； (7)sinx=； (8)cosx=1解(1)因为sin(-)=-，所以x=- (2)因为cos=-，所以x= (3)因为tan=1，所以x= (4)因为tan(-)=-，所以x=- (5)因为sin(-)=-1，所以x=- (6)因为cos=，所以 x= (7)因为sin=，所以 x= (8)因为cos0=1，所以x=0 课内练习1 1. 在主值区间内，求满足下列要求的x： (1)sinx=-； (2)cosx=-； (3)tanx=-； (4)tanx=-1； (5)cosx=-1； (6)cosx=0； (7)sinx=- (2)已知非特殊三角函数值求角如果已知的三角函数值，不是特殊角的三角函数值，可以使用计算器来求得角首先你要设定求出来的角用角度制还是弧度制表示，这你已经熟悉了，应该用MODE键切换来设定如果切换成RAD状态，求出来的角是弧度；如果切换成DEG状态，求出来的角是角度具体求角的按键次序是：先键入三角函数值，按2ndF键，再按一次sin-1 ,或cos-1 ,或tan-1键，显示屏上立即显示对应的角计算器显示的仅仅是各三角函数所对应的主值区间内的角 例2已知 (1)sinx= -0.9392； (2)cosx=0.7753； (3)tanx=-0.4541；(4)cotx=0.9901； (5)sinx=1.0211； (6)tanx=-10.0000；(7)secx=8.3233；(8)cscx=4.8858求分别以角度制和弧度制表示的角x (弧度保留四个有效数字，角度精确到分)解每题总是先求出弧度制结果，再转换成角度制因此每题解算之前，总是把角的度量制调到RAD状态，先求出弧度制的角，再按以下顺序按键，求出角度制的角： 180 2ndF p 2ndF DMS 题号按 键 顺 序 弧度结果 角度结果(1)0.9392 +/- 2ndF sin-1x-1.220x-6955(2)0.7753 2ndF cos-1x0.6836x3910(3)0.4541 +/- 2ndF tan-1x-0.4263x-2425(4)0.9901 2ndF 1/x 2ndF tan-1x0.7904x4517(5)1.0211 2ndF sin-1E （出错） E （出错）(6)10 +/- 2enF tan-1x1.471x-8417(7)8.8233 2ndF 1/x 2ndF cos-1x1.457x8329(8)4.8858 2ndF 1/x 2ndF sin-1x0.2061x1148对本题解算作几点说明 输出模式设定为RAD的前导操作，取出弧度制角后转换成角度制的后继操作，按键都是固定的，表上未列出，但你在解算中是不能省的第(5)题，因为|sinx|1，所以本题题目有误(你可以强制按键来求x，看看会出现什么信息) 第(4)题因为在计算器上没有cot-1键，所以，先用倒数关系tanx=,从已知cotx=0.9901，求出tanx=1.0100，再用tan-1键求出x；第(7)题因为再计算器上没有sec-1键，所以，先用倒数关系cosx=,从已知secx=8.3233，求出cosx=0.1201，再用cos-1键求出x； 第(8)题因为在计算器上没有csc-1键，所以，先用倒数关系sinx=,从已知cscx=4.8858，求出sinx=0.2047，再用sin-1键求出x 课内练习21. 已知 (1)sinx=0.8322； (2)cosx=-0.2233； (3)tanx=17.455； (4)cotx=-1.8000； (5)cosx=-1.0100；(6)tanx=0.9995； (7)secx=-2.4750； (8)cscx=9.0101 求分别以角度制和弧度制表示的角x(弧度保留四个有效数字，角度精确 到分)CABabca图4-432. 正弦定理、余弦定理你已经熟悉了直角三角形中的角与边的关系，如(1) a=csina, b=ccosa c=, =tana等(见图4-43)并且，你还会应用这些关系，来解直bABCaa图4-44角三角形，即已知直角三角形中某些边或角，求其余角或边但生产活动和实际生活中，遇到的未必都是直角三角形问题，有些是斜三角形问题例如为了求得不可直接到达的两点A, B之间的距离，通常另选一点C，测得a, b和角a(见图4-44)如果a=90，那是一个简单的解直角三角形问题；但若a、A、B没有一个是90，就是斜三角形问题了因此有必要探求在斜三角形中，内角和边之间的关系目前你所知道的关系是：大边对大(内)角，小边对小(内)角，这种认识太含糊了，现在我们要把这种所谓 “对”数字化，说得更具体一些，是边与内角的三角函数之间的关系(1)正弦定理 图4-45(1)是一个直角三角形，它的角边之间的关系已经用(1)写出，把CABabca图4-45(1)Fa 改记为A，表示内角A的大小，同样，B,C表示内角B,C的大小因为 CF=asinB=bsinA，sinC=1，所以 SRtDABC=ABCF=cb sinA =ca sinB =ab sinC，由此得 =这就是说，直角三角形三个内角的正弦，与三条对边的对应比是相等的CABDabc图4-45(2)FEa现在我们把角C改动一下，变为图4-45(2)那样，此时，DABC当然不再是直角三角形，但仍有 CF=bsinA=asinB, AE=csinB=bsinC BD=csinA=asinC， SRtDABC=ABCF=BCAE=ACBD即 SRtDABC=cb sinA=ca sinB =ab sinC (4-7-1)CABDabc图4-45(3)aEF从而 = (4-7-2) 即使改变C为图4-45(3)那样(a成为钝角)，仍然可以导出上述结果这样就可以得到两个结论： 任何三角形的面积等于任意两边与其夹角的正弦的乘积之半(即(4-7-1)； 任何三角形三个内角的正弦，与三条对边的对应比是相等的(即(4-7-2) 称结论为正弦定理 (2)余弦定理 回到图4-45(1)，对直角三角形有关系式c=现在我们也把角C改动一下，变为图4-45(2)那样非直角三角形情形，此时，c=不再成立，代替它的是a2=BD2+DC2和c2=BD2+AD2所以c2AD2+(a2-DC2) =a2+(AD2-DC2)=a2+(AD+DC)(AD-DC)，因为(AD+DC)=AC=b, DC=acosC, AD-DC=(b- DC)-DC=b-2DC,所以c2=a2+b(b-2acosC)=a2+b2-2abcosC这表示，代替关系c=的将是c2=a2+b2-2abcosC (4-7-3)比较一下(4-7-3)与直角三角形时的关系式c=是相容的(因为在直角三角形中cosC=0)把角C改为角A、角B，作同样的推导，也可得到如下公式： a2=c2+b2-2bccosA (4-7-4) b2=c2+a2-2accosB (4-7-5)上面推导中，我们所参看的图4-45(2)，默认a是锐角如果改变C为图4-45(3)那样，使a成为钝角，只要注意cosaBC，所以 A20m)1卷，标志杆2根，水准仪1只，测锤1只，平板仪1副，带有刻度的直尺1把，量角器1只，铅笔1枝，白纸一张，图钉或胶带纸若干，大头钉几只实习步骤：(1)各组选定测绘点(如图4-53的C点)；(2)用图钉或胶带纸把白纸固定在平板仪上；(3)架设平板仪，用水准仪校水平，用测锤定位于C，以大头钉在白纸上定位；(4)在点A,B处树立标志杆；(5)平板仪准线对准A标志杆，在白纸上画CA；(6)用皮卷尺量取CA，按一定比例(如500:1)标在白纸上；(7)平板仪准线对准B标志杆，在白纸上画CB；(8)用皮卷尺量取CB，以相同比例标记在白纸上，连接AB；(9)用量角器量取ACB，标记在白纸上；(10)用公式(*)算出AB，再以直尺量取白纸上AB长度，按比例换算成实际长度，比较结果是否相符？若误差较大，重新测量； (11)各组交换测量结果，检验是否相同，决定评分BACDabgb图4-54 课题2 问题类型：求不可直接量取的目标的高度模型：求不可直接量取的目标AB的高度(见图4-54)算法原理：选取可直接观测到B的点C，再在AC上另找一个也可观测到B的点D，量取CD=b(m)，BCA=a, BDA=b，计算g=CBD=b-a若可求出BD，则可得 AB=BDsinb (*)这样问题成为在DBDC中, 已知两角一对边的情况根据正弦定理 BD= (*) 课题内容：选定校园内一幢大楼M，并选取一个楼角或楼顶B作为测点，求B离地面的高度AB(见图4-55)BACD图4-55CDANM 实习准备： (1)选定测量目标，鲜明标志测量标准点B； (2)学生分组：每组约5-6名学生； (3)测绘工具：每组需用皮卷尺(长于20m)1把，标志杆根，测角仪1只，测锤1只，带有刻度的直尺1把，量角器1只，铅笔1枝，白纸一张 实习步骤： (1)各组选定测绘点(如图4-55的C点)，在白纸上标记点C，过C画一水平线，画一垂线； (2)用测锤定位于C，把测角仪架设于C，对测角仪校水平，量取测角仪离地面高度CC，在白纸上以一定比例(如200:1)标记，画出CC； (3)测角仪目镜对准目标B，读取仰角BCA，在白纸上用量角器相应标记，画出CN； (4)测角仪目镜归水平(注意只能垂直转动，绝对不能把测角仪作任何水平转动或移动）标志杆选点于D，使标志杆在测角仪目镜的中线位置，并使标志杆高度读数正好等于CC；用卷尺量取CD，标记于白纸上，画出CC, DD； (5)移动测角仪到D (注意不能改变高度)，校水平后，重复(3)操作，读取仰角ADB，在白纸上相应标记，画出DM，得到交点B； (6)在白纸上过B作垂线，与CD, CD的延长线交于A,A； (7)用解斜三角形公式(*)算出BD，公式(*)算出AB，再以直尺量取白纸上AB长度，按比例换算成实际长度，比较结果是否相符？若误差较大，重新测量；否则加上测角仪高度CC，即为楼高； (8)各组交换测量结果，检验是否相同，决定评分本章小结1. 角的概念 (1)任意角角定义正角一射线按逆时针方向，绕顶点旋转所形成的角负角一射线按顺时针方向，绕顶点旋转所形成的角零角一射线没有作任何旋转时的角(3)始边、终边相同的角的表示 与角a的始边、终边重合的角的全体为b|b= k360+a, kZ (3)象限角和界限角 顶点在直角坐标系的原点、始边与x轴正半轴重合，其终边落在某象限的角，按其终边所落象限不同，分别称为第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角；终边落在坐标轴上的角，称为界限角2. 度量角的弧度制弧度换算公式弧长公式1弧度=长等于半径的弧所对的圆心角180=p rad1=1rad=l=|a|r，其中r为圆半径, a为圆心角的弧度数3. 任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义和定义域顶点在直角坐标系原点、始边与x轴正半轴重合的角a，在其终边上任取一点P(x,y)，OP=r，名称定义定义域名称定义定义域正弦sina=aR余割csca=a|akp, kZ余弦cosa=aR正割seca=a|akp+,kZ正切tana=a|akp+,kZ余切cota=a|akp, kZ (2)三角函数的符号xy-O+-xy-O+-xy+O+-xy-O+-+ sina, csca cosa, seca tana, cotaxOAPTBr=11Ma图4-56y (3)三角函数线如图4-56，圆O为单位圆 正弦线：MP，向上为正； 余弦线： OM，向右为正； 正切线：AT，向上为正P点坐标：(cosa, sina)；sina=MP，co