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最小二乘法简介 最小二乘法 目的 由一组实验数据找出一条最佳的拟合直线 最小二乘法原理 如果能找到一条最佳的拟合直线 那么这条拟合直线上各个相应点的值与测量值之差的平方和在所有拟合直线中是最小的 最简单的情况 x y为等精度测量 x的测量误差不考虑 yi的测量偏差为 最小二乘法原理 可解得a b的值及其标准偏差 其中 可解得a b的值及其标准偏差 y为测量值yi的标准误差 最终得到最佳的拟合直线方程 也称回归方程 需要考虑的两个问题 经验公式是否合适 相关系数 测量列是否存在粗差 肖维涅舍弃判据附 相关系数表和肖维涅系数表 1 只有当x和y之间存在线性关系时 拟合的直线才有意义 2 为了检验拟合的直线有无意义 引入一个叫相关系数r来判别 r的定义为 2 r 1 x与y线性关系好 r 0 x与y无线性关系 拟合无意义 1 r 的值总是在0和1之间 说明 相关系数R 肖维涅系数Cu 例 已知变量x和y的测量值为 问 是否为线性相关 如果是 检查测量值中是否带有粗差的数据 求出回归直线的截距a 斜率b及其标准偏差 a b 解 1 列表 由上表可求得 则相关系数 因n 17 查表可知临界相关系数R0 0 575 可见R R0 表明x y间是线性关系 则进一步求出 其中 y为测量值yi的标准偏差 通过计算 应剔除 6 67 654 这组数据 则余下的16组数据 利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数据 列表如下 n 17时 Cu 2 17 2 剔除粗差 剔除粗差后 对余下的16组数据计算 则相关系数 因n 16 查表可知临界相关系数R0 0 595 可见R R0 表明x y间是线性关系 则进一步求出 利用肖维涅舍弃判据来剔除测量值中带有粗差的数据 列表如下 n 16时 Cu 2 15 其中 y为测量值yi的标准偏差 由上表可知 测量值中没有带有粗差的数据 最后计算a b的误差 则 即回归方程为 注 表中N为数据个数 a为显著性水平 附 临界相关系数R表 附 肖维涅舍弃判据系数表 把非线性相关问题变换成线性相关问题 两边取对数化为线性方程 例 令 则方程可化为 在实际问
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