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Matlab信号与系统的补充 工具箱中的LTI对象 线性系统可以采用四种不同方法来进行描述 每种方法又有几个参数矩阵 基于面向对象的设计思想 建立专用的数据结构类型 将各种模型封装成统一的LTI对象 在一个名字下包含了改系统的所有属性 8 1 1LTI对象的类型和属性控制工具箱中一般有三个对象sstfzpk共同属性p238表8 1Ts 0 Ts 1Td输入时延特有属性p239表8 2 LTI模型的建立 dss a b c d 生成描述状态空间模型filt num den 生成dsp形式的离散传递函数 z 1 ss a b c d 生成状态空间模型tf num den 生成传递函数模型zpk z p k 生成零极增益模型 对象属性的获取和修改 对象属性的获取getset模型的参数转换和提取dssdatassdatatfdatazpkdata 输出反馈反馈联接系统串联联接系统并联联接系统增广联接 系统模型的连接 输出反馈系统的结构图下图所示 可以使用函数cloop得到闭环系统的数学模型 格式1 numc denc cloop num den sign 输入开环系统的传递函数 左变量返回系统的闭环参数 numc为分子多项式系数向量 denc为分母多项式系数向量 右变量中的sign 1为正反馈 sign 1为负反馈 sign的缺省值为 输出反馈 格式2 Ac Bc Cc Dc cloop A B C D sign MIMO系统时 状态空间模型的全输出反馈 格式3 Ac Bc Cc Dc cloop A B C D outputs inputs MIMO系统时 状态空间模型的选择输出反馈 向量outputs inputs分别指明输出输入端口号数 正反馈时inputs取正值 负反馈时inputs取负值 例 单位反馈系统结构图如图所示 求闭环系统的数学模型 num 10 den 1 2 0 nc dc cloop num den 1 printsys nc dc num den 10 s 2 2s 10 例 双输入 双输出系统结构图如下图所示 求闭环系统的数学模型 a 00 00 b 10 0 0 2 c 10 01 d 00 00 ac bc cc dc cloop a b c d 1 2 1 2 1 2 1 2 ac 2000 4bc 10002cc 1001dc 0000 一般反馈系统的结构图如图所示 可以使用函数feedback得到闭环系统的数学模型 格式1 numc denc feedback num1 den1 num2 den2 sign 系统1和系统2均为传递函数模式时 左变量为返回的闭环系统参数 右变量中 num1和den1为系统1参数向量 num2和den2为系统2参数向量 符号变量sign 1为正反馈 反馈联接 符号向量sign 1为负反馈 符号向量sign的缺省值为 1 格式2 Ac Bc Cc Dc feedback A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 sign 系统1与系统2均为状态空间模式时的使用格式 格式3 Ac Bc Cc Dc feedback A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 outputs1 inputs1 MIMO系统时 系统1与系统2为状态空间模型的反馈联接 向量outputs1和inputs1分别指明当系统2作为反馈模块时 联接系统1的输出输入端口号数 正反馈时inputs1取正值 负反馈时inputs1取负值 例 反馈控制系统结构图如下图所示 求闭环系统的数学模型 n1 10 d1 1 2 0 n2 0 2 1 d2 0 01 1 n d feedback n1 d1 n2 d2 1 printsys n d num den 0 1s 10 0 01s 3 1 02s 2 4s 10 系统串联联接的结构图如下图所示 在使用过程中可用函数series得到串联系统的数学模型 格式1 num den series num1 den1 num2 den2 系统1和系统2均为多项式模型时 左变量为返回的闭环系统参数 右变量中num1和den1为系统1参数向量 右变量中num2和den2为系统2参数向量 系统串联联接 格式2 A B C D series A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 系统1与系统2均为状态空间模式时的使用格式 格式3 A B C D series A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 outputs1 inputs2 MIMO系统时 系统1与系统2之间的串联联接方式 向量outputs1指明系统1的输出号数 inputs2指明系统2和输出号数 例 已知系统串联校正结构图如下所示 求系统的传递函数 n1 0 5 1 d1 0 1 1 n2 10 d2 1 2 0 no do series n1 d1 n2 d2 nc dc cloop no do 1 printsys nc dc num den 5s 10 0 1s 3 1 2s 2 7s 10 系统并联联接的结构图如图所示 可以使用函数parallel得到闭环系统的数学模型 具体使用格式如下 格式1 num den parallel num1 den1 num2 den2 系统1和系统2均为传递函数时 左变量为返回的闭环系统参数 右变量中 num1 den1为系统1参数向量 num2 den2为系统2参数变量 系统并联联接 格式2 A B C D parallel A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 系统1与系统2均为状态空间模式时的使用格式 格式3 A B C D parallel A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 out1 out2 MIMO系统时 系统1与系统2之间的并联联接方式 向量out1指明系统1的输出号数 out2指明系统2的输入号数 例 系统结构图如图所示 求并联系统的数学模型 n1 2 d1 12 n2 5 d2 1 3 n d parallel n1 d1 n2 d2 printsys n d num den 7s 16 s 2 5s 6 系统增广联接的结构图如图所示 其中 系统1和系统2均为状态空间表达式 在使用中可利用函数append 得到增广联系统状态空间模型 使用格式如下 A B C D append A1 B1 C1 D1 A2 B2 C2 D2 A1 B1 C1 D1为系统1的状态空间参数矩阵 A2 B2 C2 D2为系统2的状态空间参数矩阵 系统的增广联接 A B C D为增广系统的状态空间参数矩阵 例 系统结构图如图所示 利用系统增广函数求闭环系统的数学模型 ns1 10 ds1 10 a1 b1 c1 d1 tf2ss ns1 ds1 ns2 2 ds2 1 0 a2 b2 c2 d2 tf2ss ns2 ds2 as bs cs ds append a1 b1 c1 d1 a2 b2 c2 d2 a b c d cloop as bs cs ds 1212 1 2 1 2 a b 200100 401c d 100000200 返回 系统分析 系统时域分析系统频域分析 返回 系统时域响应分析阶跃响应函数功能 给定系统数学模型 求系统的单位阶跃响应 step num den orstep A B C D step num den t orstep A B C D t y x step num den or y x step A B C D y x t step num den or y x step A B C D t 其中 num和den对应TF的系数向量 A B C D对应SS模型的系数矩阵 格式1 给定num den 求系统的阶跃响应并作图 时间向量t的范围自动设定 给定A B C D求系统的阶跃响应并作图 时间向量的范围自动设定 格式2 时间向量t的范围由人工设定 等间隔 例 t 0 0 1 3 格式3 返回变量格式 返回输出变量y 状态变量x 不作图 格式4 返回变量格式 包括或不包括时间向量t 不作图 例 系统的传递函数为 求阶跃响应并作系统性能分析 绘制阶跃响应曲线num 4 den 114 step num den 计算峰值 y x t step num den max y ans 1 4441求峰值时间tp spline y t max y tp 1 6062 脉冲响应函数函数功能 给定系统数学模型 求系统的单位脉冲响应 impulse num den orimpulse A B C D impulse num den t orimpulse A B C D t y x impulse num den or y x impulse A B C D y x t impulse num den or y x impulse A B C D t 其中 num和den对应TF的系数向量 A B C D对应SS模型的系数矩阵 格式1 给定num den 求系统的脉冲响应并作图 时间向量t的范围自动设定 给定A B C D求系统的脉冲响应并作图 时间向量t的范围自动设定 格式2 时间向量t的范围由人工设定 等间隔 例 t 0 0 1 3 格式3 返回变量格式 返回输出变量y 状态变量x至MATLAB窗口 不作图 格式4 返回变量格式 包括或不包括时间向量t 不作图 例 系统的传递函数为 求阶跃响应并作系统性能分析 绘制脉冲响应num 4 den 114 impulse num den 计算误差面积 y x t impulse num den trapz t y ans 0 9983 返回 控制系统频域响应分析MATLAB提供了多个用于系统频域分析的函数 波特函数Bodebode num den orbode a b c d iu bode num den w orbode a b c d iu w m p w bode num den or m p w bode a b c d iu 函数功能 对数频率特性作图函数 即波特图绘图 格式1 给定开环系统的数学模型作波特图 频率向量w自动给出 当开环模型以状态空间模型给出时须指定第几个输入 格式2 给定开环系统的数学模型作波特图 频率向量w由人工给出 w的单位为 rad s 可以由命令logspace得到对数等分的w值 格式3 返回变量式 不作图 其中 m为频率特性G jw 的幅值变量 m G jw p为频率特性G jw 的幅角向量 p arg G jw 单位为 w为频率向量 单位为 rad s 例 控制系统的开环传递函数为作波特图 并确定谐振峰值的大小Mr与谐振频率wr n 10 d 1210 bode n d m p w bode n d mr max m mr 1 6667wr spline m w mr wr 2 8284 稳定裕度函数margin函数功能 计算系统的稳定裕度 包括相位裕度Gm和幅值裕度Pm margin num den ormargin a b c d Gm Pm wg wp margin num den or Gm Pm wg wp margin a b c d Gm Pm wg wp margin m p w 格式1 给定开环系统的数学模型作波特图 并在图上标注幅值裕度Gm和对应的频率wg 相位裕度Pm和对应的频率wp 幅值裕度Gm定义为 单位为dB 分贝 相位裕度Pm定义为单位为度 格式2 返回变量格式 不作图 返回幅值裕度Gm和对应的频率wg 相位裕度Pm和对应的频率wp 格式3 给定频率特性的参数向量 幅值m 相位p和频率w 由插值法计算幅度裕度幅值裕度Gm和对应的频率wg 相位裕度Pm和对应的频率wp 例 控制系统结构图如图所示 求系统的稳定裕度 并分别采用格式2与格式3比较计算误差 n 2 d 1320 margin n d gm1 pm1 wg1 wp1 margin n d m p w bode n d gm2 pm2 wg2 wp2 margin m p w gm1 gm2 pm1 pm2 wg1 wg2 wp1 wp2 奈奎斯特函数nyquist 函数功能 奈奎斯特轨线作图命令 即极坐标图 nyquist num den ornyquist a b c d nyquist num den w ornyquist a b c d w re im w nyquist num den or re im w nyquist a b c d 格式1 给定开环系统的数学模型作波特图 频率w的范围自动给定 格式2 给定开环系统的数学模型作波特图 频率w的范围人工给定 格式3 返回极坐标图参数变量 不作图 其中re为复变函数G jw 的实部变量 re Re G jw im为复变函数G jw 的虚部变量 im Im G jw w为频率向量 单位为rad s 例 二阶系统令 n 1 分别作出 2 1 0 707 0 5时的奈奎斯特轨线 n 1 d1 141 d2 121 d3 11 4141 d4 111 nyquist n d1 holdonnyquist n d2 nyquist n d3 nyquist n d4 axis equal x 0 0 1 2 pi plot sin x cos x 例 分别由w的自动变量与人工变量作下述系统的奈奎斯特轨线 n 1 d 110 nyquist n d figure 2 w 0 5 0 2 3 nyquist n d w axis equal 有时为了使曲线变化趋势看起来更明显 常采用人工变量 返回 频域稳定性分析在频域稳定性分析中 主要使用波特图上的nyquist稳定性判据 即稳定裕度命令margin 注意 稳定裕度的定义是对最小相位系统而言的 若系统为非最小相位系统 不能应用稳定裕度来判别系统的稳定性 例 系统的开环传递函数为试分析系统的稳定性 n 1 d1 1 0 d2 0 5 1 d3 0 1 1 d conv d1 conv d2 d3 margin n d 如上图所示 当k 1时系统是稳定的 由插值函数spline确定系统稳定的临界增益 m p w bode n d wi spline p w 180 wi 4 4720mi spline w m wi mi 0 08331 mians 12 0036通过上述运算 得到系统临界增益值为k临 12 则有k0dB 相位裕度Pm 0 系统是稳定的 当k 12时 系统的幅值裕度Gm 0dB 相位裕度Pm 0 系统不稳定 例 非最小相位系统的开环传递函数为试在频域确定系统的稳定性 k 1 n 0 5 1 no k n do 1 1 0 margin no do 从图中可以看出 系统的闭环是不稳定的 这时就要借助于nyquist判据来判稳 作奈氏曲线分析 w 0 5 0 1 10 nyquist no do w axis equal 由插值法寻找临界增益k临 m p w bode no do wi spline p w 180 mi spline w m wi 1 miwi 1 4142mi 0 4999ans 2 0004因此 临界增益k临 2 由于p 1 根据奈氏判据 该系统稳定条件为 角度增量 p 所以k2时 在奈氏判图上 角度增量 满足稳定条件 系统稳定 k 1和k 3的奈氏判据图如上页图所示 绘制程序如下 holdonno no 3 nyquist no do 返回 系统校正 在控制分析的基础上对系统性能进行改善 为了保证一定的控制效果 按照传统方法 在原系统特性的基础上 将原特性加以修正称为系统的校正 例如改变原系统的波特图使之成为希望的形状即满足要求的性能指标就属于控制系统的校正内容 在本节主要介绍频域校正法 即基于波特图的校正方法 返回 基于波特图的系统校正方法主要有两种 一种是相位超前校正 通过超前校正装置的相位超前特性使校正系统获得希望的相位裕度 另一种是相位滞后校正 通过压缩频带宽度使校正系统获得希望的相位裕度 这两种校正方法都是在系统串联校正的基础上实现的 例 已知角位移随动系统的开环特性为要求 1 r t t时 ess 0 1弧度 2 c 4 41 s c 45 用频率法设计超前校正装置 为满足稳态性能 令K 10 作开环系统的波特图 见下页 no1 10 do1 1 1 0 bode no1 do1 holdon gm pm wg wp margin no1 do1 gm pm wg wp ans Inf17 9642NaN3 0842相位裕度 c 17 96 45 设计超前校正装置为作超前校正装置的波特图 见下页 nc 0 45 1 dc 0 11 1 bode nc dc 校正系统的开环传递函数为 no2 conv no1 nc do2 conv do1 dc bode no2 do2 通过比较 校正后系统的相位裕度得到了很大改善 gm1 pm1 wg1 wp1 margin no1 do1 gm1 pm1 wg1 wp1 gm2 pm2 wg2 wp2 margin no2 do2 gm2 pm2 wg2 wp2 ans Inf17 9642NaN3 0842ans Inf50 1314NaN4 4186相位裕度由17 9642增加到50 1314 改善了系统的平稳性 开环截止频率由3 082增加到4 4186 改善了系统的快速性 时域仿真结果 例 已知系统的开环传递函数为用频率校正法确定系统的滞后校正装置 要求 1 Kv 30 2 c 2 1 s c 45 为满足稳态性能指标 令K 30 作开环系统的波特图 n 30 d conv 1 0 conv 0 1 1 0 2 1 bode n d gm pm wg wp margin n d gm pm wg wp ans 10NaNNaN系统的相位裕度Pm 0 系统处于临界稳定状态 属于不稳定 设计滞后校正装置为滞后校正装置的波特图见下页图 nc 4 1 dc 50 1 bode nc dc 校正系统的开环传递函数为 绘制校正后系统的波特图见下页图 no2 conv n nc do2 conv d dc bode no2 do2 gm pm wg wp margin no2 do2 gm pm wg wp ans 5 818248 29606 82282 1664校正系统的相位裕度pm 48 2960 45 wp 2 1664 2 K 30 满足设计要求 绘制系统校正前后的时域响应 程序1 将以上频域波特图江于一图 n 30 d conv 10 conv 0 11 0 21 bode n d gm pm wg wp margin n d gm pm wg wp holdonnc 4 1 dc 50 1 bode nc dc no2 conv n nc do2 conv d dc bode no2 do2 gm pm wg wp