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函数的奇偶性及其应用举例 （湖北省红安县职教中心 金哲、曾诚）【摘要】 函数是贯穿于初中、高中、大学数学教学的一条主线，也是高中数学的核心内容，那么真正掌握函数，其中最主要的就是掌握函数的基本性质。函数的奇偶性是函数重要性质之一。近几年高职统考以及技能高考对于函数的奇偶性一直都是热点问题。本文将通过对函数的奇偶性及其应用进行一个系统研究。【关键词】 函数的奇偶性，判定，应用 一、奇、偶函数的定义： 若函数，在其定义域内，任取都有，则称函数在区间I上是奇函数（或者偶函数）2、 函数的奇偶性分类 三、奇、偶函数的图象： 奇函数图象关于原点成中心对称的函数 偶函数图象关于y轴对称的函数。四、函数奇偶性的性质： 具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称 若f(x)是奇函数，且x在0处有定义，则f(0)0 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反 任意定义在R上的函数f(x)都可以唯一地表示成一个奇函数与一个 偶函数的和。五、 判断函数奇偶性的方法： （1）定义法：欲判断函数在给定区间或者定义域内的奇偶性： 第一步：先判断给定区间或者定义域是否关于原点对称，若 不对称，则函数一定是非奇非偶函数。 第二步：若对称，再判断与的关系： 若=-,则是奇函数 若=,则是偶函数 若=-且=,则是既奇且偶函数 若-且,则是非奇非偶函数 （2）图象法：图象关于原点成中心对称的函数是奇函数； 图象关于y轴对称的函数是偶函数。，六、函数奇偶性的应用： （1）函数奇偶性的判断 例1、（2011年高职统考第4题）下列函数为奇函数的为 析：A,B，C这三个函数的定义域都不关于原点对称，故均为非奇非偶函数， 只有D选项，定义域为，关于原点对称，并且，故D项所在函数为奇函数。 例2、（2014年文化综合第25题改编）下列函数中为奇函数的是 A B C D析：A项的定义域为关于原点对称，但，故为偶函数； C项定义域 为关于原点对称，但，故为非奇非偶函数；D项，定义域为，不关于原点对称，故为非奇非偶函数，只有B项符合。 例3、判断函数的奇偶性： 析：（法1-定义法）函数的定义域是， ， ， 为偶函数。 （法2图象法）：画出函数的图象如下：由函数的图象可知， 为偶函数说明 ：判断函数的奇偶性：一般情况下，若采用定 义法，先考察函数的定义域是否关于原点“对称”然后判断f(-x) 与f(x)的关系。左为有些函数，可用图象法判断函数的奇偶性。 （2）利用函数的奇偶性求值例4、已知函数是奇函数，又， 求的值. 解：由得，。 又得，而得， ，解得。 又，或. 若，则，应舍去；若，则b=1Z. 。 说明：本题从函数的奇偶性入手，利用函数的思想(建立方程或不等式，组 成混合组)，使问题得解.有时也可用特殊值，如 f(1)=f(1)，得c =0。 例5、已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数，且定义域为a1，2a，则 a=_，b=_. 解析：定义域关于原点对称，故a1=2a， 又对于f(x)有f(x)=f(x)恒成立，b=0.（3）利用函数的奇偶性解不等式： 例6、若f(x)是偶函数，当x0，+)时，f(x)=x 1，求f(x1)0的解集。 分析：偶函数的图象关于y轴对称，可先作出f(x) 的图象，利用数形结合的方法. 解：画图可知f(x)0的解集为 x1x1， f(x1)0的解集为x0x2. 答案：x0x2 说明：本题利用数形结合的方法解题较快、简捷.本题也可先求f(x)的表达式， 再求f(x1)的表达式，最后求不等式的解也可得到结果.（4）利用函数奇偶性求函数解析式 例7、若f(x)是R上的奇函数，且x(，0)时，f(x)=xlg(2x)，求f(x). 分析：先设x0，求f(x)的表达式，再合并. 解：f(x)为奇函数，f(0)=0. 当x0时，x0，f(x)=xlg(2+x)，即f(x)=xlg(2+x)， f(x)=xlg(2+x) (x0). 。说明：注意自变量在区间上的转化，分段函数的处理和分类讨论的思想紧密相 连。 例8、设函数是偶函数，函数是奇函数，且， 求和的解析表达式。 解：， ， 又函数是偶函数，函数是奇函数， ， 上式化为 解组成的方程组得 ，。【参考文献】 1、高中数学同步导学大课堂. 任志鸿主编 . 2007 2、全日制普通高级中学教科书必修-数学第一册（下）. 人民教育出版社 . 2003 3、瞿连林.高中数学专题教学M. 光明日报出版社. 1992 4、中等职业教育课程改革国家规划新教材数学（基础模块）上册