奥数 二年级 讲义 小二教案 180 第三讲 有趣的自然数串.doc

本节课主要内容：在秋季我们已经认识了简单的数列规律，在这节课中我们将在找数列规律的基础上，继续来研究数列的排列问题.1、 通过观察进一步掌握找稍复杂数列规律的方法.会根据一列数的规律，来求某一个数，或者这一列数的总个数.2、 解决一些生活中需要用数列规律来解答的问题. 有一天，大花猫捕到了15只老鼠.他请来了白猫和黑猫，共同分享胜利果实. 大花猫命令15只老鼠排成一列横队报数.然后，把报单数的吃掉了.接着又命令剩下的老鼠重新报数，又把报单数的吃掉了. 大花猫说：“今天吃饱了，请二位把剩下的带回去，明天再吃.” 请你算一算，还剩下几只老鼠?【教学思路】第一次吃掉了报1、3、5、7、9、11、13、15的老鼠，还剩下报2、4、6、8、10、12、14的老鼠，这剩下的7只老鼠又重新排列，2、6、10、14第二次被吃掉了，这样最后就只剩下4、8、10这3只老鼠了.我们常常见到0、l、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12连起来成一串，像一串北京的糖葫芦，我们把这样的一串数叫作自然数串(也叫自然数列)，其中的每一个数都是自然数.自然数的排列蕴含了许多规律，在秋季的学习中我们在找规律填数中已经有所接触，今天我们还将进一步的来研究这有趣的自然数串. 自然数兄弟的排列有什么特点呢？自然数兄弟们排成了一长串做运动，你发现它们排成的自然数串有什么特点？比一比看谁发现的多.来试试吧！ 【教学思路】这个题看起来很简单，但此题是一个开放题，通过这个题老师可以跟学生一起来研究自然数排列一些特点.也可把学过的知识进行复习.这道题目的答案有许多种,只要孩子说的有道理，我们都给予鼓励.（1）是一个从0开始的依次增大1的等差数列.（2）“有头无尾”，从0开始，可以无限写下去，后面的数要有多大就有多大.（3）其中的0、2、4、6、8、10、 ，是一个双数列（偶数列），它是一个依次增大2的等差数列.（4）其中的1、3、5、7、9、11、 ，是一个单数列（奇数列），它是一个依次增大2的等差数列.（5）自然数可以分成两部分：奇数和偶数.最小的偶数是0，最小的奇数是1.（6）在自然数串中，第n项，就是n-1 .（7）我们可以把自然数串这样分组：（0、l、2、3、4、5、6、7、8、9），（10、1l、12、13、14、15、16、17、18、19），（20、2l、22、23、24、25、26、27、28、29），（30、3l、32、33、34、35、36、37、38、39），这时大家就会发现其中的规律，每一组含有10个数字，从第二组起每组中的数字比相应前一组数字大10.所以，当你知道0+1+2+3+4+5+6+7+8+9=45，则10+11+12+13+14+15+16+17+18+19=45+100=145 按同样的思想，还可以把自然数串重新分成许多组. 巩固练习小朋友们让我们来看一看谁能更快的找到这些数列的规律，根据规律填空.（1）98，93，88，83，78，（ 73 ），（ 68 ）. （2）1，2，4，8，16，32，（ 64 ）. （3）0，3，3，6，9，15，24，（ 39 ）. （4）1，4，9，16，25，36，（ 49 ），（ 64 ）. （5）0，3，8，15，24，（ 35 ），（ 48 ） （6）0，2，6，12，20，（ 30 ），42 【教学思路】通过这个题的巩固，可引导学生复习之前我们所认识的几种典型数列特点.（1）这是一个等差数列，依次减小5.（2）这是一个等比数列，依次扩大2倍.（3）这是一个斐波那契数列，从第三项起，每一项是前两项的和.（4）这个数列中的数分别是1，2，3，4，5，6的数的平方.或者看每相邻的两个数依次扩大3、5、7、9、11、13、15（5）是上一数列相应平方减1.（6）法一：法二 ：原数列可以这样看：01、12、23、34、45、（56）、67其实，有许多数列的规律不止一种，只要你用心做，总能找到一种规律的. 你知道下面的自然数串，共有多少个数吗？【教学思路】法一：1、2、3、4、31、32共有32个数，4、5、6、31、32比它少3个，所以有32-3=29个数；法二：4是第1个数，5是第2个数，6是第3个数，数字和第几个相差3.依此规律 32是第29个数；法三：尾-首+1，32-4+1=29. 巩固练习下列偶数列有多少个数？ 【教学思路】如果是1、2、3、4、5、6、7、8、55、56、57、58 ，我们很容易知道它有 58个，我们可以将数列分组：（1、2）、（3、4）、（5、6）、（7、8）、（55、56）、（57、58），分成582=29，每组的偶数就是我们题目的数列，所以有29个偶数.有一天，同学们按自然数的顺序编号排队做游戏，它们站成了四队，分别是：红队，黄队，绿队，蓝队，如下图，按这样的顺序观察：（1）23号同学站在哪一队？（2）28号同学站在哪一队？（3）41号同学站在哪一队？【教学思路】仔细观察可知，每队从上到下依次增大4 ，第一列红队：5=4+1 ，9=4+4+1=42+1，13=4+4+4+1=43+1，第二列黄队：6=4+2，10=4+4+2=42+2，14=4+4+4+2=43+2， 第三列绿队：7=4+3，11=4+4+3=42+3，15=4+4+4+3=43+3， 第四列蓝队：8=4+4=42，12=4+4+4=43，16=4+4+4+4=44.根据这样的规律我们可得到答案：（1）23=4+19=4+4+15=4+4+4+4+4+3 ，23=45+3，所以他站绿队；（2）28=4+4+4+4+4+4+4 ，28=47，所以他站蓝队；（3）41=4+4+1，41=410+1，所以他站红队. 池塘里的浮萍每天面积长大一倍，10天就能长满整个池塘.那么请问，浮萍长满半个池塘需要多少天呢?【教学思路】浮萍长满半个池塘需要9天.因为浮萍每天面积长大1倍，所以从半个池塘到长满整个池塘只需要1天时间，这样10天减去1天当然就是9天了.看下面的故事，你能帮助小白鼠解决问题吗？一只猫捉了12只老鼠，其中有一只小白鼠.这只猫自言自语地说：“我要分三次吃掉它们，我先让它们站好队编号，我从第一只开始吃，然后隔一只吃掉一只；吃完后我让它们不许动，第二次还是从剩下的第一只吃起，隔一只吃一只；第三次也是照这个办法吃，把最后一只放了.” 猫的话被聪明的小白鼠听见了，于是它很快选好了一个位置，最后没有被吃掉.小朋友，你知道小白鼠选的是第几号位置吗?【教学思路】因为每隔一只吃一只，我们可以分析出猫每次会吃哪些老鼠： 第一次吃的老鼠是：1，3，5，7，9 ，11； 还剩下：2，4，6，8，10，12； 第二次吃的老鼠是：2，6，10； 还剩下：4，8，12； 第三次吃的老鼠是：4，12； 还剩下：8最后剩下的排在第8的老鼠会被放掉，所以小白鼠就站在了这排的第8个. 巩固练习 一只老猫捉了16只老鼠，其中有一只小白鼠.老猫自言自语地说：“吃以前叫它们如右图站成一个圆圈，我按顺时针方向，从1号开始吃，隔一个吃掉一个，但把最后剩下的一个放了.”这话被聪明的小白鼠听见了，于是它站在了某个号的位置上，最后没有被吃掉.小朋友，你知道小白鼠站的是第几号位置吗?【教学思路】依次吃掉：1、3、5、7、9、11、13、15；2、6、10、14；4、12、8 ，最后剩下16号.一辆公共汽车有66个座位，空车出发第一站上1位乘客，第二站上2位，第三站上3位，依此下去，多少站以后，车上坐满乘客?(假定在坐满以前，无乘客下车)【教学思路】方法一：我们可以把前几站车上的人数列举出来：第一站第二站第三站第四站第五站第六站第七站第八站第九站第十站第十一站1361015212836455566我们发现这列数的规律是每两个数之间分别增加：2、3、4、5、6、7、8、9、10、11这样我们可以计算出当是第66时，是第十一站. 方法二：由下表可知，车上的人数是自1开始的连续自然数相加之和，到第几站后，就加到几，所以只要加到出现66时，就可知道是到多少站了 123456789101166(人) 可见第11站以后，车上坐满乘客拓展与提高一天，爸爸给小明买了一包糖，数一数刚好100块爸爸灵机一动，又拿来了10个纸盒，接着说：“小明，现在你把糖往盒子里放，我要求你在第一个盒子里放2块，第二个盒子里放4块，第三个盒子里放8块，第四个盒子里放16块，照这样一直放下去要放满这10个盒，你说这100块糖够不够 ?” 小朋友，请你帮小明想一想?【教学思路】首先我们来研究一下100块糖是否能够放满这10个纸盒，具体分析如下，我们发现每个盒子里面的糖是呈两倍增长的. 可见100块糖是远远不够的，还差1946块呢!这可能是你没有想到的吧!其实，数学中还有很多很多奇妙无比的故事呢 附加题（老师可根据自己的课堂进度灵活处理讲义内容，附加题仅供老师参考使用.）右图是一串“黑”、“白”两色的珠子，其中有一些珠子在盒子里，问： (1)盒子里有多少珠子? (2)这串珠子共有多少个?【教学思路】仔细观察可知，这串珠子的排列规律是： 在盒子里有： 4149(个)这一串珠子总数是：111213l4151617l1234567(111llll1)28836(个)把1，2，3，4，5，28，29，30这三十个数，从左往右依次排列起来，成为一个数，你知道这个数共有多少个数字吗？ 哈哈！真有趣，排在一起有多少个数呢？ 【教学思路】把这个数写出一部分来看看：123456789101112131415282930法一：分段计算这个数共包含有多少个数字：1至9共有9个数字；10至19共有10个自然数，每个都由两个数字组成，这一段共有210=20个数字.20至29这一段也有10个自然数，共有20个数字.30这个数由两个数字组成.所以这个数所包含的数字总数是：9+20+20+2=51(个).法二：1至9共有9个数字；10至30共有31-10+1=21个自然数，每个都由两个数字组成，这一段共有221=42个数字.所以共有：9+42=51个数字.除0外的全体自然数如右表排列，请问（1）数43在哪个字母下面?（2）数47在哪个字母下面?（3）数56在哪个字母下面?【教学思路】我们可以把8个看成一组，每经过8个数字又从新开始排列，所以我们只要按例题的方法找到它们和18之间的关系就可以了.（1）43=58+3，所以它在3的下面，也就是说在C的下面；（2）47=58+7，所以它在7的下面，也就是说在E的下面；（3）56=78，所以它在8的下面，也就是说在D的下面. 1.找规律填空.（1）102、98、94、90、（ 86 ）、82 （2）1、2、3、2、4、6、3、6、9、4、（ 8 ）、（ 12 ）、（3）1、2、5、10、17、（ 26 ）、37、（4）56、1、54、4、52、9、（ 50 ）、（ 16 ）、（5）100、84、76、72、（ 70 ）.2. 如果除0外的全体自然数如右表排列，请问（1）数20在哪个字母下面?（2）数27在哪个字母下面?（3）数70在哪个字母下面?（4）数71在哪个字母下面?【答案】每列数字，从上往下依次增加7，（1）20=14+6，所以站在F的下面；（2）27=21+6，所以站在F的下面；（3）70=710 ，所以站在G的下面；（4）71=710+1，所以站在A的下面.3.下列奇数列有多少个数？【答案】配组：（3、4）、（5、6）、（7、8）、（35、36）、（37、38） ，从3到38有36个数，所以原来有奇数18个.4.一只老猫捉了16只老鼠，其中有一只小白鼠.老猫自言自语地说：“吃以前叫它们如 右图站成一个圆圈，我按逆时针方向，从1号开始吃，隔一个吃掉一个，但把最后剩下的一个放了.”这话被聪明的小白鼠听见了，于是它站在了某个号的位置上，最后没有被吃掉.小朋友，你知道小白鼠站的是第几号位置吗?【答案】依次吃掉：1、15、13、11、9、7、5、3、16、12、8、4、14、6、10最后剩下2号.5. 如下图所示为细胞的分裂图就是说一个分裂为2个，再次分裂变为4个，第三次分裂为8个，照这样下去，问经过8次分裂，一个细胞变成几个?【答案】我们把前四次分裂的个数写出来：1、2、4、8，这样可以发现每次分裂的个数以2倍在增长，这列数是一个等比数列.于是通过列举我们可以得到答案： 一个细胞经过8次分裂变为256个招聘大堂经理大象开了一家服装店，要招聘一名业务经理，负责服装店的财务和进货工作.小鹿、小猴和小熊前来应聘.大象出了一道考题：一家商场开展优惠酬宾活动，凡购物满100元（不足100元部分不计），回赠现金35元.现有260元，最多能买到多少元的物品？“最多能买到330元的物品，小鹿抢