数字信号处理实验答案湖南大学经典.docx

信息科学与工程学院 数字信号处理实验报告 实验二 DFT 和FFT一、实验目的1）认真复习周期序列 DFS、有限长序列DFT 的概念、旋转因子的定义、以及DFS 和DFT的性质等有关内容；复习基2-FFT 的基本算法，混合基-FFT 的基本算法、Chirp-Z 变换的算法等快速傅立叶变换的方法。2）掌握有限长序列的循环移位、循环卷积的方法，对序列共轭对称性的含义和相关内容加深理解和掌握，掌握利用DFT 分析序列的频谱特性的基本方法。3）掌握 FFT 算法的基本原理和方法、Chirp-Z 变换的基本原理和方法，掌握利用FFT 分析序列的频谱特性的方法。4）熟悉利用 MATLAB 进行序列的DFT、FFT 的分析方法。二、实验内容1）设周期序列( ) xn =,0,1,2,3,0,1,2,3,0,1,2,3,，求该序列的离散傅立叶级数X (k) = DFSx(n)，并画出DFS 的幅度特性。主程序：clc;N=4;n=0:N-1;k=0:N-1;xn=0 1 2 3;Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).(n*k);stem(k, abs(Xk);xlabel(k);gtext(|X(k)|);分析：由定义可知，对于周期序列，根据离散傅里叶级数公式即可求出，此实验中显示了一个周期的傅里叶级数。2）设周期方波序列为其中 N 为基波周期，L/N 是占空比。(1) 用L 和N求| X(k) |的表达式；(2) 当L 和N 分别为：L=5，N=20；L=5，N=40；L=5，N=60 以及L=7，N=60 时画出DFS 的幅度谱；(3) 对以上结果进行讨论，总结其特点和规律。主程序：L=5，N=20时clc;N=20;xn=ones(1,5),zeros(1,15);xn=xn,xn,xn;n=0:3*N-1;k=0:3*N-1;Xk=xn*exp(-j*2*pi/N).(n*k)stem(k,abs(Xk);xlabel(k);title(L=5,N=20时DFS幅度谱);结果：（修改代码中的L和N（x(n)），可以得到其他占空比时DFS的幅度谱）分析：由四组图对比可知,N越大，其频域抽样间隔越小，N为频域的重复周期。占空比L/N主要决定第一零点带宽（在一个周期内）。3）设有限长序列x(n) = 0,1,2,3，计算DTFTx(n)=X(ej)，并画出它的幅度谱；然后利用k=2*pi*k/4,k=0,1,2,3对X(ej)进行采样，并证明它等于实验a 中的X(k)。主程序：clc;N=4;xn=0 1 2 3;n=0:N-1;k=0:N-1;w=2*pi*(0:2047)/2048;Xw=exp(-j*w)+2*exp(-j*2*w)+3*exp(-j*3*w);subplot(211);plot(w/pi,abs(Xw);title(X(ejw)幅度谱);Xk=fft(xn,N);subplot(212);stem(k,abs(Xk),fill);hold on;plot(N/2*w/pi,abs(Xw);结果：分析：对比第一题的结果可以看出，对离散傅里叶变换的频谱进行抽样，在满足采样定理的条件下，可以无失真的恢复原来的波形。4）序列x(n)=R4(n)，计算DTFTx(n)=X(ej)，并绘制其幅度和相位谱。(1) 计算x(n)的4 点DFT，并绘制DFT 的幅度与相位谱；(2) 将x(n)补零形成8 点序列，计算8 点DFT，并绘制幅度与相位谱，求频率分辨率；(3) 将x(n)补零形成16 点序列，计算16 点DFT，并绘制幅度与相位谱，求频率分辨率；主程序：N1=8; N2=16;n=0:N1-1;k1=0:N1-1;k2=0:N2-1;w=2*pi*(0:2047)/2048;Xw=(1-exp(-j*4*w)./(1-exp(-j*w);%对x(n)的频谱函数采样2048个点可以看做连续的频谱xn=(n=0)&(n4);X1k=fft(xn,N1);X2k=fft(xn,N2);subplot(321);plot(w/pi,abs(Xw);title(连续函数幅度谱);xlabel(w/pi);subplot(322);plot(w/pi,angle(Xw);title(连续函数相位谱);axis(0,2,-pi,pi);line(0,2,0,0);xlabel(w/pi);subplot(323);stem(k1,abs(X1k),.);title(X1(k)幅度谱);hold on;plot(N1/2*w/pi,abs(Xw);%图形上叠加连续谱的幅度曲线subplot(324)stem(k1,angle(X1k),.);axis(0,N1,-pi,pi);line(0,N1,0,0);title(X1(k)相位谱);hold on;plot(N1/2*w/pi,angle(Xw);%图形上叠加连续谱的相位曲线subplot(325);stem(k2,abs(X2k),.);title(X2(k)幅度谱);hold on;plot(N2/2*w/pi,abs(Xw); subplot(326)stem(k2,angle(X2k),.);axis(0,N2,-pi,pi);line(0,N2,0,0);title(X2(k)相位谱);hold on;plot(N2/2*w/pi,angle(Xw); 实验结果：分析：对序列x(n)的N点DFT的物理意义是对其傅里叶变换的频谱在0,2*pi上进行N点等间隔的采样。由实验结果可以看出。5）序列x(n)=cos(0.48n)+cos(0.52n)(1) 求x(n)的10 点DFT，并画出它幅度与相位谱；(2) 求x(n)的100 点DFT，并画出它幅度与相位谱；根据实验结果，讨论 DFT 进行谱分析的条件。主程序：clc;N1=10;n1=0:N1-1;k1=0:N1-1;x1=cos(0.48*pi*n1)+cos(0.52*pi*n1);Xk1=fft(x1,10);w=2*pi/10*k1;subplot(311)stem(n1,x1,.);axis(0,10,-2.5,2.5);title(信号x(n),0=n=9);subplot(312);stem(k1,abs(Xk1),.);title(0=n=9时幅度谱)subplot(313)stem(k1,angle(Xk1),.);title(0=n=9时相位谱)figure;N2=100;n2=0:N2-1;x2=x1(1:1:10),zeros(1,90);Xk2=fft(x2,100);k2=0:N2-1;w2=2*pi/100*k2;subplot(311);stem(n2,x2,.);axis(0,100,-2.5,2.5);title(信号x(n)补零N=100);subplot(312)plot(w2/pi,abs(Xk2);title(0=n=99时幅度谱);subplot(313)stem(k2,angle(Xk2),.);title(0=nN error(N=n1+n2-1时，此时圆周卷积可以代表线性卷积。8） 序列x(n)=(n+1)R10(n)，h(n)=1,0,-1，利用重叠保留法，编制程序用N=6 点的循环卷积计算线性卷积的值y(n)=x(n)*h(n)，并与直接线性卷积结果进行比较。主程序：clc;n=0:9;x=n+1;h=1,0,-1;y1=conv(x,h)y2=fdconv(x,h,6)实验结果：y1 =1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -9 -10y2 =1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 -9 -10 0 0 0 0分析：编写分段卷积函数如下：%重叠保留法求分段卷积function y=fdconv(x,h,N)Lx=length(x);M=length(h);M1=M-1;L=N-M1;%各段搭接长度M1，有效程度为Lh=h,zeros(1,N-M);%将h延长至循环长度N;x=zeros(1,M1),x,zeros(1,N-1);%在x前面加上M-1个0K=floor(Lx+M1-1)/(L)+1;%段数Y=zeros(K+1,N);for k=0:K-1; xk=x(k*L+1:k*L+N); Y(k+1,:)=circonv(xk,h,N);end;Y=Y(:,M:N);%去掉前面M-1个样本y=(Y(:);%将列向量转换成行向量输出对比两个结果可以看出，自己编写的函数长度为14，产生误差的是最后4个样本，这是由于自己编写的函数输入的长度不合适，在其后面随便补了几个0，从而产生几个样本的误差。9）序列x(n)=R6(n)，用快速傅立叶变换FFT 计算6 点DFTx(n)和8 点DFTx(n)，绘制波形图并比较结果。主程序：N=6;n1=0:5;n2=0:7;x=stepseq(0,0,6);y1=fft(x,6);y2=fft(x,8);subplot(221);stem(n1,abs(y1),.);title(6点fft幅度谱);subplot(222);stem(n1,angle(y1),.);title(6点fft相位谱);subplot(223);stem(n2,abs(y2),.);title(8点fft幅度谱);subplot(224);stem(n2,angle(y2),.);title(8点fft相位谱);实验结果：10） 设两个序列x(n)=(2n+3)R17(n)，h(n)=(n+1)R4(n)，采用重叠相加法，按分段长度L=7的FFT 计算线性卷积：y(n)=x(n)*h(n)，并与直接线性卷积的结果进行比较。主程序：n=0:16;x=2*n+3;h=1 2 3 4;y1=conv(x,h)y2=fdconv(x,h,7)实验结果：y1 =Columns 1 through 18 3 11 26 50 70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310 293Columns 19 through 20 237 140y2 =Columns 1 through 18 3 11 26 50 70 90 110 130 150 170 190 210 230 250 270 290 310 293Columns 19 through 24 237 140 0 0 0 0分析：fdconv函数源代码与第8题一致，对比两个结果可以看出，自己编写的函数长度为24，产生误差的是最后4个样本，这是由于自己编写的函数输入的长度不合适，在其后面随便补了几个0，从而产生几个样本的误差。11）设序列x(n)=(0.8)nR15(n)，计算序列x(n)在单位园上的Chirp-z 变换，并与DFTx(n)的结果进行比较。主程序：clc;n=0:14;x=(0.8).n).*stepseq(0,0,14);y1=czt(x);y2=fft(x,15);subplot(211)stem(n,abs(y1),.);title(Chirp-z变换的图形);subplot(212)stem(n,abs(y2),.);title(DFT变换的图形);实验结果：分析：由实验结果可以看出，两种方法求的结果一致，在单位圆上求Z变换可以直接调用ctz函数。12）设信号x(t)=sin(f1t)+sin(f2t)+sin(f3t)+sin(f4t)+sin(f5t)，其中f1=6Hz，f2=6.5Hz，f3=8Hz和f4=9Hz，f5=10Hz，对信号x(t)进行频率为40Hz 进行抽样，时域抽样400 点。(1) 用Chirp-z 变换计算DFTx(n)；(2) 直接计算DFTx(n)；主程序：clc;N=400;n=0:399;fs=40;xn=sin(6*n*fs)+sin(6.5*n*fs)+sin(8*n*fs)+sin(9*n*fs)+sin(10*n*fs);y1=czt(xn);y2=fft(xn,400);subplo