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数学竞赛培训第一周测验题一、 填空：（本题32分，每空4分。请将最终结果填在相应的横杠上面。）1. 函数在（-，+）上连续，则a = 2 。2. 设函数y = y(x) 由方程所确定，则 。3. 由曲线与x轴所围成的图形的面积A = 。4. 设E为闭区间0，4上使被积函数有定义的所有点的集合，则 。5设摆线方程为则此曲线在处的法线方程为。6。7设L是顺时针方向的椭圆，其周长为l ，则 4l 。8设为曲面介于0ZR的部分，则。二、a，b，c为何值时，下式成立。（本题8分）解：注意到左边的极限中，无论a为何值总有分母趋于零，因此要想极限存在，分子必须为无穷小量，于是可知必有b= 0，当b= 0时使用罗比达法则得到，由上式可知：当时，若，则此极限存在，且其值为0；若a = 1，则。综上所述，得到如下结论：，b = 0，c = 0；或a = 1，b = 0，c = 2。三、设正值函数在上连续，求函数的最小值点。（本题8分）解：注意到：在上，因此，当x 1时，。命：，得，解此方程得到唯一驻点 x = 2。又，当时，；当x 2时，所以在点x = 2处取得极小值，又因为x = 2是唯一的极值点，所以x = 2是的最小值点，最小值为。四、证明。（本题8分）证明：方法一（利用积分估值定理）命，对上式右端的第二个积分，取变换，则，于是注意到：被积函数的两个因子在区间上异号（，），由积分估值定理得知必有I0，即知原不等式成立。方法二（利用积分中值定理）命，由积分中值定理，并在区间上取变换，同时注意到：，得五、求由方程所确定的隐函数的极值。（本题8分）解：由，得，代入原方程解得 故求得驻点为：在处，极小值为在处，极大值为六、设，计算。（本题8分）解：将区域D分成三块：于是七、计算，其中为一连续函数，是平面在第四卦限部分的上侧。（本题8分）解：化为第一类曲面积分求解。设的单位法向量，则其中。故。八、计算曲面积分，其中是曲线绕z轴旋转而成的旋转面，其法线向量与z轴正向的夹角为锐角。（本题10分）解： 旋转曲面的方程为。补充曲面其法线向量与z轴正向相反；和其法线向量与z轴正向相同。设由曲面所围空间区域为，则九、假设神舟宇宙飞船的返回舱距离地面1.5m时，下降速度为14m/s,为平稳软着陆，返回舱底部的着陆缓冲发动机喷出烈焰，产生反推力，为喷焰后下落的距离，使返回舱作减速直线运动，设返回舱质量为2400kg，问k为多大时才能使返回舱着陆时速度为零？（不计空气阻力） （本题10分）解：以地面1.5m处为坐标原点，垂直向下为y轴正方向，由牛顿第
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