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信号与线性系统题解 阎鸿森 第五章 习题答案1. 对下面离散时间周期信号，确定其离散时间傅立叶级数的系数。(a) (b) , 且以6为周期。(c) ,且以4为周期。(d) ,且以12为周期。(e) 如图P5.1(a)所示。 (f) 如图P5.1(b)所示。(g) 如图P5.1(c)所示。 (h) 如图P5.1(d)所示。 （a） (b) (c) (d)解：(a) , N=21 若取，则有： (b) =, ()(c) , () = =即： (d) = = 即： (e) = ; (f) =, (g) =-, ()(h) , 2. 已知周期为8的离散时间信号具有如下傅立叶技术系数，试确定信号。 (a) (b) 如图P5.2(a)所示。(b) (d) 如图P5.2(b)所示。 (a) （b） 解：(a) , , , 即为所求周期信号。 (b) () n= 即为所求周期信号。 (c) 即为所求周期信号。(d) , () () 即为所求周期信号。3. 如图x(n)是以N为周期的实信号，其傅立叶级数系数为，其中均为实数。(a)(b)(a) 证明。进而推出与，与之间的关系。(b) 证明当N为偶数时，是实数，是实数， 。(c) 证明x(n)能够表示为三角函数形式的傅立叶级数，即N为奇数时 N为偶数时 (d) 若，其中,是的相角，证明三角函数形式的傅立叶级数也可以表示为如下形式：N为奇数时： N为偶数时： (e) 如果P5.3所示信号x(n)和y(n)的三角函数形式傅立叶级数为： 试画出z(n)的图形 解： (a) xn是实信号， 而 或写为 令 ，则有，从而有 ， (b) 当N为偶数时，为一整数。 显然， 是一个实数。 (c) 设,由傅立叶级数综合公式有。 当N为奇数时，上式可写为： 当N为偶数时，相应有 (d) 由(c)知，当时，有 N为奇数时： N为偶数时： (e) 而，分别如图PS5.3-1所示，因此yn如图PS5.3-2所示。PS5.3-1PS5.3-24. 已知x(n)是以N为周期得序列，其傅立叶级数表示式为,试用表示下列信号得傅立叶级数系数 (a) (b) (c) (d) 设N为偶数 (e) (假定N为奇数，此时该信号得周期为2N). (f) 解： (a) (b) (c) (d) (k=0,1,2,.N-1) (e) (f) 是以mN为周期的序列， 5. (a) 如果x(n)和y(n)都是以N为周期的，它们的傅立叶级数系数分别为，试推倒离散时间傅立叶级数的调制特性。即证明 ，其中(b) 利用调制特性求下列信号的傅立叶级数表达式，其中x(n)的傅立叶级数系数的。1 2. (c) 如果，y(n)的周期为12，且 求x(n)y(n)的傅立叶级数表达式。 解： a. =xnyn xnyn= , 其中 同样可以证明： b (i) 得： 其余 = (ii) 令， 其中 (c) xn= , , 其余 () ()6. 求下列信号的离散时间傅立叶变换:(a) (b) (c) (d) ) (e) (f) (g) (h) (i) (j) (k) x(n)如图P5.6(a)所示。 (l) x(n)如图P5.6(b)所示(m) x(n)如图P5.6(c)所示 (n) x(n)如图P5.6(d)所示(a) (b)(c)(d)解： (a) (b) (c) = (d) (e) (f) 令 , 则有： (g) = (h) = (i) 如图PS5.5所示。 (j) s (k) (l) (m) xn是以6为周期的序列，因此有 (n) = = = 7. 已知离散时间信号的傅立叶变换为,求信号x(n).(a) (b) (c) (d)(e)(f) (g) 如图P5.7(a)所示(h) 如图P5.7(b)所示解： (a) (b) (c) 如图PS5.7-1所示，在一个周期内可表示为PS5.7-1 (d) () = =(e) (f) = = (g) = (h) 令，其中和如图PS5.15-2所示。 8 已知如图P5.8(a)所示得周期信号，和分别是从中截取一个周期所得到得非周期信号，如图P5.8(b),(c)所示。(a)(b)(c) (a) 求出得离散时间傅立叶级数得系数 (b) 分别求出和。在这里可以看到，由于截取一个周期时，截取得方式不同，因而所得到得非周期信号具有不同得傅立叶变换。 (c) 证明无论怎样截取，下列关系总是成立得： 解：(a) = , (b) = 显然和不同。 (c) 由(a)与(b)可以看出。 又 9. 如果是图P5.9所示信号x(n)的傅立叶变换，不求出而完成下列计算。 5.9a) 求 (b) 求的相位。(c) 求的值。(d) 计算 (e) 计算和。解： (a) , (b) xn+2是一个偶实序列， 而偶实序列的频谱为偶实函数。即 , 其中是xn+2的相位频谱。 (c) (d) (e) (i) 由 Parseval定理有 (ii) 10. 确定图P5.10所示信号中哪些信号的傅立叶变换满足下列条件之一： (a) (b) (c) 存在一个实数a，使得是实函数。 (d) =0 (e) 解： 满足(a)的有b，g。满足(b)的有d，e。 满足（c）的有a b e d f。 满足（d）的有d，b，e，f，g。 满足（e）的有b，c，g11. 如果P5.11(a)所示的是信号x(n)的离散时间傅立叶变换，试用x（n）表示图P5.11中其他傅立叶变换所对应的信号。解： 由调制性质考虑 取可知即为图(b) 易知 即 又 即 (c) (d) (e) (f) 12. 如果离散时间信号x(n)的傅立叶变换如图P5.12所示，请粗略画出下列连续时间周期信号的波形，并加以标注。(a) (b) (c) (d) 解：(a) 。其实部与虚部如图PS5.12-1所示。 图PS5.12-1(b) 如图PS5.12-2所示。 PS5.12-2(c) 如图PS5.12-3所示： PS5.12-(d) 如图，PS5.12-4所示： PS5.12-413. 已知是以8为周期的离散时间方波信号，且 求的，其中 解： 14. 如果与都是以8为周期的序列，且 求与得周期卷积，并求出相应的。 解： 5.15 求下列有限长序列地DFT，并用闭式表示： (a) 。 (b) (c) (d) (e) (f) 解：(a) (b) 由关系 有 (c) (d) 由关系： 有(e) (f) 其中 16. 已知有限长序列地DFT为X(k)，求x(n)=IDFTx(k)。(a) (b) 其中m为正整数且0mN/2.解： (a)(b) 17. 如果x(n)和y(n)都是N=10的有限长序列，且 解：18. 已知x(n)是一个8点的序列，其8点DFT为X(k)，如图P5.18(a)所示。y（n）是一个16点的序列，且 试从图P5.18(b)（d）中选出相当于y(n)的16点DFT的略如果 则在图中找哪一个相当于y（n）的16点DFT?解： (c) (d)19. 证明若x(n)实偶对称，即x(n)=x(N-n)，则X(K)也实偶对称。证明：(1) 实函数 又(2) 20. 如果x(n)实N点有限长序列，和分别实x(n)的圆周共轭偶部和圆周共轭奇部分。即 解：21如果x(n)是N点的序列，它的N点DFT为X(K) (a) 证明当x(n)=-X(N-1-n)时，X(0)0 (b) 证明当N为偶数，且x(n)=x(N-1-n)时，解：(a)要证明,需证明,即需证明 当 N为偶数时, 当N为奇数时, 当N为偶数和奇数时,都有:(b) ,且N为偶数,则: 22如果X(K)是N点序列x(n)的N点DFT, 则X(K)也是一个N点有限长序列。若对X(K)再做DFT运算，得到序列，试用x(n)表示解：上式中：令：k=m, -n=k则 那么 23假定x(n)是有限长序列，当nM解：(a) 先构造序列,然后计算的N点FFT即可. (b) 先将序列添加一系列等于零的点，使得再计算的N点FFT即即可30. 用一个N点复序列的FFT运算可以一次完成两个N点实序列或一个2N点实序列DFT运算。本题讨论这种算法。(a) 假定x(n)和y(n)是两个N点实序列，我们构成复序列 h(n)=x(n)+jy(n)(b) 如果x(n)是一个2N点实序列，将其按奇偶位分组得到两个N点是序列，其中: 再组成N点复序列,试用表示。如何从得到全部的X(k)？解： (a) 由于 故 当时， 且有 31. 有人提出了一种修正的DFT，它实际上是偏离开计算DFT的点来计算离散时间傅立叶变换的样本。也就是说，如果假设N为偶数。（a） 序列的N点修正DFT相当于一个序列的N点DFT,试由构造出。（b） 如果是实序列，则其DFT的所有点并不都是独立的，因为DFT具有共轭对称性。即。因此，当是实序列时，其修正DFT的所有点也不全是独立的，试求出此时中各点间的关系。（c） 令，根据（b）中的结论证明可以从确定出。可以看成一个点的序列的修正DFT,试求出联系与的表示式。由此可以看出，一个实序列的修正DFT可以这样计算，即先由构造一个，然后计算的点修正DFT。（d） 假定都是长度为的序列，分别代表它们的修正DFT，如果 试利用和表示。所得到的的表示式应该象圆周卷积的形式那样（但并不相同）表示成和的某种组合的单重和式。 （e）上面所得的结果也可称为修正圆周卷积。如果时序列和都等于零，试证明和的修正圆周卷积等于和的线性卷积。 解：（a） = (b) (c) 当取偶数时，上式左边对应于序列的偶数点部分，右边对应于序列的奇数点部分，从而可以由序列的偶数点部分获取整个序列，从而由确定出。 因为，所以可以看成的二抽取过程，频域的抽取导致时域的周期延拓。故 （d） 由于可以看成新的序列的DFT，则根据DFT的性质，有： 表示将序列以N为周期延拓后再移位个单位，故：，从而有： = 显然，上式可以看成的某种组合的单重和式，与圆周卷积类似，但又不完全一样。（e） 令，则： 由于时序列和都等于零，故线性卷积仅在0,N-1上有非零、值。故修正圆周卷积等于线性卷积。32. 假设是四个N点实序列，它们的DFT分别为。如果与是圆周偶对称的；与是圆周奇对称的，即： 我们可以通过一个N点复序列的FFT运算来计算上述四个序列的DFT。本题就讨论这种算法。（a）由和构成序列，如果是的DFT,试问如何从恢复和。（b）类似地，可以构成实序列，并将和组合成、复序列。试问如何由求出和，再利用(a)的结果，说明如何从分别求得和。 （c）假定4个序列都是圆周偶对称的，即： 如果将其中按下列方法组成 证明是圆周奇对称的，即： （d）若是的DFT,试利用求得。 （e）利用（c）的方法可以组成点实序列，试确定如何从恢复和。 （f）现在构成复序列，其中： 试确定如何从得到和。应当指出，此时不能得到和。当为偶数时，也不能得到和。 （g）证明不需要任何乘法就可以算出或时的和。解：（a） 的为实数，的为虚数。 故有： （b）构造的圆周共轭偶部和圆周共轭奇部，有： 根据DFT的性质有： 在获得和的值以后，再利用（a）的结论可以获得 和。（c） = 又为圆周偶对称，所以有： 故是圆周奇对称的。（d） (e) ,其中，为圆周偶对称序列，为圆周奇对称序列，则根据DFT的性质有： 再利用（d）的性质可以获得。（f）构造的圆周共轭偶部和圆周共轭奇部，有： 则根据DFT的性质，有:。 又 由（d）知： 当时，； 当且为偶数时也有。故无法得到（g） 当时，故不需要乘法。 当时，也不需要乘法。 对上述结论同样成立。33.如果一个LTI系统的单位脉冲响应为，对下列输入信号求该系统响应y(n)的傅立叶级数表达式：(a) (b) (c) x(n)是周期为6的信号，并且 (d) 解： (a) (b) 令 (c) (d)34. 已知某离散时间LTI系统得单位脉冲响应为，对下列输入信号求该系统得输出响应y(n):(a) (b) (c) (d) 解： (a) (b) (c) =(d) 35. 某离散时间LTI系统的单位脉冲响应为。对下列每一个输入，求该系统的输出。 (a) (b) (c) x(n)为图P5.35所示的方波信号 (d) x(n)等于乘以图P5.35所示的信号。P5.35解： (a) ；同样只有直流分量与基波分量可以通过系统。 (b) (b) ; (c) x(n)的周期N=8，与基波分量可以通过系统。 (d) x(n)如图P5.35-2所示。N=8,；只有直流分量与基波分量可以通过系统。 36. 对下列差分方程所描述的因果LTI系统，确定其逆系统的频率响应，单位脉冲响应和描述逆系统的差分方程。 (a) (b) (c) (d) (e) (f) 解： (a) 逆系统的差分方程： (b) 逆系统的差分方程为：(d) 逆系统的差分方程为： (e) 逆系统的差分方程为： (f) 逆系统的差分方程为： 37. 某离散时间LTI系统如图P5.37(a)所示。其中。和分别如图P5.37(b),(c)所示，如果该系统的输入具有图所示的傅立叶变换，求该系统的输出响应y(n).解：根据图P5.37-1(a)所得： 即 如图PS5.37-1（a）所示。 如图PS5.37-1(b)所示。 = (a)(b)图PS5.37-15.38 (1) 某离散时间系统得输入为x(n),输出为y(n)，它们得傅立叶变换满足一下关系。 (a) 该系统是线性得嘛？为什么？ (b) 该系统是时不变得嘛？为什么？ (c) 如果，求y(n) (2) 如果一个离散时间系统得输入和输出得傅立叶变换满足以下关系： 求出用x(n)表示y(n)得表达式。解： (1) a. 设，则，代入得： 系统是线性得 b. ,代入表达式中得到： c. 当时，；代入式中有 (2) 令，可以看出：当时，即有 而 39. (a)如果一个离散时间LTI系统对输入信号 所产生得输出响应为：求该系统得频率响应，单位脉冲响应以及描述该系统得差分方程。(b) 如果某离散时间LTI系统对输入所产生得响应为，为使该系统产生得输出为，应该给系统输入什么信号？解：(a) (i) (ii) 由可得出差分方程： 图 PS5.39