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欧几里得 1 2直线与球面的的位置关系和球幂定理 白银市第十中学 教师 王开泰 一 圆的定义 在平面内 到定点的距离等于定长的点的集合叫圆 其中定点叫圆心 定长叫半径 二 球面的定义 以半圆的直径所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的集合体叫球体 包围球体的曲面叫做球面 其中半圆的圆心叫球心 半圆的半径叫半径 或者 在空间内 到定点的距离等于定长的点的集合叫球面 其中定点叫球心 定长叫半径 1 直线与球面相交 直线与球面有两个交点 此直线叫做球面的割线 球心到直线的距离小于球的半径r 2 直线与球面相切 直线与球面有且只有一个公共点 这个公共点叫做切点 该直线叫做球面的切线 此时球心到直线的距离等于球的半径r 3 直线与球面相离 直线与球面没有公共点 球心到直线的距离大于球的半径r 过一点引球面的切线 1 过球面上一点做球面的切线有 条 2 过球面外一点做球面的切线有 条 3 过球面内一点呢 思考 过球面外一点P 引球的所有切线有什么性质 由上图可以容易得出 过球面外一点p做球的切线 所有的切线长 切点与p的距离 都相等 它们构成一个圆锥面 归纳 2 2球幂定理 观察下图 想一想我们学过的哪些关于圆的定理 想一想 之前在平面几何中学过切割线定理 割线定理 相交弦定理 这些定理统称为圆幂定理 思考 类比圆幂定理 你会发现哪些结论 探究一 过球面外一点引球面的一条切线和一条割线有什么结论 定理一 从球面外一点P向球面引割线 交球面于Q R两点 再从点P引球面的任一切线 切点为S 则 PS PQ PR 定理1从球面外一点p向球面引割线 交球面与Q R两点 再从点p引球面的任一切线 切点为S 则PS2 PQ PR 证明 如图 连结SQ SR 由于两条相交直线PS RP唯一确定a平面 设平面a与球面的截面的圆心为O 由圆幂定理可知 PS2 PQ PR 探究 二 过球面外一点引球面的两条割线有什么结论 定理二 从球面外一点P向球面引两条割线 他们分别于球面交于Q R S T四点 则 PQ PR PS PT 探究 三 2 过球面内一点做两条直线分别于球面相交有什么结论 定理三 设点P是球面内一点 过点P做两条直线 它们分别于球面交于Q R S T四点 则 PQ PR PS PT 应用 已知过球O外一点P的直线PR交球O与Q R两点 直线PS交球O与S T两点 若PQ 4
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