数学的全面繁荣.ppt

第六节 数学的全面繁荣 一 解析几何的创立二 微积分的诞生三 概率论的建立四 非欧几何学的出现 本节教学目的和要求 1 了解近代资本主义大工业的建立对近代数学的推动作用 2 了解解析几何的创立在数学史上的划时代意义 3 全面认识微积分的发展线索 重点了解牛顿和莱布尼兹各自建立微积分的过程和特点 4 深入把握非欧几何学的创立过程 着重理解科学发展的内在逻辑 近代变量数学发展线索 解析几何非欧几何 拓扑学微积分 牛顿 莱布尼兹 分析类的分支概率统计 变量数学的兴起 数学中的转折点是笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了 在一切理论成就中 未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发现那样被看作人类精神的最高胜利了 如果在某个地方我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩 那正是在这里 恩格斯 一 解析几何的创立 在17世纪 数学科学发生了根本性的转折 这种转折实质上是由社会生产力的急速发展所引起的 数学根本性的转折之一是解析几何的诞生 解析几何的创始人是笛卡儿和费马 他们都对欧氏几何的局限性表示不满 古代的几何过于抽象 过多地依赖于图形 他们代数也批评代数过于受法则和公式的约束 缺乏直观 同时 他们都认识到几何学提供了有关真实世界的知识和真理 而代数学能用来对抽象的未知量进行推理 代数学是一门潜在的方法科学 因此 把代数学和几何学中一切精华的东西结合起来 可以取长补短 这样一来 一门新的科学诞生了 一 解析几何的创立 解析几何学是由法国的费马 1601 1665 和笛卡尔 1596 1650 各自独立创立的 费马把代数学运用于几何学 采用在一个坐标系中以一系列的数字表示一条曲线轨迹的方法 费马的成就在其去世后才发表 费马 笛卡尔 笛卡儿的理论 笛卡儿的解析几何学成就体现在其1637年发表的 方法论 中 以两个思想为基础 一个是坐标思想 另一个是方程与曲线的思想 即两个未知数表示的某个代数方程可以看成平面上的一条曲线 反之 一条曲线可以用曲线上任意点 x y 坐标之间的方程关系来表示 笛卡儿对几何问题应用了代数方法 研究几何轨迹问题 提出在由两条直线构成的平面坐标系里的几何图形都可以转化成一个二元方程 这样平面几何学的问题就都可以用代数学的方法加以处理 解析几何的精华在于把几何曲线用代数方程来表示 同时又用代数的研究方法来研究几何 殊途同归 费马从代数方程出发来寻找其轨迹 笛卡尔则从轨迹出发来寻找其代数方程 是数学发展的殊途同归 过去的数学只能描写一些确定的 不变化的量 解析几何学使得变量的描述成为可能 这是数学发展史上的一次质的飞跃 解析几何出现后不久 微积分也被发现了 可以说 微积分不仅是数学的伟大发现 也为近代科学开辟了光明的道路 微积分不仅是17世纪的伟大发现 而且是世界人类文明史上最为光辉灿烂的发现 二 微积分的诞生 十六 十七世纪科学和生产中面临的大量重要问题 促进了微积分的诞生与发展 微积分的来源是科学发展对数学要求的必然 速度 距离 重心 切线 长度 面积 体积 极值问题等等 速度切线 微分 距离体积 积分 二 微积分的诞生 微积分发展的历史足迹 古希腊时代伟大的数学家 力学家阿基米德 我国古代著名数学家刘徽 祖冲之 祖暅父子等为积分思想的形成和发展做出了重要的贡献 他们的工作领先了欧洲数学家的工作一千多年 16 17世纪是微积分思想发展最为活跃的时期 其杰出的代表有伽利略 开普勒 卡瓦列里 费马 巴罗 等 他们的工作为牛顿 莱布尼兹 GottfriedWilhelmLeibniz1646 1716 创立微积分理论奠定了基础 牛顿的微积分 牛顿在17世纪60年代创立了微积分 他称之为 流数术 其基本原理是把数学中的量看作是由连续轨迹运动产生的 不再看作是由无穷小元素构成的 牛顿使用了无穷小增量 但对这个概念没有给出明确的规定和严格的数学的证明 微分与积分 无穷级数的形式微积分的应用 牛顿求积分 二项式定理 牛顿的微积分 莱布尼兹的微积分 莱布尼兹于1684年发表了微积分成果 他称之为求差的方法和求和的方法 其基本思想是把一条曲线下面的面积分割成许多小矩形 矩形与曲线之间微小的直角三角形的两边分别是曲线的相邻两点的纵坐标和横坐标之差 当这两个差无限减小时 曲线上相邻两点便无限接近 连接这样的两点就得出曲线在该点的切线 就是求差的方法 求差的反面就是求和 莱布尼兹的微积分 微积分发明权之争 牛顿和莱布尼兹关于微积分发明权之争导致英国数学家与大陆数学家之间的对峙 学术上形成门户之见 严重地妨碍了科学的进步 应引以为鉴 牛顿和莱布尼兹的方法都是建立在一个未加严格定义的无穷小增量的基础之上 尽管该方法在应用中非常有效 但其数学基础并不牢固 直到19世纪法国柯西 1789 1857 和德国维尔斯特拉斯 1815 1897 等人给出 极限 概念 才为微积分奠定了严格的基础 柯西 维尔斯特拉斯 微积分的伟大意义 1 微积分改变了数学的研究对象 方式和方法 带来了数学空前和持久的繁荣昌盛 显示了数学内部的辨证统一的深刻哲理 2 推动了科学技术的发展 有了微积分 它就成为了物理学的基本语言 其他如力学 天文学 化学等学科都得到了无限的推动力 3 对人类物质文明作出了巨大贡献 数学方法的应用和更新 通过其他学科对人类的进步产生了前所未有的作用 三 概率论的建立 概率论的建立首先是费马和他同时代的帕斯卡的功绩 他们通过对游戏和赌博中掷骰子的考察 从大量的偶然性事件中寻求其统计上的必然性 从而创立了概率论 四 非欧几何学的出现 为了消除欧氏几何学第五公设的 疵点 英国高斯 俄国人罗巴切夫斯基 匈牙利人波耶 德国人黎曼分别创立了非欧几何学 打破了欧氏几何的一统天下 拓宽和深化了人们对空间的认识 公理体系 一组公理体系应当具有以下三个性质 1 完备性 就是说使整个学说中要用的一切事物都完全可归结到公理 使之不存在任何默许的其他假定 2 相容性 从公理不能推出两个互相矛盾的定理 3 独立性 任何一个公理都不是另一个公理的推论 欧氏几何的公理体系出现在欧几里德的 集合原本 中 在2200年之后 希尔伯特在 几何基础 加以完善 其间 许多数学家作了许多公理体系的完备性工作 然而 令人放心不下的是该公理体系中的第五公理 即平行公理的独立性问题 因为人们发现即使欧几里德本人也尽量避免使用它 所以人们开始从三个方面研究平行公理 1 试图给出新的平行线定义以绕开这个困难 2 试图用比平行公理缺点更少的其他公理取代它 等价或包含 3 试图用其他公里推出它 第三个问题得到的最多的研究 但是毫无结果 第五公设的证明 非欧几何的萌芽 在公设 公理基础上建立起来的欧几里德几何学被公认为是数学严格性的典范 但是数学家们同时也感到欧氏几何中存在着某种瑕疵 其中最让数学家们感到不大舒服的是第五公设 第五公设所说明的事实不象其他几条那样显而易见 缺少作为一条公设所必须有的自明性 人们不怀疑其真实性 但怀疑其作为公设的资格 因此许多人试图来证明第五公设 非欧几何的创立 1792年高斯 CarlFriedrichGauss1777 1855 十五岁时就开始考虑第五公设问题 1816年左右他已获得了非欧几何的基本思想 确信存在一种与欧氏几何不同的几何学 创始人 但是高斯有一个习惯 在任何情况下 他都把他的结果保密一段时间 所以数学史上认为首先确立非欧几何的是另外两位数学家罗巴切夫斯基和波耶 高斯这样做或许还出于别的考虑 主要是为了少招徕愚蠢的偏见 因为他说过 它的公开将引起愚人的叫喊 第一个公开发表非欧几何论文的罗巴切夫斯基的确付出了相当大的代价 罗巴切夫斯基 罗巴切夫斯基NikolaiIvanovichLobachevskii 1793 1856 大约在1815年开始研究第五公设问题 罗巴切夫斯基以深刻的洞察力提出了导致几何学革命的新思想 他大胆预言 由第五公设的否命题出发而得到的结果代表着一种新的几何学 非欧几何的诞生及其阻力 1826年2月11日罗巴切夫斯基在喀山大学物理数学系会议上宣读了题为 几何学原理简述及平行线定律的严格证明 的论文 在否定第五公理的同时 假设其反面之一 过已知直线外一点 可作多于一条的直线与已知直线平行 建立了一门新的几何学 这是过去2000年以来的重大突破 但是在一般人心目中 甚至数学家的心目中 欧几里德堡垒是如此坚固 罗巴切夫斯基的工作得到的是许多数学大家的嘲笑 讽刺 波耶 1802 1860 J nosBolyai 非欧几何的另一位创始人是匈牙利数学家波耶 就读于维也纳工学院的波耶醉心于第五公设问题 在1820年左右他相信建立一套新几何学是完全可能的 波耶和罗巴切夫斯基所描述的非欧几何习惯上称为罗巴切夫斯基几何或双曲几何 罗巴切夫斯基几何的基本特征 1 承认空间是弯曲的 任何直线都是曲线 任何平面都是曲面 2 其所描述的空间曲率处处等于一个非零常数 就是说空间处处一样弯 并且是均匀的 3 认为平面上过一点可以作无数条直线和一已知直线不相交 它们和已知直线都不能保持同一距离 4 三角形三内角之和小于180度 5 圆的周长与半径不成比例 而是比半径增长得快 黎曼BernhardRiemann1826 1866 非欧几何在创立后三 四十年间完全被学术界忽视 直到十九世纪中期 黎曼的工作导致了突破 黎曼空间 黎曼在高斯的指导下进行研究 黎曼认为 非欧几何不仅仅只有一种 他推广了曲面的高斯曲率 建立起黎曼空间的曲率概念 在一般黎曼空间中 空间每一点的曲率是不同的 也就是说黎曼空间本质上是不均匀的 黎曼曲率为常数 在黎曼曲率为常数的特殊情况下 空间分为三种类型 1 零曲率空间 即欧氏几何空间 2 负曲率空间 即罗氏几何空间 3 正曲率空间 即狭义的黎曼几何空间或称椭圆几何空间 欧氏几何和罗氏几何成了更为一般的黎曼几何的特例 黎曼几何的特征 在黎曼几何中欧几里德的第五公设被替换为 通过已知直线外一点 不能画一条直线与已知直线平行 作为推论 在黎曼空间中 通过两点可以画无穷多条直线 不存在无限长直线的概念 三角形三内角之和总大于180度 只有一位听众懂 1854年黎曼做了题为 关于作为几何学基础的假设 的就职讲演 在这个讲演中正式提出和建立了黎曼几何 讲演题目是高斯指定的 他的听众中除了年迈的高斯之外没有一个人听得懂他在说些什么 黎曼的讲演在他死后两年即1868年出版 非欧几何地位的确立 同一年 1868 意大利数学家贝尔特拉米 Beltrami 1835 1899 给出了罗氏几何的一个欧几里德解释 克莱因 Klein 1849 1925 在1870年给出了另一个更直观的模型 使得原来似乎复杂和难以接受的思想变得易于理解了 以贝尔特拉米和克莱因的工作为契机 非欧几何在数学领域的地位才牢固地确立起来 1 解决了平行公理的独立性问题 推动了一般公理体系的独立性 相容性 完备性问题的研究 促进了数学基础这一更为深刻的数学分支的形成与发展 2 证明了对公理方法本身的研究能推动数学的发展 理性思维和对严谨 逻辑和完美的追求 推动了科学的进步 在数学内部 各分支纷纷建立了自己的公理体系 包括被公认为最困难的概率论也在20世纪30年代建立自己的公理体系 实际上公理化的研究又孕育了元数学的产生和发展 非欧几何的产生的重大意义 3 非欧几何实际上预示了相对论的产生 就象微积分预示了人造卫星一样 非欧几何与相对论和汇合是科学史上划时代的事件 人们都认为是爱因斯坦创立了相对论 但是 也许爱因斯坦更清楚 是他和一批数学家等共同的工作 出现动钟延缓 动尺缩短 时空弯曲等现象 这些都是非欧几何与相