解答题规范训练(四).doc

温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。解答题规范训练(四)立体几何(建议用时:45分钟)1.(2014浙江高考)如图,在四棱锥A-BCDE中,平面ABC平面BCDE;CDE=BED=90,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=2.(1)证明:AC平面BCDE.(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值.【解析】(1)连接BD,在直角梯形BCDE中,DE=BE=1,CD=2,所以BD=BC=2.由AC=2,AB=2,得AC2+BC2=AB2,所以ACBC,又平面ABC平面BCDE,平面ABC平面BCDE=BC,所以AC平面BCDE.(2)过点E作EMCB交CB的延长线于点M,连接AM.又平面ABC平面BCDE,所以EM平面ACB.所以EAM是直线AE与平面ABC所成的角.在RtBEM中,EB=1,EBM=45,所以EM=22=MB.在RtACM中,AM=CM2+AC2=2+222+(2)2=262.在RtAEM中,tanEAM=EMAM=22262=1313.【加固训练】(2014烟台模拟)在四棱锥V-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD.(1)如果P为线段VC的中点,求证:VA平面PBD.(2)如果正方形ABCD的边长为2,求三棱锥A-VBD的体积.【解析】(1)连接AC与BD交于点O,连接OP,因为ABCD是正方形,所以OA=OC,又因为PV=PC,所以OPVA,又因为PO平面PBD,VA平面PBD,所以VA平面PBD.(2)在平面VAD内,过点V作VHAD,因为平面VAD平面ABCD.所以VH平面ABCD,所以VA-VBD=VV-ABD=13SABDVH=131222322=233.2.(2014南昌模拟)如图所示的几何体ABCDFE中,ABC,DFE都是等边三角形,且所在平面平行,四边形BCED是边长为2的正方形,且所在平面垂直于平面ABC.(1)求几何体ABCDFE的体积.(2)证明:平面ADE平面BCF.【解析】(1)取BC的中点O,ED的中点G,连接AO,OF,FG,AG.因为AOBC,且平面BCED平面ABC,所以AO平面BCED,同理FG平面BCED,因为AO=FG=3,所以VABCDFE=13432=833.(2)由(1)知AOFG,AO=FG,所以四边形AOFG为平行四边形,故AGOF,又DEBC,所以平面ADE平面BCF.【加固训练】(2014昆明模拟)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为CC1,AD的中点,F为BB1上的点,且B1F=3BF.(1)证明:EF平面ABC.(2)若AC=22,CC1=2,BC=2,ACB=3,求三棱锥F-ABD的体积.【解析】(1)取线段CD的中点H,并连接EH,FH,则EHAC,C1H=3HC,因为B1F=3BF,所以FHBC.因为EHFH=H,BCAC=C,所以平面HEF平面ABC,因为EF平面HEF,所以EF平面ABC.(2)已知AC=22,BC=2,ACB=3,由余弦定理知AB2=AC2+BC2-2ACBCcosACB,解得AB=6,而AB2+BC2=AC2,所以ABBC.因为ABBB1,BB1BC=B,所以AB平面BFD.VF-ABD=VA-BFD=13122126=36.3.(2014济南模拟)如图,四棱锥E-ABCD中,面ABE面ABCD,底面ABCD是直角梯形,侧面ABE是等腰直角三角形,且ABCD,ABBC,AB=2CD=2BC=2,EAEB.(1)判断AB与DE的位置关系.(2)求三棱锥C-BDE的体积.(3)若点F是线段EA上一点,当EC平面FBD时,求EF的长.【解析】(1)取AB中点O,连接EO,DO,因为EB=EA,所以EOAB.因为四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,ABBC,所以四边形OBCD为正方形,所以ABOD.所以AB平面EOD.所以ABED.(2)由EOAB,面ABE面ABCD易得EO平面ABCD,所以,VC-BDE=VE-CBD=1312111=16.(3)连接AC,BD交于点M,面ACE面FBD=FM.因为EC平面FBD,所以ECFM.在梯形ABCD中,有DMC与BMA相似,可得MA=2MC,所以AF=2FE.所以,EF=13EA=23.【讲评建议】讲解本题时,请提醒学生注意以下几点(1)不要忽视直观猜想的作用:本题(1)判断AB与DE的位置关系,直观上看不可能平行,应是垂直关系,沿此思路创造条件即可.(2)重视“等体积转换”:此转换仅限于同一图形中顶点与底面的转变,否则易出错.(3)注意平行关系的等价转换:本题(3)中线面平行线线平行,从而确定出F的位置,否则问题无法求解.4.直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=5,AC=4,BC=3,AA1=4,D是AB的中点.(1)求证:ACB1C.(2)求证:AC1平面B1CD.【证明】(1)在ABC中,因为AB=5,AC=4,BC=3,所以ACBC.因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以CC1AC.因为BCCC1=C,所以AC平面BB1C1C.又B1C平面BB1C1C,所以ACB1C.(2)连接BC1,交B1C于E,连接DE,因为直三棱柱ABC-A1B1C1,所以侧面BB1C1C为矩形,且E为BC1中点.又D是AB的中点,所以DE为ABC1的中位线,所以DEAC1,因为DE平面B1CD,AC1平面B1CD,所以AC1平面B1CD.【加固训练】(2014西安模拟)如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是矩形,SA底面ABCD,SA=AD,点M是SD的中点,ANSC且交SC于点N.(1)求证:SB平面ACM.(2)求证:平面SAC平面AMN.【证明】(1)连接BD,交AC于点O,连接MO,因为ABCD为矩形,所以O为BD中点,又M为SD中点,所以MOSB.因为MO平面ACM,SB平面ACM,所以SB平面ACM.(2)因为SA平面ABCD,所以SACD,因为ABCD为矩形,所以CDAD,且SAAD=A,所以CD平面SAD,所以CDAM.因为SA=AD,M为SD的中点,所以AMSD,且CDSD=D,所以AM平面SCD,所以AMSC,又因为SCAN,且ANAM=A,所以SC平面AMN,因为SC平面SAC,所以平面SAC平面AMN.5.(2014长沙模拟)某粮仓是如图所示的多面体,多面体的棱称为粮仓的“梁”.现测得底面ABCD是矩形,AB=16米,AD=4米,腰梁AE,BF,CF,DE分别与相交的底梁所成角均为60.(1)请指出所有互为异面的且相互垂直的“梁”,并说明理由.(2)若不计粮仓表面的厚度,该粮仓可储存多少立方米粮食?【解析】(1)EF与AD,EF与BC,DE与BF,AE与CF.理由:由已知,有EFAB,因为ABAD,所以EFAD.同理,有EFBC.过点E作EKFB交AB于点K,则DEK为异面直线DE与FB所成的角,因为DE=FB=4,AK=4,DK=42,所以DEK=90,即DEBF,同理AECF.(2)过点E分别作EMAB于点M,ENCD于点N,连接MN,则AB平面EMN,所以平面ABCD平面EMN,过点E作EOMN于点O,则EO平面ABCD.由题意知,AE=DE=AD=4.AM=DN=4cos60=2,EM=EN=23,所以O为MN中点,所以EO=22,