【优化方案】江苏省高考数学总复习 第7章第八节课件 理 苏教版.ppt

第八节角的向量解法 第八节角的向量解法 考点探究 挑战高考 考向瞭望 把脉高考 双基研习 面对高考 双基研习 面对高考 1 异面直线所成角公式 设a b分别为异面直线l1 l2上的方向向量 为异面直线所成的角 则cos cos 2 线面角公式 设l为平面 的斜线 a为l的方向向量 n为平面 的法向量 为l与 成的角 则sin cos 3 面面角公式 设n1 n2分别为平面 的法向量 二面角为 如图 1 则 或 需要根据具体情况判断相等或互补 其中cos 设n1 n2为两平面内二面角棱的法向量 二面角为 如图 2 则 或 需要根据具体情况判断相等或互补 其中cos 思考感悟直线与平面所成的角和平面的法向量与直线的方向向量所成的角有什么关系 答案 1 考点探究 挑战高考 用向量方法求解两异面直线所成的角 简单 易掌握 其基本程序是选基底 表示两直线方向向量 计算数量积 若能建立空间直角坐标系 则更为方便 如图 长方体abcd a1b1c1d1中 ab bc 2 aa1 1 e h分别是a1b1和bb1的中点 求 1 eh与ad1所成的角的余弦 2 ac1与b1c所成的角的余弦 利用空间向量方法求直线与平面所成的角 可以有两种办法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 二是通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 思路分析 利用正三棱柱的性质 建立适当的空间直角坐标系 写出有关点的坐标 求角时有两种思路 一是由定义找出线面角 取a1b1的中点m 连c1m 证明 c1am是ac1与面a1b所成的角 另一种是利用平面ab1的法向量n x y 求解 利用空间向量方法求二面角时 注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通过平面的法向量来求 设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 n1 n2 或 n1 n2 注意 利用空间向量方法求二面角时 注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 思路分析 由于图形为正四棱锥 因而建立空间直角坐标系 用坐标法解答 名师点评 从本例的解答过程中可以发现 坐标法重在建系 找点和计算这三个方面 因此 选取合适的坐标系为找点的坐标带来方便 更为下一步的计算提供了前提 而寻找出点的坐标是解题的中间环节 点的坐标一旦出现错误 下面的计算也就失去了意义 因而应找准点的坐标 所以这几个环节应 仔细 为之 方法技巧用空间向量求解角的方法步骤如下 1 若异面直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 它们所成的角为 则cos cos v1 v2 2 利用空间向量方法求直线与平面所成的角 可以有两种办法 一是分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 二是通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 取其余角就是斜线和平面所成的角 3 利用空间向量方法求二面角 也可以有两种办法 一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小 二是通过平面的法向量来求 设二面角的两个面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 n1 n2 或 n1 n2 失误防范利用空间向量坐标法求线面角时 计算过程中的角与所求线面角不相等 易出错 而求二面角时 两平面的法向量的夹角也并不一定就是所求的二面角的大小 这与法向量的方向有关 考向瞭望 把脉高考 通过近几年的江苏高考试题统计分析可以看出 以简单几何体为载体的线面位置关系的论证 角与距离的探求是常考常新的热门话题 空间向量在研究上述问题中发挥着很大的作用 特别是研究平行问题 垂直问题 角的问题及距离问题等 填空题以考查计算型问题为主 而解答题则着重考查逻辑推理型问题 当然 二者均应以正确的空间想象为前提 随着新课程改革的深入 立体几何考题正朝着 多思考 少计算 的方向发展 也就是说 对于既可使用综合法 又可使用向量法或坐标法求解的题目 使用向量法或坐标法可以降低题目的难度 预测在2012年的高考中仍会以考查线面角 二面角为主 考查空间向量法的应用 本题满分14分 2010年高考天津卷 如图 在长方体abcd a1b1c1d1中 e f分别是棱bc cc1上的点 cf ab 2ce ab ad aa1 1 2 4 1 求异面直线ef与a1d所成角的余弦值 2 证明 af 平面a1ed 3 求二面角a1 ed