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连续小波变换中允许小波的对偶小波 张孝忠 周家云 第一作者 男 26 岁 硕士 曲阜师范大学数学系 273165 山东省曲阜市 摘要 研究了连续小波变换中允许小波的对偶小波 给出了对偶小波的等价条件以及允许小波的对偶 小波的表示 关键词 连续小波变换 允许小波 对偶小波 中图分类号 O174 2 文献标识码 A 文章编号 1001 5337 2003 01 0015 04 1 引 言 连续小波变换是小波分析的基础之一 在诸如文献 1 3 等关于小波分析的著作中 从不同角度做了介 绍 本文着重研究了 L 2 R 上连续小波变换的对偶小波 给出了允许小波是对偶小波的等价条件 最后给出 允许小波的对偶小波的表示 在本文中 R 表示实数集 R R 0 C 是复数集 L 2 R R a 2dbda 表示左不变测度空间 R R a 2dbda 上的平方可积函数的全体 如果 f L 2 R 称 f 是f 的 Fourier 变换 其中 f f x e i 2 x dx 如果 f L 2 R b R a R 令 Tb L 2 R L 2 R f Tbf 其中 Tbf x f x b 令 Da L 2 R L 2 R f Daf 其中 Daf x a 1 2f x a 令 Eb L 2 R L 2 R f Eaf 其中 Tbf x ei2 bxf x 易知 Tb Da Eb是酉算子 且 T bf E bf D af D1 af E bf Tbf 记 fa b TbDaf 设 h L 2 R h 0 令 Wh L 2 R L 2 R R a 2dbda f Whf 其中 Whf a b f ha b f x a 1 2 h x b a dx 1 在文献 1 2 中有如下结论 第 29卷 第 1 期 2003 年 1 月 曲阜师范大学学报 Journal of Qufu Normal University Vol 29 No 1 Jan 2003 收稿日期 2002 04 18 基金项目 国家自然科学基金 19871048 和校科研基金 命题 1 1 对于 f L 2 R W hf L 2 R R a 2dbda 的充要条件是 Ch R h y 2 y dy 2 定义 1 2 设 h L 2 R h 0 如果满足 2 式 那么称 h 是允许小波 定义 1 3 设 h L 2 R 是允许小波 那么称 Whf 是f 的连续小波变换 其频域形式是 Whf a b f ha b f a 1 2 h a ei2 b d 3 命题 1 4 1 设 h L 2 R 是允许小波 那么 f g L2 R 有 Ch 推论 1 5 设 h L 2 R 是允许小波 那么 Wh 是线性有界算子 证明 由 1 式易知 Wh是线性的 f L 2 R 由命题 1 4 知 2 W h1Wh2 I 3 W h2Wh1 I 4 f L 2 R f x R R Wh1f a b a 1 2h2 x b a a 2dbda 5 f L 2 R f x R R Wh2f a b a 1 2h1 x b a a 2dbda 证明 显然 2 3 再由 4 式知 2 4 3 5 易证 R h1 a h2 a a da R h1 y h2 y y dy R 16 曲阜师范大学学报 自然科学版 2003 年 1 3 类似于命题 1 4 的证明 f g L 2 R W h1Wh2f g Wh 2f Wh1g R R Wh2f a b Wh1g a b dbda a2 R R f a 1 2h2 a ei2 b d g a 1 2h1 a e i2 b d dbda a2 R R Fa e i2 b d Ga e i2 b d dbda a2 R R Ga b Fa b dbda R Ga Fa da a2 R Ga Fa da a2 R R Ga Fa d da a2 R Rf a 1 2h2 a g a 1 2 h2 a d da a2 Rf g d R h1 a h2 a a da R h1 y h2 y y dy f g Ch 1 h2 f g f g 其中 Fa a 1 2f h2 a Ga a 1 2g h1 a 因此 W h1Wh2f f 即 W h1Wh2 I 3 1 f g L 2 R 在 1 3 的证明中 得到 W h2Wh1f g R h1 y h2 y y dy f g 有 f W h2Wh1f Ch1 h2f 故 Ch1 h2 1 因此 h1与 h2是互为对偶小波 推论 2 2 设 h1 h2 L 2 R 是允许小波 如果 Ch1 h2 R h1 y h2 y y dy 0 那么 C 1 h1 h2h1与 h2是互为对偶小波 定义 2 3 设 h1 h2 L 2 R 是允许小波 如果 Ch1 h2 R h1 y h2 y y dy 0 那么称 h1与 h2不交 与 h1不交的允许小波记作 h 1 定理 2 4 设 hi L 2 R i 1 2 n 是允许小波 a1 a2 an C 且不全为 0 如果 h1 h2 hn两两不交 那么 h n i 1 aihi是允许小波 且 Ch n i 1 ai 2 Chi 证明 Ch R h y 2 y dy R n i 1 aihi y n j 1 ajhj y y dy R n i 1 n j 1 aiajhi y hj y y dy n i 1 n j 1 aiaj R hi y hj y y dy n i 1 ai 2 R hi y 2 y dy n i 1 ai 2 Chi 17第 1期 张孝忠等 连续小波变换中允许小波的对偶小波 类似于定理 2 1 容易证明 定理 2 5 设 h1 h2 L 2 R 是允许小波 那么下列等价 1 h1与 h2不交 即 Ch1 h2 0 2 W h1Wh2 W h2Wh1 0 3 ran Wh1 ran Wh2 4 f L 2 R R R Wh1f a b a 1 2h2 x b a a 2dbda 0 5 f L 2 R R R Wh2f a b a 1 2h1 x b a a 2dbda 0 定理 2 6 设 h L 2 R 是允许小波 那么 h 的对偶小波全体为D h L 2 R h C 1 hh h 或 h C 1 hh 证明 h D 如果 h C 1 hh 那么 h 是 h 的对偶小波 如果 h C 1 hh h 易知 h 是允许小 波 且 Ch h R h y h y y dy R h y C 1 h h y h y y dy C 1 h R h y 2 y dy R h y h y y dy 1 即 h 是h 的对偶小波 设 h L 2 R 是 h 的对偶小波 即 h 是允许小波且Ch h 1 如果 h C 1 hh 那么 h D 如果 h C 1 hh 令 h h C 1 hh 那么 h 0 易知 h 是允许小波 且 Ch h R h y h y y dy R h y h y C 1h h y y dy R h y h y y dy C 1 h R h y 2 y dy 0 即 h 与 h 不交 故 h D 参考文献 1 Daubechies I Ten lectures on wavelets LBMS NSF regional conference series in Applied Math M Philadelphia 1992 17 52 2 刘贵忠 邸双亮 小波分析及其应用 M 西安 西安电子科技大学出版社 1997 97 102 3 程正兴 小波分析算法及其应用 M 西安 西安交通大学出版社 1998 31 42 DUAL WAVELET OF ADMISSIBLE IN THE CONTINUOUS WAVELET TRANSFORM ZHANG Xiao zhong ZHOU Jia yun Department of Mathematics Qufu Normal university 273165 Qufu Shandong PRC Abstract The dual wavelet of admissible wavelet in the continuous wavelet transform is explored and the e quivalent conditions