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回顾与思考 第四章相似图形 一 1两条线段的比2成比例的定义和性质 什么叫做两条线段的比呢 如果选用一个长度单位量得两条线段a b的长度分别为m n 那么两条线段的比a b m n或 其中a b分别叫做这个线段比的前项和后项 运用两条线段的比要注意 1 两条线段比是一个正数 它没有单位 2 两条线段比与所选的长度单位无关 3 求两条线段比时 如果单位不同 那么必须先化成同一单位 再求它们的比 生活常识 同一时刻物高与影长成比例 图上长度与实际长度的比通常称为比例尺 2成比例的定义和性质 比例的基本性质 比例的合比性质 比例的等比性质 其它性质 反比性质 更比性质 如果 那么称线段AB被点C黄金分割 点C叫做线段AB的黄金分割点 AC与AB的比叫做黄金比 二 黄金分割 一条线段有两个黄金分割点 长 短 全三个量中 有关黄金分割中的计算 知一求二 3 实践证明 节目主持人站在舞台的黄金分割点处音响及审美效果最佳 如图所示 假设线段AB为舞台的前沿 你能为主持人找出一个最佳位置吗 分析 作图的关键在于作出 作法 A E D C B 2 连接AD 3 在AB上截取AC AE 在DA上截取DB DE 点C就是所求作的最佳位置 点C是线段AB的黄金分割点 三 相似三角形的定义 判定 性质 1 定义 三个角对应角相等 三条边对应成比例的两个三角形叫相似三角形 2 判定 两角相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 4 斜边直角边对应成比例的两个三角形相似 5 平行于三角形一边的直线截其它两边 或其延长线 所截得的三角形与原三角形相似 2 判定 两个代表性的相似三角形基本模型 A 型和 X 型 若 ADE ABC 则 DAE BAC ADE ABC AED ACB 若 ABC DEC 则 A D B E ACB DCE 如图 直角三角形斜边上的高分直角三角形所成的两个直角三角形与原三角形相似 即 有三对相似三角形 ACD ABC CBD ABC ACD CBD 让数学模型 双垂直 三角形 成为你的好友 根据上面的结论可得到相等的角或对应成比例的线段 常用的成比例的线段有 如 常用的相等的角有 A DCB B ACD 相似三角形周长的比等于相似比 相似三角形面积的比等于相似比的平方 3 性质 相似三角形对应高的比 对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比 相似三角形对应角相等 对应边成比例 四 相似多边形的性质 相似多边形对应高的比 对应角平分线的比 对应中线的比 对应周长的比都等于相似比 对应对角线的比等于相似比 对应三角形相似 相似比等于相似比 四 相似多边形的性质 相似多边形1 面积的比等于相似比的平方 2 对应三角形面积的比等于相似多边形的相似比的平方 相似的实际应用 测旗杆的高度 其它 利用阳光下的影子 24m 利用标杆 AC AG CG 3m 21 75m 1 45m AG DF 利用镜子的反射 24 8m 如果两个图形不仅是相似图形 而且是每组对应点所在的直线都经过同一个点 那么这样的两个图形叫做位似图形 这个点叫做位似中心 这时的相似比又称为位似比 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 四 位似图形 图形放缩的方法 坐标变换法 横纵坐标都应 方格纸中 位似放缩法 A图X图原理 皮筋放大法 属于位似放缩法的A图原理 5 计算机 A 9 在平面直角坐标系中描出点A 4 2 B 2 4 C 0 4 D 0 2 E 2 0 顺次连接点A B C D E A 得到一个五边形ABCDE 2 将横坐标和纵坐标都除以2 得到一个新的五边形 这两个五边形相似吗 位似吗 B C D E A B C D E 除以2后得到的新五边形与原五边形相似 作放大与缩小图形的方法 坐标变换法 除以2后得到的新五边形与原五边形位似 1 将一个等腰直角三角形放大 使放大后的边是原三角形对应边的3倍 并分别确定放大前后对应斜边的比值 对应直角边的比值 解 放大前后对应斜边的比值是1 3 对应直角边的比值是1 3 2 四条线段a b c d成比例 其中b 3cm c 2cm d 6cm 求线段a的长 解 四条线段a b c d成比例 6a 6 a 1 注意强调顺序 3 如图 在长8cm 宽6cm的矩形中 截去一个矩形 图中阴影部分所示 使留下的矩形与原矩形相似 那么留下的矩形面积为多少 解 由留下的矩形与原矩形相似 x 48 6 8 2 4 如图 将矩形ABCD沿两条较长边的中点的连线对折 得到的矩形ADFE与矩形ABCD相似 确定矩形ABCD长与宽的比 解 矩形ADFE与矩形ABCD相似 由折叠的矩形与原矩形相似 5 公园中的儿童游乐场是两个相似三角形地块 相似比为2 3 面积的差为30平方厘米 他们的面积和为多少 解一 设小三角形的面积为S1大三角形的面积为 S1 30 因为两个三角形相似 6 如果两个相似多边形面积的比为4 9 那么这两个相似多边形对应边的比是多少 解 根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得 这两个相似多边形对应边的比是2 3 7 如图 能保证使 ACD与 ABC相似的条件是 1 AC CD AB BC 2 CD AD BC AC 解 已知 A是两个三角形的公共角 要使 ACD与 ABC相似 就要使 ACD中 A的两边与 ABC中的 A的两边对应成比例 即 AD AC AC AB 应该选 C C 课本16题 165页 ABC ADE 除了他们的对应边成比例以外 还有那些边成比例 请写出比例式 1 如图 D E分别是三角形ABC边AB和AC上的点 且DE BC 你能找出图中的相似三角形吗 并写出几组成比例线段吗 解 DE BC ADE B AED C ADE ABC ADE ABC 课本21题 168页 2 若D E为AB边的中点 则线段AE和EC有什么关系 解 DE BC ADE B AED C ADE ABC AE EC AE EC 总结 在三角形中 有了平行 有了等分 必然还有等分 课本21题 168页 3 在梯形ABCD中 AD BC E为AB边的中点 且EF BC 线段DF和FC有什么关系 解1 连接AC交EF于H FE BC AEF B AHE ACB AEH ABC A B C D E F H DF FC 课本21题 168页 3 在梯形ABCD中 AD BC E为AB边的中点 且EF BC 线段DF和FC有什么关系 A B C D E F H 法 课本21题 168页 4 直线GH DE BC 若点D为GB的中点 则线段HE和EC有什么关系 总结 有了平行 有了等分 必然还有等分 课本21题 168页 1 矩形ABCD的对角线AC上任意取点P 过P作EF BC GH DC EF和GH把矩形ABCD分成四个小矩形 设计的目的是 使左上角矩形和右下角矩形相似 这个设计相似吗 如果能 请说出理由 课本22题 168页 2 若过对角线上的点P画两