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第五章相交线与平行线复习 知识结构 相交线 两条直线相交 邻补角 对顶角 垂线及其性质 点到直线的距离 两条直线被第三条直线所截 同位角 内错角 同旁内角 平行线 平行公理 平移 判定 性质 对顶角相等 邻补角互补 A B C D O 在解决与角的计算有关的问题时 经常用到代数方法 例2 已知直线AB CD EF相交于点O O A B C D E F 1 垂线的定义 两条直线相交 所构成的四个角中 有一个角是90 时 就说这两条直线互相垂直 其中一条直线叫做另一条直线的垂线 它们的交点叫垂足 2 垂线的性质 性质 1 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 性质 2 直线外一点与直线上各点连结的所有线段中 垂线段最短 简称 垂线段最短 3 点到直线的距离 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度 叫做点到直线的距离 4 垂线是直线 垂线段特指一条线段 是图形 点到直线的距离是指垂线段的长度 是指一个数量 是有单位的 在如图所示的三角形中 说出下列点到线段的距离分别是哪一条线段的长度 点C到线段AB的距离 点A到线段BC的距离 点B到线段AC的距离 AC的长度 CD的长度 BC的长度 BD的长度是点 到线段 的距离 B CD 你能量出点C到AB的距离 点B到AC的距离 点A到BC的距离吗 A D C B E F 拓展应用 如图 要把水渠中的水引到水池C中 在渠岸的什么地方开沟 水沟的长度才能最短 请画出图来 并说明理由 C 在渠岸的P处开沟 水渠的长度最短 理由 垂线段最短 P A B C D O E 此题需要正确地应用 对顶角 邻补角 垂直的概念和性质 O A D C B 由垂直先找到的角 再根据角之间的关系求解 平行线的概念 在同一平面内 不相交的两条直线叫做平行线 2 两直线的位置关系 在同一平面内 两直线的位置关系只有两种 1 相交 2 平行 3 平行线的基本性质 1 平行公理 平行线的存在性和唯一性 经过直线外一点 有且只有一条直线与已知直线平行 2 推论 平行线的传递性 如果两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也互相平行 垂直是相交的特殊情况 判定两直线平行的方法有三种 1 定义法 在同一平面内不相交的两条直线是平行线 2 传递法 两条直线都和第三条直线平行 那么这两条直线也平行 3 三种角判定 3种方法 同位角相等 两直线平行 内错角相等 两直线平行 同旁内角互补 两直线平行 在这五种方法中 定义一般不常用 读下列语句 并画出图形 点p是直线AB外的一点 直线CD经过点P 且与直线AB平行 直线AB CD是相交直线 点P是直线AB外的一点 直线EF经过点P与直线AB平行 与直线CD交于E P A B C D C D A B P E F 平行线的性质 平行线的判定 两直线平行 条件 结论 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 条件 同位角相等 内错角相等 同旁内角互补 结论 两直线平行 夹在两平行线间的垂线段的长度 叫做两平行线间的距离 A B C D E F 1 2 3 4 5 6 如图 填空 并注明理由 1 1 2 已知 3 4 已知 5 6 已知 5 AFE 180 已知 AB FC ED FC 已知 AB ED 内错角相等 两直线平行 AF BE 同位角相等 两直线平行 BC EF 内错角相等 两直线平行 AF BE 同旁内角互补 两直线平行 AB ED 平行于同直线的两条直线互相平行 平行线的判定应用练习 综合应用 A B C D E F 1 2 3 1 填空 1 A 已知 AC ED 2 AB 已知 2 4 4 5 3 已知 B 3 4 同位角相等 两直线平行 DF 两直线平行 内错角相等 AB DF 两直线平行 同位角相等 判定 性质 性质 4 将一张长方形的小纸条 按如图所示折叠 则 65 例1 如图已知 1 2 180 求证 AB CD 证明 由 1 2 180 已知 1 3 对顶角相等 2 4 对顶角相等 根据 等量代换得 3 4 180 根据 同旁内角互补 两直线平行得 AB CD 例2 已知 DAC ACB D DFE 1800 求证 EF BC 证明 DAC ACB 已知 AD BC 内错角相等 两直线平行 D DFE 1800 已知 AD EF 同旁内角互补 两直线平行 EF BC 平行于同一条直线的两条直线互相平行 A B C D E F 例3 如图 已知 AC DE 1 2 试证明AB CD 证明 由AC DE 已知 ACD 2 两直线平行 内错角相等 1 2 已知 1 ACD 等量代换 AB CD 内错角相等 两直线平行 例4 已知 EF AB CD AB EFB GDC 求证 AGD ACB 证明 EF AB CD AB 已知 AD BC 垂直于同一条直线的两条直线互相平行 EFB DCB 两直线平行 同位角相等 EFB GDC 已知 DCB GDC 等量代换 DG BC 内错角相等 两直线平行 AGD ACB 两直线平行 同位角相等 1 命题的概念 判断一件事情的句子 叫做命题 命题必须是一个完整的句子 这个句子必须对某件事情做出肯定或者否定的判断 两者缺一不可 2 命题的组成 每个命是由题设 结论两部分组成 题设是已知事项 结论是由已知事项推出的事项 命题常写成 如果 那么 的形式 或 若 则 等形式 真命题和假命题 命题是一个判断 这个判断可能是正确的 也可以是错误的 由此可以把命题分成真命题和假命题 真命题就是 如果题设成立 那么结论一定成立的命题 假命题就是 如果题设成立时 不能保证结论总是成立的命题 例1 判断下列语句 是不是命题 如果是命题 是真命题 还是假命题 画线段AB 2cm直角都相等 两条直线相交 有几个交点 如果两个角不相等 那么这两个角不是对顶角 相等的角都是直角 分析 因为 1 3 不是对某一件事作出判断的句子 所以 1 3 不是命题 解 1 3 不是命题 2 4 5 是命题 2 4 都是真命 5 是假命题 练习 1 下列命题是真命题的有 A 相等的角是对顶角B 不是对顶角的角不相等C 对顶角必相等D 有公共顶点的角是对顶角E 邻补角的和一定是180度F 互补的两个角一定是邻补角G 两条直线相交 只要其中一个角的大小确定了 那么另外三个角的大小就确定了 C E G 例2 如图给出下列论断 1 AB CD 2 AD BC 3 A C以上 其中两个作为题设 另一个作为结论 用 如果 那么 的形式 写出一个你认为正确的命题 A B C D 分析 不妨选择 1 与 2 作条件 由平行性质 两直线平行 同旁内角互补 可得 A C 故满足要求 由 1 与 3 也能得出 2 成立 由 2 与 3 也能得出 1 成立 解 如果在四边形ABCD中 AB DC AD BC 那么 A C 1 平移变换的定义 把一个图形整体沿某一方向移动 会得到一个新图形 这样的图形运动 叫做平移变换 简称平移 平移的特征 1 平移不改变图形的形状和大小 但位置发生了改变 2 新图形中的每一点 都是由原图形中的某一点移动后得到的 这两个点是对应点 决定平移的因素是平移的方向和距离 经过平移 图形上的每一点都沿同一方向移动相同的距离 经过平移 对应角相等 对应点所连的线段平行 或在同一条直线上 且相等 例1 在以下生活现象中 不是平移现象的是 站在运动着的电梯上的人左右推动的推拉窗扇小李荡秋千运动的躺在火车上睡觉的旅客 分析 A B D属平移 在一个位置取两点连成一条线 在另一个位置再观察这条线段 发现是平行的 而C同样取两点连成一条线段 运动到另一位置时 可能已不平行 解 选C 下列生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 1 摆动的钟摆 2 在笔直的公路上行驶的汽车 3 随风摆动的旗帜 4 摇动的大绳 5 汽车玻璃上雨刷的运动 6 从楼梯自由落下的球 球不旋转 2 6 巩固练习 例2 如图所示 ABC平移到 A B C 的位置 则点A的对应点是 点B的对应点是 点C的对应点是 线段AB的对应线段是 线段BC的对应线段是 线段AC的对应线段是 BAC的对应角是 ABC的对应角是 ACB的对应角是 ABC的平移方向是 平移距离是 A B C D E F D E F 沿着射线AD 或BE 或CF 的方向 线段AD的长 或线段BE的长或线段CF的长 DE EF DF EDF DEF DFE 操作与解释 数学课上有这样一道题 如图 以点B为顶点 射线BC为一边 利用尺规作 EBC 使得 EBC A EB与AD一定平行吗 小王说 一定平行 而小李说 不一定平行 你更赞同谁的观点 例1 如图 已知 1 2 直线AC BE交于B A C 1800 求证 AF BE 证明 1 2 已知 BE CD 内错角相等 两直线平行 又 A C 1800 已知 AF CD 同旁内角互补 两直线平行 AF BE 平行于同一条直线的两条直线互相平行 D A B C E F 2 练习1 如图 已知 1 2 AC平分 DAB 求证 AB CD 3 例2 如图 已知 AE平分 BAC CE平分 ACD 且AB CD 求证 1 2 90 证明 AB CD 已知 BAC ACD 180 两条直线平行 同旁内角互补 又 AE平分 BAC CE平分 ACD 已知 1 BAC 2 ACD 角平分线的定义 1 2 BAC ACD 等式的性质 1800 900即 1 2 900 练习