数学方法的优美.doc

数学文化教案第一章 数学美学 授课教师：杨渭清第五节 数学方法的优美一、教学目标：1、认识反证法、RMI方法、抽象方法中的数学思想；2、理解数学方法的价值及重要作用；3、了解数学方法对于数学观念的影响。二、教学重点、难点： 正确理解直观性原则与抽象方法的关系。三、教学过程：前面在许多地方已谈到了数学方法，数学归纳法也是数学方法之一。这种通过有限的步骤去认识无限的方法确实是意味深长的。观点与方法被认为是两个不同的方面，但是它们又常常是紧密联系的，相互影响的，特别不可忽视的是，方法影响观点。方法论具有越来越普遍的意义，它对人们理解事物的观念有深刻的影响，甚至成为观念的组成部分。数学方法对于数学观念的影响，数学观念与数学方法的关系，也是我们关注的题目。我们从比较具体的方法说起。1、反证法在日常用语中，对于一件我们很想做的事，常用“不能不”去强调，或者起修辞的作用，例如说，“如此高尚的行为，我们不能不感动”。“日本右翼势力至今还不对二战的战争罪行真诚谢罪，我们对它不能不保持高度警惕”。数学中也常有运用、“不能不”的时候，但是当它运用的时候，必须说出一个道理来，数学中的“反证法”就是在表达这个意思。用“反证法”证明某命题成立时，就是在论证说：这个命题不可能不成立。具体地说，一个命题，最简单的形式必包含有已知条件部分，有结论的部分。反证法的第一步就是假定结论不成立，然后通过一定的推导得出矛盾，从而说明：结论不成立是不可能的。什么叫做得出矛盾来了呢?或者推导出与已知条件相冲突的命题，或者是推导出与已有公理相冲突的命题，或者是推导出与已有定理相冲突、或与临时的假定(论证之中的)相冲突的命题，或有自相矛盾的东西出现了。例如，我们要证明是无理数，如果从正面去说明它是无理数，那么就要通过对2开方，计算出它确是一个无限不循环小数。实际上这是不可能做到的，你可以开方计算到小数点后万位，百万位、亿万位，但永远算不到无限。可是，从“反面”来证明，情况就不同了，不仅能证明，而且很简单。古希腊人就会按照下面的步骤来证明。假设不是无理数，即是有理数(或可比数)，那么它必可可表示为既约的分数(既约总是可以事先做到的，因而可假定既约)：两边平方，得： 可见，必为一偶数，记为，为正整数。于是又得这样也成了偶数。至此我们得到一个矛盾：与都是偶数，而是既约的。当要证明化成小数而且必定是无限循环小数时就不必用反证法。你去除一除，只有有限步就可看出结果来了，而且最多七步就得出结论了。对反证法的使用不是没有不同看法的。因为反证法要以排中律为前提，例如你在假定不是无理数后立即说它是有理数，这就把所有的数划分为两类了，不是无理数就是有理数，或者不是有理数就是无理数，排中了，没有其他“中间”形态了。又如，我们也曾用到过“不是有限即无限”、“不是无限即有限”的命题，也用了排中的前提。可是，排中律是否普遍成立呢?这确实是值得注意的，尤其是在日常生活中运用时要特别注意。我们再举一例。现有10本书，共3类，文学类(A类)，史学类(B类)，数学类(C类)，证明至少有一类书有4本或4本以上。这个问题很容易通过反证法证明。假设A类、B类、C类的书都不超过3本，那么，所有的书加起来就不超过9本。这与共有10本书相矛盾。所以，至少有一类书超过3本，即4本或4本以上。这个问题又相当于：有10件物品，装在3个抽屉里，那么有一个抽屉至少有4件物品。这是一个具体的抽屉原理问题，看似很简单，却很有用。在任意的6个人中，一定可以找到3个相互认识的人，或3个互不认识的人。你能证明这命题吗?实际上，利用抽屉原理就不难证明。现在，我们把6个人看做6件物品，然后将他们标记为A、B、C、D、E、F。以F为基准，将A、B、C、D、E这五件“物品”，分为两类亦即“装于两个抽屉”，一类是“与F相识”的，另一类是“与F不相识”的。这时，相当于把5件“物品”“A、B、C、D、E”放进两个抽屉，一个是“与F相识”的抽屉，另一个是“与F不相识”的抽屉。那么，两“抽屉”中必有其一至少有这“3件物品”。现在可以看到，无论是哪个“抽屉”中有“3件物品”，都将得到我们所需要的答案。如果“与F相识”的抽屉里有3个人，不妨说是A、B、C。这时，假若A、B、C 3人彼此不相识，那么已说明答案是成立的；假若A、B、C中至少有2人，例如A、B 2人相识，再加之以A与B都同F相识，因此，A、B、F 3人便是彼此相识的3位，这也说明了答案成立。如果“与F不相识”的抽屉里有3个人，仍不妨说是A、B、C、D、E中的A、B、C 3位。这时，若A、B、C 3人彼此相识，那么已说明答案成立；假若A、B、C中至少有两人，例如A、B 2人不相认，而他们又都与F不相识，这样，A、B、F 3人就是彼此互不相识的3人。于是命题所说的答案也成立。我们由反证法很容易证明简单的抽屉原理，利用抽屉原理又可说明一些有趣的现象。在文学艺术领域里使用大概、可能之类的术语是无妨的，在数学领域里，却要求精确、准确。也有一种讨论大概或可能性大小的数学，但此时也要求把可能性大小准确地算出来。数学方法给人的美感，其性质有所不同，人们感觉到的是精美、优美。2、RMI方法对形式逻辑，看你如何去欣赏，比如说三段式这种东西，你可能觉得它平淡无味。“凡人都有情感，张三也是一个人，张三也有情感”。这似乎没有多大意思。但是，它在思想中、论说中体现出说服力，如果再加之以语言表达上的技巧，它也给人以特殊的美感。辩证逻辑则给人这种感觉，也叫逻辑美，是科学美的一种。RMI方法是体现了辩证思想的方法。从一个很简单的例子开始。211，这很容易计算，一般学生能记得210 = 1 024，于是马上可知211 =2 048。实在不记得210 = 1 024也无妨。24 = 16是很简单的，28 =162 = 256，再乘以4，也得到210 = 1 024。于是，211也很好算。相反，的计算就困难得多了。对2开3次方就不容易，对2开11次方就更不容易。但是，计算的对数很容易，很多人记得2的常用对数值是0.301 0，于是 接着，我们有对数表可查，查出0.027 3的反对数：1.065。而这就是的近似值，于是得： 以上，我们实际上经历了一个这样的过程：本来是求2的11次方根，但我们先求；然后再求出即。简言之： 这是从还是回到了，但后一个与前一个不同，前者是由一个运算所涵盖着的，后者以一个具体数字显现，即的值。以上的过程是走了一个曲折的路，化难为易。正是有了这种曲折才导致了进步。这种曲折不是一般人走的弯路，而是一种创造，一种发明。这里，关键的工具是对数。对数出现后，不到一个世纪，就传遍了世界上许多国家。它的出现与天文学有关，因此，尤其是天文学家们以十分欣喜的心情欢迎它。伽利略甚至以艺术般的语言说：“给我空间、时间及对数，我即可创造一个宇宙。”当今的人们，有更有效的方法和更高效率的工具来计算对数。然而，16世纪末至17世纪初，那时候就造出了常用对数表，其计算之困难与繁重实在令今人难以想象(是牛津大学一位教授与对数创始人纳皮尔共同制作了当初的常用对数表)。历史上，科学家们为人类文明所作的艰苦卓绝的努力有千千万万，对数的创立及其数表的制作仅为一例。再看一个例子。求和：.一般来说，等比级数的和容易求，有公式可套。这里给出的不是等比级数。而且我们还知道是无穷大。但大约可看出，当加减交错时，不会是无穷大了。这个级数的和很难求，我们先绕绕弯子。首先，我们把它变成一个变动的式子（函数项级数）：如果能知道它的和，然后令此和中的x = 1，那大约就可达到目的了。问题在于：这个变数级数的和容易求吗？如果能求出，我们就通过一条“之”字路取得了成功。下面我们就来考虑这个变数级数和的计算。只要点点微积分知识就知道 这样，如果一旦对前面那个函数项级数微分，我们很快就会得到一个比较容易求和的级数了，它就是一个等比级数 此时的公比是()，于是得到我们很容易地求出了，却不是；然而，再由来求出变成了求原函数(积分)的问题。但是，这个求原函数的问题也简单，由基本积分表即知 似应考虑积分常数，但由于当x = 0时y = 0，故可知积分常数是0，所以上述结果无误。当然，上述运算过程中还有一些理论问题，这里就不细说了。若命x = 1，就得到： 关键在于对我们走过的路程的理解。与前一例相同的是，我们也是经历了一个“否定之否定”的程序，所不同的是，这里所使用的工具不是对数，而是微积分。对这个过程也可以标示如下： 再比较一下就可明白，以上都是利用了两个互逆的运算来实现我们的目标的。一个是对数与反对数，一个是微分与积分，一正一反解决了问题。其实，数学中互逆的运算还很多。就拿加法与减法这样简单的互逆运算，我们也可加以利用。例如，这样的式子，17世纪早期有的数学家还认为在实数领域是不能分解的。现在，一位普通的中学生也能分解它，用的方法就是一加一减，加进一个，再减去一个；这一类方法是很多很多的。运算可以被视为一种变换或映射，映射之后再反映过来。当然，这对映射的性质有一定要求。在满足一定要求之后，就可利用来解决一些问题。这也是一种具有普遍性的方法。在一般人心目中，以为数学是严谨的、严肃的、严格的，这也不错，但若以为数学是严酷的、冷酷的，那就不符合它的性格了。数学既是严肃的，又是很活泼的。不少喜爱数学的人，有的是为其活泼的表现形式所吸引，有的是为它的深刻所感染，有的则是两种感受都起了作用。常人总以为抽象是数学枯燥无味的根源，其实不然。一方面，抽象的方法，不只是数学运用，其他学科领域也用。例如；物理学中，讨论刚体运动时，常把一个物体视为一个质点，这就是抽象手法。讨论天体运动的时候，说地球、火星、木星、绕太阳转的轨道是一个椭圆，此时，也是视太阳及其行星为一些几何点(几何点即无体积的点，或把体积“抽象”掉了)。语言学也是很抽象的，只是人们可能没有强烈地感觉到这一点。语言文字不过是一些符号，符号本身就是抽象的结果。我们可以稍稍多想想“神”这个字有多抽象，“圣”这个字有多抽象，只是许多字我们并未仔细去想。文学也有抽象。诗歌就是很抽象的，“白日依山尽，黄河人海流”，就很抽象。小说中的人物一般也是经过抽象“加工”的。绘画也有抽象，你画一个人，可能立体感很强，但无论怎样要略去人的几个侧面，无论怎样细致，面部微小的部分也会略去不少。音乐更有抽象，尤其是器乐，它只是用声音来描述高山流水、林海雪原、涛涛大海以及人间的悲欢离合，一切视角效果都略去了，你只能通过声音去想象背后的画面。可是，对文学艺术中那些明摆着的抽象，人们并不感到抽象，而数学的抽象却使人有鲜明的抽象感觉。这是为什么呢?确实，这两种抽象也有差别。例如，“白日依山尽，黄河人海流，欲穷千里目，更上一层楼”这样的诗句，虽然也相当的抽象，语言异常简练，但毕竟这里还是有“日”，“山”，“河”，“海”，“目”，“楼”等形象的东西；不像数学式子那样，几乎什么也摸不着。例如，你从 中看见了什么?确实，如果不换个视角，就会有茫然的感觉；否则，这种式子也可能给你更丰富的想象。事实上，越会抽象的人，在一定的意义下讲，又可能是越会把问题具体化的人。具体化与抽象化是相伴存在的，因为对具体的深入认识才能更好地抽象，因为抽象而能更好地把握具体。有一个古老的问题，称为七桥问题。在河床中有两个小岛A与B，连接这两岛与两岸C、D的总共有7座桥，如上图。问题是：能否从某地出发，走过所有的桥，但每座桥只经过一次?这个问题似乎很容易，却一直未找到答案。18世纪，有位数学家参与研究。他首先做的事是将七桥图变成了另一个图，见下图。在这个图中，只有4个点6条线了。这样做，把两岸面积的大小略去了，把岛的大小、形状也省去了，把桥的长短、曲直、宽窄等也全不考虑了。去掉的东西很多，表明抽象程度很高。但需注意，这种抽象把问题的本质方面都留下了吗? 事实上，被简化的或典型化的图只剩下点和线，因此可称之为一个点线图，那么，问题的本质方面是；图中点与线的连接方式是否准确地反映了桥、岛、两岸的相互关联？虽然形状已大小不一样，但这个点线图是正确反映了实质问题的，因此，这种抽象可称之为科学抽象。这种抽象也反映了一种数学思想，它要抓住问题的最实质性的方面而舍去对这一问题暂时无关的方面，以便有效地推动问题的研究。这么一抽象，原来的“一次性走过所有桥”的问题，就变成了“一笔画”问题，即把一个“点线图”(或网络)用一笔画出来的可能性问题。这么一抽象，就可以不让一些非实质性的方面模糊我们的视线。下面的两个点线图，左边的一个能一笔画成，右边的一个虽也很简单，但一笔画不出：在左图中，通过每个顶点的线条(或棱)数为偶数：(2，4，2)；在右图中，通过每个顶点的棱数为奇数：(1，3，3，1)。这也许是问题的要害。事实上，除了起点和终点外，过其他点即中间点(因须进出各一次)的棱数是偶数乃一必要条件。现在，再来看看那个七桥图，过A、B、C、D 4个顶点的棱数分别是3，5，3，3，都是奇数。正是这种特性，决定了七桥问题的答案：不可能一次性走过七桥。从这个问题的解决，我们不仅可以看到抽象方法所显示的力量，应当也可看到抽象的艺术。在这个问题的处理过程中，抽象程度不同一般。一般认为数学研究的对象是形与数，而在这个问题的研究中，形状也不是我们关注的对象，线(棱)的长短、曲直这样的数量关系及形状特征也不是我们关注的，惟一被我们注意的是点以及点与点之间的连接方式。数学有一个分支叫拓扑学，按照以上方式来处理问题正是拓扑学所做的。有一张关于建立校园网的拓扑图，一时间，有好几位问：什么叫拓扑图?网络中心放在实验大楼，然后有几个中间站分别设在图书馆、文学院大楼、理学院大楼及财务大楼，再由这些中间站伸向各教学楼及其他各用户。这个图并不需要一个原形的校园图，各中间站与中心的真实距离与方位并不重要，各中间站与各用户之间的真实距离与方位也不是重要的，重要的是中心、中间站、用户之间的连接方式，中心、中间站、用户等都可用点来表示，而它们之间则用线来连接，而关键在于点与点如何联系。这正是一个具有拓扑性质的图。如果有两张这样的图，点与线相同，点线连接方式也相同，但点与点距离不同、连线的曲直不同，那实际上是两张相同的图，这就是在拓扑意义下讲的。拓扑学的诞生与发展进一步表现了数学的抽象程度。然而，抽象方法的优美也进一步展现在人们面前。虽然充分领略这一点并不容易。在我国传统的教育理论中，特别强调直观性原则。其实，这是一条带有很大片面性的原则。第一，人的认识能力的提高，既表现在善于直观上，更表现在通过直观到抽象