流体力学刘鹤年版课件第2章流体静力学

第2章流体静力学 平面上的静水总压力 曲面上的静水总压力 第2章流体静力学 引言 重点 流体静力学研究流体的平衡规律 由平衡条件求静压强分布 并求静水总压力静止是相对于坐标系而言的 不论相对于惯性系 静止 或非惯性系 相对平衡 静止的情况 流体质点之间肯定没有相对运动 这意味着粘性将不起作用 所以流体静力学的讨论不须区分流体是实际流体或理想流体 第2章流体静力学 第一节静止流体中应力的特性 1流体静压强 流体处于静止或相对静止时的压强 1 静压强定义 方向性 静压强的方向垂直于作用面 原因 1 静止流体不能承受剪切力 即 故p垂直于受压面 2 因流体几乎不能承受拉力 故p指向受压面 2 静压强的两个特性 第一节静止流体中应力的特性 各向等值性 静压强的大小各向相等P17 第一节静止流体中应力的特性 第2章流体静力学 第三节重力场中流体静压强的分布规律 1流体静力学基本方程 作用在流体上的质量力只有重力 均匀的不可压缩流体 P21公式2 92 10重点 适用于重力场中同种 连续 静止的均质流体 第三节重力作用下的流体静压强 p静水液体内部某点压强 p0自由面上的气体压强 压强随淹没深度h按线性规律增加 静止液体内任意点的静水压强有两部分组成 一部分是自由面上的气体压强p0 另一部分相当于单位面积上高度为h的液柱重量 式中 h为该点在液面下的埋深 淹深 第三节重力作用下的流体静压强 推论 压强的大小与容器的形状无关两点的压强差 等于两点间单位面积垂直液柱的重量 第四节压强的度量与测压仪表 练习 一封闭水箱 如图所示 水面上压强p0 85kPa 求水面下h 1m点C的压强 1000kg m3 解 由压强公式 得C点压强为 帕斯卡原理 压强等值传递规律 应用 水压机 液压传动 平衡液体中 边界上的压强将等值地传递到液体内的一切点上 即当p0增大或减小时 液体内任意点的压强也相应地增大或减小同样数值 即 第二节流体平衡微分方程 第三节重力作用下的流体静压强 静止液体中的等压面 推论 自由液面为水平面也为等压面 不同液体交界面为水平面也为等压面 压强的大小与容器的形状无关 即等压面为水平面 液体对容器底部的作用力F 桌子对杯子的支撑力F F与F 相等吗 思考题 静水奇象 1 2 3 4 第三节重力作用下的流体静压强 气体压强计算 以上规律 虽然是在液体的基础上提出来的 但对于不可压缩气体也仍然适用 由于气体密度很小 在高差不大的情况下 可忽略气柱产生的压强 认为空间各点气体压强相等 例如液体容器 测压管 锅炉等上部的空间 我们就认为各点的压强也是相等的 储气罐内各点压强相等 第2章流体静力学 3压强的度量 大气压强是地面以上的大气层的重量所产生的 根据物理学中托里拆利实验 一个标准大气压 Standardatmosphericpressure 相当于76cm高的水银柱在其底部所产生的压强 即0 1MPa 相当于10 33m水柱在其底部所产生的压强 衡量压强的大小根据起量点的不同 分绝对压强 Absolutepressure 和相对压强 Relativepressure 第2章流体静力学 3压强的度量 压强按计量基准的不同可区分为绝对压强和相对压强 绝对压强 以毫无一点气体存在的绝对真空为零点起算的压强 称为绝对压强 当涉及流体本身的性质 例如采用气体状态方程进行计算时 必须采用绝对压强 相对压强 以当地大气压作为压强零点计量的压强 用p表示 相对压强为仪表测量和工程计算常用的压强 又称为表压强 它表示绝对压强和大气压强的差 表示 pabs或p 第2章流体静力学 3压强的度量 大气压强 完全真空 真空 绝对压强 相对压强 绝对压强 今后讨论压强一般指相对压强 省略下标 记为p 若指绝对压强则特别注明 金属压力表 第2章流体静力学 真空度 如以液柱高度表示 式中hv称为真空高度 例题P242 1 真空度 是指绝对压强小于当地大气压的受压状态 是负的相对压强 值是正的 第四节压强的度量与测压仪表 练习 一封闭水箱 如图所示 水面上压强p0 85kN m2 求水面下h 1m点C的绝对压强 相对压强和真空压强 已知当地大气压pa 98kN m2 1000kg m3 解 由压强公式 得C点绝对压强为 第四节压强的度量与测压仪表 相对压强为负值 说明C点存在真空 C点的相对压强为 由公式 相对压强的绝对值等于真空压强 即 第四节压强的度量与测压仪表 压强的度量单位 应力单位从压强的定义出发 以 单位面积上的力 来表示 N m2 以符号Pa表示 大气压单位用大气压的倍数来表示标准大气压latm 101 325kPa 工程大气压lat 98kPa 液柱高度常用水柱高度或汞柱高度 其单位为mH2O mmHg 2 4重力场中流体静压强的分布规律 液体静力学基本方程 P212 10各项的几何和能量意义的解释 几何意义 位置水头 压强水头 测压管水头 它们都代表一定的液柱高度 4测压管水头 第三节重力作用下的流体静压强 4测压管水头 各项的几何和能量意义的解释 在静水压强分布公式中 各项都为长度量纲 称为水头 液柱高 第三节重力作用下的流体静压强 4测压管水头 总势能 Totalpotentialenergy 称为总势能 从能量的意义上来看 流体静力学基本方程式表明 在处于绝对平衡状态的流场中 任意两点的总势能相等 流体静力学基本方程式是物理学中的能量守恒与转化定律在流体静力学中的具体应用 第三节重力作用下的流体静压强 物理意义 仅受重力作用处于静止状态的流体中 任意点对同一基准面的单位势能为一常数 即各点测压管水头相等 位头z增高 压头减小 在均质 常数 连续 静止的液体中 水平面 z1 z2 常数 必然是等压面 p1 p2 常数 第四节压强的度量与测压仪表 液柱式测压计 测压管是以液柱高度 表征测量点压强的连通管 一端接于测点 另一端开口通大气的竖直玻璃管 优点 结构简单缺点 只能测量较小的压强 不适合测真空 测压管 1 由图 A 和 B 可知 连通器内装有不同液体 液面相平时 管内的液体 选填 能 或 不能 保持静止状态 2 由图 A B C 和 D 可知静止在连通器中的同一种液体 各部分直接与大气接触的液面总在同一水平面上 静止在连通器中的不同液体 各部分直接与大气接触的液面不在同一水平面上 U型管测压计等压面 第四节压强的度量与测压仪表 U型管测压计 在U型管内装入分界面清晰的工作液体 常用水银 U型管测压计用于测定管道或容器中某点流体压强 通常被测点压强较大 并可测真空度 图3 12微压计 Inclined tubemanometer 例 活塞直径d 35mm 重15N 油密度 1 920kg m3 水银密度 2 13600kg m3 h 0 7m 求 h 解 活塞重量造成的其底面压强为 1 1为等压面 压强关系为 解得 先找等压面 不同液体交界面 例 已知h1 600mm h2 250mm h3 200mm h4 300mm h5 500mm 1 1000kg m3 2 800kg m3 3 13598kg m3 求A B两点的压强差 解 1 1 2 2 3 3均为等压面 各点压强为 逐一代入 得 第三节重力作用下的流体静压强 一封闭容器盛有的两种液体 试分析同一水平线上的1 2 3 4 5各点的压强比较大小 练习 用真空计B测得封闭水箱液面上的真空度为0 98kPa 若敞口油箱的液面低于水箱液面 水银压差计的读数 求油的容重 第四节压强的度量与测压仪表 练习 第三节重力作用下的流体静压强 练习二 水池中盛水如图 已知液面压强 求水中C点 以及池壁A B点和池底D点所受的静水压强 2 3小结 液体静力学基本方程 气体 小范围内 空间各点的压强均相等 即 O O 第2章流体静力学 第五节液体作用在平面上的总压力 工程实践中 需要解决作用在结构物表面上的流体静压力的问题 本节研究作用在平面上的液体静压力 也就是研究它的大小 方向和作用点 由于流体静压力的方向指向作用面的内法线方向 因此只须求总作用力的大小和作用点 第2章流体静力学 第五节液体作用在平面上的总压力 1解析法 1 总压力的大小和方向 MN为任意形状的平面 倾斜放置于水中 与水面成 角 面积为A 其形心为C 平面上各点所受液体压力均沿平面的内法线方向 组成一平行力系 其合力的方向也必然沿受压面的内法线方向 1解析法 2图解法 第五节液体作用在平面上的总压力 总压力大小P29 注 式中为受压面积A对x轴的静面矩 等于受压面积A与其形心坐标yc的乘积 又因 第五节液体作用在平面上的总压力 总压力大小 结论 潜没于液体中的任意形状平面的静水总压力P 大小等于受压面面积A与其形心点的静水压强pc之积 第五节液体作用在平面上的总压力 总压力作用点 压力中心 淹没在静止液体的平面上总压力的作用点 即总压力作用线与平面的交点 称为压力中心 由合力矩定理可知 总压力对OX轴之矩等于各微元面积上的总压力对OX轴之矩的代数和 取D为作用点 坐标yD 淹深hD 静水压力P对x轴的力矩为 因为为受压面A对Ox轴的惯性矩 第五节液体作用在平面上的总压力 总压力的大小和方向 结论 1 当平面面积与形心深度不变时 平面上的总压力大小与平面倾角 无关 2 总压力作用点的位置与受压面倾角 无关 并且总压力作用点总是在形心之下 只有当受压面位置为水平放置时 总压力作用点与形心才重合 大小p302 29 作用点p302 29 yc不是形心到图像边的距离 第五节液体作用在平面上的总压力 总压力作用点 压力中心 按照上述方法同理可求得压力中心的x坐标P31 式中XC 平面形心x的坐标 Ixyc 平面面积对于通过形心而平行于坐标系两轴的惯性矩 通常 实际工程中遇到的平面多数是对称的 因此压力中心的位置是在平面对称的中心线上 此时不必求xD的坐标值 只需求得yD坐标值即可 第五节液体作用在平面上的总压力P31表2 1 例题 在一城市给水系统输水渠道中 有一平板矩形闸门 闸门宽度b 0 8m 闸门前水深h 1 5m 试求作用在闸门上的静水总压力及其作用点 解 第五节液体作用在平面上的总压力 画门画坐标系 x y o 例题 在一城市给水系统输水渠道中 有一平板三角形闸门 闸门宽度b 0 8m 闸门前水深h 1 5m 试求作用在闸门上的静水总压力及其作用点 解 第五节液体作用在平面上的总压力 画门 画门画坐标系 x y o 例题 在一城市给水系统输水渠道中 水深1 5m 有一平板矩形闸门 闸门宽度b 0 8m 闸门高1m 上端离水面0 5m 试求作用在闸门上的静水总压力及其作用点 第五节液体作用在平面上的总压力 h 画门画坐标系 x y o 第五节液体作用在平面上的总压力 例题 一垂直放置的圆形平板闸门如图所示 已知闸门半径R 1m 形心在水下的淹没深度hc 8m 试用解析法计算作用于闸门上的静水总压力 解 答 该闸门上所受静水总压力的大小为246kN 方向水平向右 在水面下8 03m处 P32例2 6斜面yc和hc有区别 原理 静水总压力大小等于压强分布图的体积 不是面积 有宽度 其作用线通过压强分布图的形心 不是受压面的形心 该作用线与受压面的交点便是压力中心D 适用范围 规则平面上的静水总压力及其作用点的求解 第五节液体作用在平面上的总压力 第2章流体静力学 2图解法 2图解法 求解矩形平面板上的的水的静压力的问题 采用图解法不仅能直接反映力的实际分布 而且有利于对受压结构物进行结构计算 使用图解法 需先绘出水的静压分布图 然后根据它计算水的静压力 计算内容仍为压力大小和作用点问题 水的压强分布图是根据基本方程 直接绘在受压面上表示各点压强大小及方向的图形 实际工程计算中 只考虑相对压强的作用 即 第五节液体作用在平面上的总压力 第2章流体静力学 第三节重力作用下的流体静压强 1 压强分布图 根据静力学基本方程绘制静水压强大小 静水压强垂直于受压平面且为压应力 其绘制规则为 按一定比例尺 用一定长度的线段代表静水压强的大小 用箭头标出静水压强的方向 并与该处受压面垂直 即表示受压面上各点压强 大小和方向 分布的图形 简称静水压强图 第五节液体作用在平面上的总压力 A B C 作用线 过压强分布图形心 作用点 位于对称轴上 画出下列AB或ABC面上的静水压强分布图 ghB 第五节液体作用在平面上的总压力 静水压强分布图实例 第五节液体作用在平面上的总压力 相对压强大于0 第五节液体作用在平面上的总压力 练习1课本P332 7 第五节液体作用在平面上的总压力 作用点 1 当压强为三角形分布时 压力中心D离底部距离为 第五节液体作用在平面上的总压力 2 当压强为梯形分布时 压力中心离底的距离 可以化成矩形和三角形 例题 如图所示 某挡水矩形闸门 门宽b 2m 一侧水深h1 4m 另一侧水深h2 2m 试用图解法求该闸门上所受到的静水总压力 解 首先分别求出两侧的水压力 然后求合力 方向向右 依力矩定理 可解得 e 1 56m 答 该闸门上所受的静水总压力大小为117 6kN 方向向右 作用点距门底1 56m处 合力对任一轴的力矩等于各分力对该轴力矩的代数和 第五节液体作用在平面上的总压力 第五节液体作用在平面上的总压力 练习1 宽为1m 长为AB的矩形闸门 倾角为45o 左侧水深 右侧水深 求作用于闸门上的水静压力及其作用点 2 5小结 O O 液体作用在平面上的总压力 2图解法 1解析法 其作用线通过压强分布图的形心静水总压力大小等于压强分布图的体积 第五节液体作用在平面上的总压力 规则矩形图算和解析结果一样作业P39选择2 1 2 9P422 172 212 242 252 26 第六节液体作用在曲面上的总压力 第六节液体作用在曲面上的总压力 由于曲面形状任意 各处作用力大小和方向变化 总作用力计算较复杂 这里采用分力求和的简易方法 即分别求出总作用力P的分力Px Py Pz后得其方向和作用点须由曲面的具体情况确定 本节主要研究工程中的两向曲面来推求计算方法 如图所示 第六节液体作用在曲面上的总压力 作用于曲面任意点的流体静压强都沿其作用面的内法线方向垂直于作用面 但曲面各处的内法线方向不同 彼此互不平行 也不一定交于一点 因此 求曲面上的水静压力时 一般将其分为水平方向和铅直方向的分力分别进行计算 第六节液体作用在曲面上的总压力 静止流体作用在曲面上的总压力 Hydrostaticforceonacurvedsurface P34 图2 23作用在曲面上的总压力 水平分力 Horizontalforce 压力体 Pressurizedfluidvolume 为由三个面围成的体积 曲面 自由表面和穿过曲面的边界线向自由表面所引的垂线组成的柱面 称此体积为压力体 铅垂分力 Verticalforce 总压力 Hydrostaticforce 2 压力体 式中V称为压力体 即垂直分力的大小等于压力体的重量 压力体由三个面组成 1 受力作用为曲面 2 过曲面边缘作的铅垂面 3 自由液面或其延伸面 第六节液体作用在曲面上的总压力 压力体的界定方法是 设想取铅垂线沿曲面边缘平行移动一周 割出的沿自由液面 或延伸面 为上底 曲面本身为下底的柱体就是压力体 第六节液体作用在曲面上的总压力 实压力体 虚压力体 压力体叠加 纯粹的几何空间 与该空间是否充满液体无关 但有虚实之分 当液体与压力体位于曲面同侧时称实压力体 其垂直分力Pz向下 当液体与压力体位于曲面异侧时称虚压力体 其垂直分力Pz向上 2 压力体 第六节液体作用在曲面上的总压力 对于复杂曲面 1 进行分段处理 2 对每段曲面 画出压力体 3 判断每段曲面的垂直分力的方向 4 叠加 5 两边有水的情况 先分别画出各边的压力体 再叠加 第六节液体作用在曲面上的总压力 第六节液体作用在曲面上的总压力 练习 绘压力体 并标出垂直分力是向上还是向下 第六节液体作用在曲面上的总压力 总压力P的作用线必通过Px Pz的交点 但这个交点不一定位于曲面上 结论 水平分力Px等于作用于该曲面的垂直投影面 矩形平面 上的静水总压力 方向水平指向受力面 作用线通过面积Ax的压强分布图体积的形心 铅垂分力Pz等于该曲面上的压力体所包含的液体重 其作用线通过压力体的形心 方向铅垂指向受力面 第六节液体作用在曲面上的总压力 例题 一弧形闸门如图所示 闸门宽度b 4m 圆心角 45 半径R 2m 闸门旋转轴恰与水面齐平 求水对闸门的静水总压力 解 闸门前水深为 水平分力 铅直分力 静水总压力的大小 静水总压力与水平方向的夹角 静水总压力的作用点 答 略 返回 练习 图示的一储水容器 容器壁上有三个半球形的盖 设 试求作用在每个球盖上的液体总压力 第六节液体作用在曲面上的总压力 第六节液体作用在曲面上的总压力 3 液体作用在潜体和浮体上的总压力 浮力原理 Pz1 J K A B C D E F Px2 Pz Px1 Pz2 第六节液体作用在曲面上的总压力 3 液体作用在潜体和浮体上的总压力 物体在静止液体中的浮沉若物体在空气中的自重为G 其体积为V 当物体全部浸没于水中时 则G 时 沉体 G 时 浮体 G 时 潜体 第六节液体作用在曲面上的总压力 综上所述 液体作用在沉没或漂浮物体上的总压力的方向垂直向上 大小等于物体所排开液体的重量 该力又称为浮力 作用线通过压力体的几何中心 又称浮心 这就是著名的阿基米德原理 作业2 292 332 35 为什么要研究流体平衡微分方程 处于平衡状态的流体受哪些力的作用 如何获得流体处于平衡状态时流体所受力之间的关系 如何进行分析 有什么研究路线 第二节流体平衡微分方程 研究对象 流体微元 研究路线 受力分析 平衡分析 分力 平衡微分方程 第二节流体平衡微分方程 第二节流体平衡微分方程 1流体平衡微分方程 在静止流体中取微小六面体 中心点A x y z 的密度为 压强为p 第2章流体静力学 第二节流体平衡微分方程 1流体平衡微分方程 在静止流体中取微小六面体 中心点A x y z 的密度为 压强为p x y z 第2章流体静力学 第二节流体平衡微分方程 1流体平衡微分方程 在静止流体中取微小六面体 中心点A x y z 的密度为 压强为p 以x方向为例 列力平衡方程式 第2章流体静力学 流体平衡微分方程 欧拉平衡微分方程 物理意义 流体处于平衡状态时 单位质量流体所受的表面力与质量力彼此相等 第二节流体平衡微分方程 适用范围 静止或相对静止的可压缩或不可压缩流体 实际应用对形式上变化 欧拉平衡微分方程 EulerEquilibriumEquation 矢性微分算子 Nabla 压强微分方程 PressureDifferentialEquation 欧拉平衡微分方程表征了流体处于平衡状态下的规律 但是直接利用欧拉平衡微分方程来求解压强分布规律不太方便 因此我们将流体平衡微分方程式作以下变形处理 然后将三式左边和右边分别相加 合并为 因为p f x y z 上式等号右边括弧中为压强p的全微分即 所以 压强微分方程 PressureDifferentialEquation 力的势函数 Potentialfunction 函数 反映了单位质量流体的位能 或势能 利用水的势能发电 势函数的物理含义 积分得积分常数C可结合边界条件和已知条件确定 流体平衡微分方程有确定的解析解 等压面 EquipressureSurface 定义 流体中压强相等的各点组成的面称为等压面 由等压面定义 根据欧拉微分方程可得等压面的定义式为 等压面特性 特性一 等压面也是等势面 特性二 在平衡的流体中 质量力与等压面垂直 特性三 自由表面 Freesurface 为等压面 特性四 在平衡的流体中 两种互不掺混的流体的分界面为等压面 由于质量力中只有重力 因此单位质量力在x轴 y轴和z轴上的分力 和分别为 代入压强微分方程 得 代入边界条件z z