（全国通用）2020版高考数学第二层提升篇专题五解析几何第2讲圆锥曲线的方程与性质讲义.docx

第2讲圆锥曲线的方程与性质全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019双曲线的渐近线与离心率的关系T10抛物线和椭圆的焦点T9双曲线的标准方程及几何性质T10椭圆的定义及标准方程T12圆、双曲线的标准方程和几何性质T12椭圆的方程及性质T152018椭圆的几何性质T4双曲线的几何性质T6双曲线的几何性质及点到直线的距离T10椭圆的定义及几何性质T112017双曲线的性质、三角形的面积公式T5双曲线的几何性质T5双曲线的标准方程、渐近线方程T14(1)圆锥曲线的定义、方程与性质是每年必考内容，多以选择题的形式考查，常出现在第411题的位置，着重考查圆锥曲线的几何性质与标准方程的求法，难度中等.(2)圆锥曲线与直线的综合问题多以解答题的形式考查，常出现在第20题的位置，一般难度较大.圆锥曲线的定义及标准方程例1(1)(2019重庆市学业质量调研)已知抛物线y24x的准线l过双曲线1(a0，b0)的一个焦点F，且该双曲线的一条渐近线过点P(1，2)，则该双曲线的方程为()A.y21B.x21C.1D.1(2)(2019全国卷)已知椭圆C的焦点为F1(1，0)，F2(1，0)，过F2的直线与C交于A，B两点.若|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|，则C的方程为()A.y21B.1C.1D.1解析(1)由题意知，抛物线y24x的准线l：x，因为抛物线y24x的准线l过双曲线1的一个焦点F，所以F(，0)，所以a2b25，因为该双曲线的一条渐近线过点P(1，2)，所以2，所以b2a，可得a1，b2，所以该双曲线的方程为x21，故选B.(2)设椭圆的标准方程为1(ab0).由椭圆的定义可得|AF1|AB|BF1|4a.|AB|BF1|，|AF2|2|F2B|，|AB|BF1|AF2|，|AF1|3|AF2|4a.又|AF1|AF2|2a，|AF1|AF2|a，点A是椭圆的短轴端点，如图.不妨设A(0，b)，由F2(1，0)，2，得B.由点B在椭圆上，得1，得a23，b2a2c22.椭圆C的方程为1.故选B.答案(1)B(2)B解题方略1.圆锥曲线的定义(1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)；(3)抛物线：|MF|d(d为M点到准线的距离).2.圆锥曲线方程的求法求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型，后计算”.(1)定型.就是指定类型，也就是确定圆锥曲线的焦点位置，从而设出标准方程.(2)计算.即利用待定系数法求出方程中的a2，b2或p.另外，当焦点位置无法确定时，抛物线常设为y22ax或x22ay(a0)，椭圆常设为mx2ny21(m0，n0且mn)，双曲线常设为mx2ny21(mn0). 跟踪训练1.(2019陕西西安八校联考)如图，抛物线W：y24x与圆C：(x1)2y225交于A，B两点.点P为劣弧上不同于A，B的一个动点且不在x轴上，与x轴平行的直线PQ交抛物线W于点Q，则PQC的周长的取值范围是()A.(10，12) B.(12，14)C.(10，14) D.(9，11)解析：选A法一：(常规法)设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由题意得，圆C：(x1)2y225的圆心为C(1，0)，半径为5.抛物线W的准线l：x1，焦点为C(1，0).由抛物线的定义可得|QC|x21，则PQC的周长为|QC|PQ|PC|x21(x1x2)56x1.由得A(4，4)，则x1(4，6)，所以6x1(10，12)，于是PQC的周长的取值范围是(10，12).故选A.法二：(临界点法)平移直线PQ，当点A在直线PQ上时，属于临界状态，此时结合|CA|5可知PQC的周长趋于2510；当直线PQ与x轴重合时，属于临界状态，此时结合圆心坐标(1，0)及圆的半径为5，可知PQC的周长趋于2(15)12.综上可知，PQC的周长的取值范围是(10，12).故选A.2.(2019江西七校第一次联考)已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cosF1PF2_.解析：化双曲线的方程为1，则ab，c2，因为|PF1|2|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|PF2|2a2，解得|PF1|4，|PF2|2，根据余弦定理得cosF1PF2.答案：3.如图，已知椭圆C的中心为原点O，F(5，0)为C的左焦点，P为C上一点，满足|OP|OF|且|PF|6，则椭圆C的方程为_.解析：由题意可得c5，设右焦点为F，连接PF(图略)，由|OP|OF|OF|知，PFFFPO，OFPOPF，PFFOFPFPOOPF，所以FPOOPF90，即PFPF.在RtPFF中，由勾股定理得，|PF|8，由椭圆的定义得，|PF|PF|2a14，解得a7，a249，b2a2c224，所以椭圆C的方程为1.答案：1圆锥曲线的几何性质例2(1)(2019天津高考)已知抛物线y24x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线1(a0，b0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为()A.B.C.2D.(2)已知F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，若椭圆上存在点P使得PF1PF2，则该椭圆的离心率的取值范围是()A.B.C.D.解析(1)由已知易得，抛物线y24x的焦点为F(1，0)，准线l：x1，所以|OF|1.又双曲线的两条渐近线的方程为yx，不妨设点A，B，所以|AB|4|OF|4，所以2，即b2a，所以b24a2.又双曲线方程中c2a2b2，所以c25a2，所以e.故选D.(2)F1，F2是椭圆1(ab0)的左、右两个焦点，F1(c，0)，F2(c，0)，c2a2b2.设点P(x，y)，由PF1PF2，得(xc，y)(xc，y)0，化简得x2y2c2.联立方程组整理得，x2(2c2a2)0，解得e.又0e1，e1.答案(1)D(2)B解题方略1.椭圆、双曲线的离心率(或范围)的求法求椭圆、双曲线的离心率或离心率的范围，关键是根据已知条件确定a，b，c的等量关系或不等关系，然后把b用a，c代换，求的值.2.双曲线的渐近线的求法及用法(1)求法：把双曲线标准方程等号右边的1改为零，分解因式可得.(2)用法：可得或的值.利用渐近线方程设所求双曲线的方程.跟踪训练1.(2019兰州市诊断考试)若双曲线1(a0，b0)的实轴长为4，离心率为，则其虚轴长为()A.8B.4C.2D.解析：选B由题意知2a4，所以a2.因为e，所以c2，所以b2，所以2b4，即该双曲线的虚轴长为4，故选B.2.(2019福建省质量检查)已知双曲线C的中心在坐标原点，一个焦点(，0)到渐近线的距离等于2，则C的渐近线方程为()A.yxB.yxC.yxD.y2x解析：选D设双曲线C的方程为1(a0，b0)，则由题意，得c.双曲线C的渐近线方程为yx，即bxay0，所以2，又c2a2b25，所以b2，所以a1，所以双曲线C的渐近线方程为y2x，故选D.3.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|4，|DE|2，则C的焦点到准线的距离为()A.2B.4C.6D.8解析：选B设抛物线的方程为y22px(p0)，圆的方程为x2y2r2.|AB|4，|DE|2，抛物线的准线方程为x，不妨设A，D.点A，D在圆x2y2r2上，85，p4(负值舍去).C的焦点到准线的距离为4.直线与圆锥曲线题型一直线与圆锥曲线的位置关系例3(1)已知直线x1过椭圆1的焦点，则直线ykx2与椭圆至多有一个交点的充要条件是()A.kB.kC.kD.k(2)若直线xym0与双曲线x21交于不同的点A，B，且线段AB的中点在圆x2y25上，则m的值为()A.B.2C.1D.解析(1)由题意可得4b21，即b23，所以椭圆方程为1.由可得(34k2)x216kx40.由(16k)216(34k2)0，解得k.故选A.(2)设A，B两点的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0).由得x22mxm220(0)，x0m，y0x0m2m，点M(x0，y0)在圆x2y25上，m2(2m)25，m1.答案(1)A(2)C解题方略1.直线与圆锥曲线有两个不同的公共点的判定通常的方法是直线方程与圆锥曲线方程联立，消元后得到一元二次方程，其0；另一方法就是数形结合，如直线与双曲线有两个不同的公共点，可通过判定直线的斜率与双曲线渐近线的斜率的大小得到.2.直线与圆锥曲线只有一个公共点的结论直线与圆锥曲线只有一个公共点，则直线与双曲线的一条渐近线平行，或直线与抛物线的对称轴平行，或直线与圆锥曲线相切.题型二直线与圆锥曲线的弦长例4已知椭圆E：1(ab0)的离心率为，其左、右焦点F1，F2间的距离为4，过动点P的直线PF1和PF2与椭圆E的交点分别为A，B和C，D.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线AB，CD的斜率分别为k1，k2，若|AB|CD|6，求k1k2的值.解(1)由题意得易知c2，所以a2，bc2.所以椭圆E的标准方程为1.(2)因为直线AB的斜率为k1，且直线AB过F1(2，0)，所以直线AB的方程为yk1(x2).由消去y并整理，得(2k1)x28kx8k80.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|AB|4.同理可得|CD|4.因为|AB|CD|6，所以446，即23，去分母得2(k1)(2k1)2(k1)(2k1)3(2k1)(2k1)，化简得kk，即k1k2.解题方略直线与圆锥曲线的相交弦弦长的求法解决直线与圆锥曲线的相交弦问题的通法是将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去y或x后得到一元二次方程，当0时，直线与圆锥曲线有两个交点，设为A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系求出x1x2，x1x2或y1y2，y1y2，则弦长|AB|y1y2|(k为直线的斜率且k0)，当A，B两点坐标易求时也可以直接用|AB|求之.跟踪训练已知点M在椭圆G：1(ab0)上，且点M到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆G的方程；(2)若斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底作等腰三角形，顶点为P(3，2)，求PAB的面积.解：(1)2a4，a2.又点M在椭圆上，1，解得b24，椭圆G的方程为1.(2)设直线l的方程为yxm.由得4x26mx3m2120.设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x10)的焦点是椭圆1的一个焦点，则p()A.2B.3C.4D.8解析：选D抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，椭圆1的焦点坐标为.由题意得，解得p0(舍去)或p8.故选D.2.一个焦点为(，0)且与双曲线1有相同渐近线的双曲线方程是()A.1B.1C.1D.1解析：选B设所求双曲线方程为t(t0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|26.又焦点在x轴上，所以t2，即双曲线方程为1.3.已知两圆C1：(x4)2y2169，C2：(x4)2y29，动圆M在圆C1内部且与圆C1内切，与圆C2外切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1B.1C.1D.1解析：选D设圆M的半径为r，则|MC1|13r，|MC2|3r，|MC1|MC2|16|C1C2|，所以点M的轨迹是以点C1(4，0)和C2(4，0)为焦点的椭圆，且2a16，a8，c4，则b2a2c248，所以点M的轨迹方程为1.4.(2019全国卷)已知F是双曲线C：1的一个焦点，点P在C上，O为坐标原点.若|OP|OF|，则OPF的面积为()A.B.C.D.解析：选B由F是双曲线1的一个焦点，知|OF|3，所以|OP|OF|3.不妨设点P在第一象限，P(x0，y0)，x00，y00，则解得所以P，所以SOPF|OF|y03.故选B.5.(2019石家庄市模拟(一)已知椭圆1(ab0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：选BFP的斜率为，FPl，直线l的斜率为.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得，即.AB的中点为M，a22bc，b2c22bc，bc，ac，椭圆的离心率为，故选B.6.(2019全国卷)设F为双曲线C：1(a0，b0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2y2a2交于P，Q两点.若|PQ|OF|，则C的离心率为()A.B.C.2D.解析：选A设双曲线C：1(a0，b0)的右焦点F的坐标为(c，0).由圆的对称性及条件|PQ|OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQOF.设垂足为M，连接OP，如图，则|OP|a，|OM|MP|.由|OM|2|MP|2|OP|2得a2，故，即e.故选A.二、填空题7.(2019北京通州区三模改编)抛物线y22px(p0)的准线与双曲线x21的两条渐近线所围成的三角形的面积为2，则p_，抛物线焦点到双曲线渐近线的距离为_.解析：抛物线y22px(p0)的准线方程为x，双曲线x21的两条渐近线方程分别为y2x，y2x，这三条直线构成等腰三角形，其底边长为2p，三角形的高为，因此2p2，解得p2.则抛物线焦点坐标为(1，0)，且到直线y2x和y2x的距离相等，均为.答案：28.设直线l：2xy20关于原点对称的直线为l，若l与椭圆x21的交点为A，B，点P为椭圆上的动点，则使PAB的面积为的点P的个数为_.解析：直线l的方程为2xy20，交点分别为椭圆顶点(1，0)和(0，2)，则|AB|，由PAB的面积为，得点P到直线AB的距离为，而平面上到直线2xy20的距离为的点都在直线2xy10和2xy30上，而直线2xy10与椭圆相交，2xy30与椭圆相离，满足题意的点P有2个.答案：29.已知M(x0，y0)是双曲线C：y21上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点.若0，则y0的取值范围是_.解析：由题意知a，b1，c，设F1(，0)，F2(，0)，则(x0，y0)，(x0，y0).0，(x0)(x0)y0，即x3y0.点M(x0，y0)在双曲线C上，y1，即x22y，22y3y0，y0.答案：y0b0)的中心是坐标原点O，左、右焦点分别为F1，F2，设P是椭圆C上一点，满足PF2x轴，|PF2|，椭圆C的离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过椭圆C左焦点且倾斜角为45的直线l与椭圆C相交于A，B两点，求AOB的面积.解：(1)由题意知，离心率e，|PF2|，得a2，b1，所以椭圆C的标准方程为y21.(2)由条件可知F1(，0)，直线l：yx，联立直线l和椭圆C的方程，得消去y得5x28x80，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，x1x2，所以|y1y2|x1x2|，所以SAOB|y1y2|OF1|.11.(2019全国卷)已知抛物线C：y23x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P.(1)若|AF|BF|4，求l的方程；(2)若3，求|AB|.解：设直线l：yxt，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得F，故|AF|BF|x1x2.又|AF|BF|4，所以x1x2.由可得9x212(t1)x4t20，则x1x2.从而，得t.所以l的方程为yx.(2)由3可得y13y2.由可得y22y2t0.所以y1y22，从而3y2y22，故y21，y13.代入C的方程得x13，x2.故|AB|.12.(2019成都市第二次诊断性检测)已知椭圆C：1(ab0)的短轴长为4，离心率为.(1)求椭圆C的标准方程；(2)设椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A，B，点M，N为椭圆C上位于x轴上方的两点，且F1MF2N，直线F1M的斜率为2，记直线AM，BN的斜率分别为k1，k2，求3k12k2的值.解：(1)由题意，得2b4，.又a2c2b2，a3，b2，c1.椭圆C的标准方程为1.(2)由(1)可知A(3，0)，B(3，0)，F1(1，0).据题意，直线F1M的方程为y2(x1).记直线F1M与椭圆C的另一个交点为M.设M(x1，y1)(y10)，M(x2，y2).F1MF2N，根据对称性，得N(x2，y2).联立得消去y，得14x227x90.由题意知x1x2，x1，x2，k1，k2，3k12k2320，即3k12k2的值为0.B组大题专攻强化练1.已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其中一个顶点是抛物线x24y的焦点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标.解：(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由题意得b，解得a2，c1.故椭圆C的标准方程为1.(2)因为过点P(2，1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，故可设直线l的方程为yk(x2)1(k0).由得(34k2)x28k(2k1)x16k216k80.因为直线l与椭圆C相切，所以8k(2k1)24(34k2)(16k216k8)0.整理，得2k10，解得k.所以直线l的方程为y(x2)1x2.将k代入式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.2.在直角坐标系xOy中，长为1的线段的两端点C，D分别在x轴，y轴上滑动，.记点P的轨迹为曲线E.(1)求曲线E的方程；(2)经过点(0，1)作直线l与曲线E相交于A，B两点，当点M在曲线E上时，求直线l的方程.解：(1)设C(m，0)，D(0，n)，P(x，y).由，得(xm，y)(x，ny)，所以得由|1，得m2n2(1)2，所以(1)2x2y2(1)2，整理，得曲线E的方程为x21.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，知点M的坐标为(x1x2，y1y2