认识中国传统数学_45608326.pdf

认识中国传统数学认识中国传统数学 冯立昇 清华大学科学技术史暨古文献研究所清华大学科学技术史暨古文献研究所 2008年10月13日 中国数学发展分期与传统数学概要中国数学发展分期与传统数学概要 珍贵的文化遗产 现存传统数学的典籍珍贵的文化遗产 现存传统数学的典籍 建立在算具基础上的数学 从筹算到珠算建立在算具基础上的数学 从筹算到珠算 清华的数学典籍资源及其数字化建设工作清华的数学典籍资源及其数字化建设工作 一 中国数学发展分期与传统数学概要一 中国数学发展分期与传统数学概要 数学在中国源远流长 它不仅历史悠久 而且成就辉煌 根据其自身发展的特点 可划分为六个时期 中国古代数学的萌芽与早期积累 先秦 时期 先秦 时期 中国古代数学体系的形成 秦 汉数学 秦 汉数学 中国古代数学的稳定发展 魏 晋至隋唐时期魏 晋至隋唐时期 中国古代数学 的繁荣 宋元时期宋元时期 传统数学的衰落 和中西数学的融合 明清时期明清时期 近代 数学的引进与现代数学的开拓时期 1840 1949年年 先秦数学先秦数学 原始公社末期 私有制和货物交换产生以后 数与形的概念有了进一步的发展 仰韶文化时 期出土的陶器 上面已刻有 等表 示1 2 3 4的符号 易 系辞 中说 上古 结绳而治 后世圣人易之以书契 这就是 说 到原始公社末期 人们已开始用文字符号 取代结绳记事了 西安半坡出土的陶器有用 1 8个圆点组成的等边三角形 图1 和分正 方形为100个小正方形的图案 半坡遗址的房 屋基址都是圆形和方形 为了画圆作方 确定 平直 人们还创造了规 矩 准 绳等作图与 测量工具 据 史记 夏本纪 记载 夏禹治水 时已使用了这些工具 商代中期 在甲骨文中已产生一套十进制数字 和记数法 图2 其中最大的数字为三万 与 此同时 殷人用十个天干和十二个地支组成甲 子 乙丑 丙寅 丁卯等60个名称来记60天的 日期 在周代 又把以前用阴 阳 符号构成的八卦表示8种事物发展为六十四卦 表示64种事物 公元前1世纪的 周髀算经 提 到西周初期用矩测量高 深 广 远的方法 并举出勾股形的勾三 股四 弦五以及环矩可 以为圆等例子 礼记 内则 篇提到西周贵族 子弟从九岁开始便要学习数目和记数方法 他 们要受礼 乐 射 御 书 数的训练 作为 六艺 之一的数已经开始成为专门的课程 西安半坡出土的陶器甲骨文中的十进制数字 算筹是中国古代的主要计算工具 用这种工具 进行计算和演算则称为筹算 春秋战国之际 筹算已得到普遍的应用 筹算记数法已使用十 进位值制 约公元前 4世纪的 墨经 描述这 种记数法时说 一少于二而多于五 说在建 位 这就是说 一在个位少于二 在十位就 多于五 每个数字的大小除由它本身所表示的 数值决定外 还要看它在整个数中所处的位置 算筹为建立高效的加 减 乘 除等运算方法 奠定了基础 这种位置制记数法对世界数学的 发展是有划时代意义的 秦汉数学秦汉数学 秦汉是中国古代社会的上升时期 经济和文化 均得到迅速发展 中国古代数学体系正是形成 于这个时期 它的主要标志是算术已成为一个 专门的学科的出现 汉书 艺文志 载有 许 商算术 2卷和 杜忠算术 16卷 但均已失传 1983年12月在湖北江陵张家山出土一本西汉初 年的竹简 算数书 图3 收有许多应用的 数学问题 现有传本的著作是公元前1世纪的 周髀算经 和公元1世纪的 九章算术 周髀算经 是一部讲述盖天学说的天文著 作 书中有较复杂的开方 分数运算和勾股定 理的应用等数学问题 竹简著作 算数书 抄写于西汉初年 约公元前2世 纪 成书时间应 更早 是一部比较 完整的 也是目前 可以见到的中国最 早的数学专著 全 书采用问题集形 式 共有70个小标 题 71条相当抽 象的公式 近百道 数学问题及其解 法 内容包括整数 和分数四则运算 比例问题 面积和 体积问题等等 竹简著作 算数书 抄写于西汉初年 约公元前2世 纪 成书时间应 更早 是一部比较 完整的 也是目前 可以见到的中国最 早的数学专著 全 书采用问题集形 式 共有70个小标 题 71条相当抽 象的公式 近百道 数学问题及其解 法 内容包括整数 和分数四则运算 比例问题 面积和 体积问题等等 九章算术 是战国 秦 汉封建社会创立并 巩固时期数学发展的总结 就其数学成就来 说 堪称是世界数学名著 例如分数四则运 算 今有术 西方称三率法 开平方与开立 方 包括二次方程数值解法 盈不足术 西 方称双设法 各种面积和体积公式 线性方 程组解法 正负数运算的加减法则 勾股形解 法 特别是勾股定理和求勾股数的方法 等 水平都是很高的 其中方程组解法和正负数加 减法则在世界数学发展上是非常领先的 就其 特点来说 它形成了一个以筹算算法为中心 与古希腊数学完全不同的独立体系 魏 晋至隋唐时期 的数学魏 晋至隋唐时期 的数学 魏 晋数学的发展 魏 晋时期出现的玄 学 不为汉儒经学束缚 各抒己见 思想 比较活跃 它诘辩求胜 又能善于运用逻 辑思维 分析义理 这些都有利于数学从 理论上加以提高 吴国赵爽注 周髀算 经 汉末魏初徐岳撰 九章算术 注 2 卷 已失传 魏末晋初刘徽撰 九章算 术 注10卷 263 九章重差图 1卷 已失传 都是出现在这个时期 赵爽与 刘徽的工作为中国古代数学体系奠定了理 论基础 赵爽是中国古代对数学定理和公式进行证明与推 导的最早的数学家之一 他在 周髀算经 书中 补充的 勾股圆方图及注 和 日高图及注 是十分重 要的数学文献 在 勾股圆方图及注 中他提出用 弦图证明勾股定理和解勾股形的5个公式 在 日 高图及注 中 他用图形面积证明汉代普遍应用的 重差公式 赵爽的工作是带有开创性的 在中国 古代数学发展中占有重要地位 刘徽约与赵爽同时 他继承和发展了战国时期名家和墨家 的思想 主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以 严格的定义 认为对数学知识必须进行 刘徽约与赵爽同时 他继承和发展了战国时期名家和墨家 的思想 主张对一些数学名词特别是重要的数学概念给以 严格的定义 认为对数学知识必须进行 析理析理 才能使数 学著作简明严密 他的 九章算术 注不仅是对 九章算 术 的方法 公式和定理进行一般的解释和推导 而且在 论述的过程中有很大的发展 例如 刘徽从率的定义出发 论述了分数运算和今有术的道理 并推广今有术得到合比 定理 他根据率 线性方程组和正负数的定义阐明方程组 解法中消元的道理 指出方程式个数少于未知数个数时 方程组的解只能是一个比值 在一个方程式中 正与负可 以同时变号 他指出 在开方求得整数后 还可以继续开 方 才能使数 学著作简明严密 他的 九章算术 注不仅是对 九章算 术 的方法 公式和定理进行一般的解释和推导 而且在 论述的过程中有很大的发展 例如 刘徽从率的定义出发 论述了分数运算和今有术的道理 并推广今有术得到合比 定理 他根据率 线性方程组和正负数的定义阐明方程组 解法中消元的道理 指出方程式个数少于未知数个数时 方程组的解只能是一个比值 在一个方程式中 正与负可 以同时变号 他指出 在开方求得整数后 还可以继续开 方 求其微数求其微数 这不仅解决了求无理根的问题 而且提 出了十进小数的方法 他创造割圆术 利用极限的思想证 明圆的面积公式 并算得圆周率 这不仅解决了求无理根的问题 而且提 出了十进小数的方法 他创造割圆术 利用极限的思想证 明圆的面积公式 并算得圆周率157 50和和3927 1250 他提 出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之 比恒为 他提 出用无穷分割的方法证明直角方锥与直角四面体的体积之 比恒为2 1 解决了一般立体体积的关键问题 在证明方 锥 圆柱 圆锥 圆台的体积时 刘徽实际上应用了下列 公理 等高的两立体 若其任意同高处的水平截面积成比 例 则这两立体体积亦成同样的比例 并根据这个公理 指出球的体积与其外切 解决了一般立体体积的关键问题 在证明方 锥 圆柱 圆锥 圆台的体积时 刘徽实际上应用了下列 公理 等高的两立体 若其任意同高处的水平截面积成比 例 则这两立体体积亦成同样的比例 并根据这个公理 指出球的体积与其外切 牟合方盖牟合方盖 的体积之比为 的体积之比为 4 为 彻底解决球的体积提出了正确的途径 为 彻底解决球的体积提出了正确的途径 南北朝数学的发展东晋以后 中国长期处于 战争和南北分裂的状态 在北方 由于当时社 会的需要 在 九章算术 的基础上 数学仍 在继续发展 孙子算经 夏侯阳算经 已失传 张丘建算经 就是这个时期的 著作 从留传下来的 孙子算经 与 张丘建 算经 来看 它们仍依 九章算术 的体例 甚至有些题目也是为了解释 九章算术 的算 法 也有一些难题和解法超出 九章算术 的 范围 并对后来数学的发展有着相当的影响 例如一次同余式组解法 等差级数求和 求公 差 求项数的方法和不定方程解法等 祖冲之父子的工作则是经济文化南移以后南方数学发 展的具有代表性的工作 他们在 九章算术 刘徽注 的基础上 把传统数学大大向前推进了一步 根据史 书的记载 祖冲之曾经注解 九章算术 并与他的 儿子祖暅共撰 缀术 六卷 这些著作均已失传 在 隋书 祖冲之父子的工作则是经济文化南移以后南方数学发 展的具有代表性的工作 他们在 九章算术 刘徽注 的基础上 把传统数学大大向前推进了一步 根据史 书的记载 祖冲之曾经注解 九章算术 并与他的 儿子祖暅共撰 缀术 六卷 这些著作均已失传 在 隋书 律历志 与李淳风 九章算术 注等零星记载 中 他们的数学工作主要有下面两项 圆周率据推测 祖冲之在刘徽割圆术的基础上 算出圆内接正 律历志 与李淳风 九章算术 注等零星记载 中 他们的数学工作主要有下面两项 圆周率据推测 祖冲之在刘徽割圆术的基础上 算出圆内接正6144边形和正边形和正12288边形的面积 从而得 到 边形的面积 从而得 到 3 1415926 3 1415927 他又创造了新的方法 得到圆周率两个分数值 即约率 他又创造了新的方法 得到圆周率两个分数值 即约率22 7和密率和密率355 113 祖冲之这一工作 使中国在圆周率计算方面 比西方 领先约一千年之久 祖暅公理和球体积祖暅总结了刘徽的有关工作 提出 祖冲之这一工作 使中国在圆周率计算方面 比西方 领先约一千年之久 祖暅公理和球体积祖暅总结了刘徽的有关工作 提出 幂势既同则积不容异幂势既同则积不容异 即等高的两立体 若其任 意高处的水平截面积相等 则这两立体体积必相等 这就是著名的祖暅公理 祖暅应用这个公理和刘徽的 即等高的两立体 若其任 意高处的水平截面积相等 则这两立体体积必相等 这就是著名的祖暅公理 祖暅应用这个公理和刘徽的 牟合方盖牟合方盖 模型 解决了刘徽尚未解决的球体积公式 模型 解决了刘徽尚未解决的球体积公式 牟合方盖牟合方盖 模型祖暅对模型祖暅对 牟合方盖牟合方盖 模型的应用模型的应用 隋 唐数学的发展隋炀帝好大喜功 大兴土木 客观上促进了数学 的发展 唐初王孝通的 缉古算经 主要是讨论土木工程中计算土 方 工程的分工 验收以及仓库和地窖的计算问题 反映了这个时期 数学发展的情况 已知不等高的长方棱台体积和上底 下底 高 长 的差 求上底 下底 高和长是一个三次方程问题 王孝通的主要贡 献是在 九章算术 的基础上 在不用数学符号的情况下 立出数字 三次方程 不仅解决了当时社会的需要 也为后来天元术的建立打下 基础 此外 对传统的勾股形解法 他也有所发展 已知勾股形的勾 股积与勾股差 或股弦差 求勾股 这类问题王孝通也是用数字三 次方程解决的 隋 唐数学的发展隋炀帝好大喜功 大兴土木 客观上促进了数学 的发展 唐初王孝通的 缉古算经 主要是讨论土木工程中计算土 方 工程的分工 验收以及仓库和地窖的计算问题 反映了这个时期 数学发展的情况 已知不等高的长方棱台体积和上底 下底 高 长 的差 求上底 下底 高和长是一个三次方程问题 王孝通的主要贡 献是在 九章算术 的基础上 在不用数学符号的情况下 立出数字 三次方程 不仅解决了当时社会的需要 也为后来天元术的建立打下 基础 此外 对传统的勾股形解法 他也有所发展 已知勾股形的勾 股积与勾股差 或股弦差 求勾股 这类问题王孝通也是用数字三 次方程解决的 唐初封建统治者继承隋制 唐初封建统治者继承隋制 656年在国子监设立算学馆 设有算学博 士和助教 学生 年在国子监设立算学馆 设有算学博 士和助教 学生30人 由太史令李淳风等编纂注释 算经十书 图人 由太史令李淳风等编纂注释 算经十书 图 9 作为算学馆学生用的课本 明算科考试亦以这些算书为准 李 淳风等编纂的 算经十书 对保存数学经典著作 为数学研究提供 文献资料方面是很有意义的 作为算学馆学生用的课本 明算科考试亦以这些算书为准 李 淳风等编纂的 算经十书 对保存数学经典著作 为数学研究提供 文献资料方面是很有意义的 他们给 周髀算经 九章算术 以 及 海岛算经 所作的注解 对读者是有帮助的 他们给 周髀算经 九章算术 以 及 海岛算经 所作的注解 对读者是有帮助的 隋唐时期 由于历法的需要 天算学家创立了二次函数的内插法 丰 富了中国古代数学的内容 隋唐时期 由于历法的需要 天算学家创立了二次函数的内插法 丰 富了中国古代数学的内容 206年 为了确定合朔时刻 刘洪在 乾 象历 中首次提出用一次内插公式来确定月球在 年 为了确定合朔时刻 刘洪在 乾 象历 中首次提出用一次内插公式来确定月球在n s n为正整数 为正整数 s 1 日共行的度数 日共行的度数 600年 隋代天文学家刘焯在 皇极历 中提出 一个推算日 月 五星视行度数的等间距二次内插公式 年 隋代天文学家刘焯在 皇极历 中提出 一个推算日 月 五星视行度数的等间距二次内插公式 727年一行 张燧 在他的 大衍历 中又提出一个不等间距的二次内插公式 唐代其他历法 都应用内插法进行计算 年一行 张燧 在他的 大衍历 中又提出一个不等间距的二次内插公式 唐代其他历法 都应用内插法进行计算 宋元数学宋元数学 960年 北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面 北宋的农业 手工业 商业空前繁荣 科学技术突飞 猛进 火药 指南针 印刷术三大发明就是在这种经 济高涨的情况下得到广泛应用 年 北宋王朝的建立结束了五代十国割据的局面 北宋的农业 手工业 商业空前繁荣 科学技术突飞 猛进 火药 指南针 印刷术三大发明就是在这种经 济高涨的情况下得到广泛应用 1084年秘书省第一次 印刷出版了 算经十书 年秘书省第一次 印刷出版了 算经十书 1213年鲍干澣之又进行翻 刻 这些情况为数学发展创造了良好的条件 从 年鲍干澣之又进行翻 刻 这些情况为数学发展创造了良好的条件 从11 14世纪约世纪约300年期间 出现了一批著名的数学家和数学 著作 如贾宪 年期间 出现了一批著名的数学家和数学 著作 如贾宪 11世纪中期 的 黄帝九章算法细草 已失传 刘益 世纪中期 的 黄帝九章算法细草 已失传 刘益 12世纪中期 的 议古根源 已失传 秦九韶的 数书九章 世纪中期 的 议古根源 已失传 秦九韶的 数书九章 1247 李冶 的 测圆海镜 李冶 的 测圆海镜 1248 和 益古演段 和 益古演段 1259 杨辉的 详解九章算法 杨辉的 详解九章算法 1261 日用算法 日用算法 1262 和 杨辉算法 和 杨辉算法 1274 1275 朱世杰的 算学启蒙 朱世杰的 算学启蒙 1299 和 四元玉鉴 和 四元玉鉴 1303 等 很多领域都达到古代数学的高峰 其中一些成就也是 当时世界数学的高峰 等 很多领域都达到古代数学的高峰 其中一些成就也是 当时世界数学的高峰 开方作法本源图开方作法本源图 增乘开方法与贾宪三角 二项 系数表 从开平方 开立方 到 增乘开方法与贾宪三角 二项 系数表 从开平方 开立方 到4次以上的开方 在认识上 是一个飞跃 实现这个飞跃的 是贾宪 杨辉在 九章算法纂 类 中载有贾宪 次以上的开方 在认识上 是一个飞跃 实现这个飞跃的 是贾宪 杨辉在 九章算法纂 类 中载有贾宪 增乘开平方 法 增乘开平方 法 增乘开立方法增乘开立方法 在 详解九章算法 中载有贾宪 的 在 详解九章算法 中载有贾宪 的 开方作法本源图开方作法本源图 增乘 方法求廉草 增乘 方法求廉草 和用增乘开方法 开 和用增乘开方法 开 4次方的例子 根据这些记 录可以确定贾宪已发现二项系 数表 创造了增乘开方法 这 两项成就对整个宋元数学发生 重大的影响 其中贾宪三角比 巴斯卡三角形早 次方的例子 根据这些记 录可以确定贾宪已发现二项系 数表 创造了增乘开方法 这 两项成就对整个宋元数学发生 重大的影响 其中贾宪三角比 巴斯卡三角形早600多年 多年 高次方程数值解法把增乘开方法推广到数字高次方 程 包括系数为负的情形 解法的是刘益 高次方程数值解法把增乘开方法推广到数字高次方 程 包括系数为负的情形 解法的是刘益 12世纪中 期 杨辉算法 中 田亩比类乘除捷法 卷下介 绍了原书中 世纪中 期 杨辉算法 中 田亩比类乘除捷法 卷下介 绍了原书中22个二次方程和个二次方程和1个四次方程 后者是用增 乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子 秦九韶 是高次方程解法的集大成者 他在 数书九章 中收 集了 个四次方程 后者是用增 乘开方法解三次以上的高次方程的最早例子 秦九韶 是高次方程解法的集大成者 他在 数书九章 中收 集了21个用增乘开方法解高次方程 最高次数为个用增乘开方法解高次方程 最高次数为10 的问题 为了适应增乘开方法的计算程序 秦九韶把 常数项规定为负数 他把高次方程解法分成各种类 型 如 的问题 为了适应增乘开方法的计算程序 秦九韶把 常数项规定为负数 他把高次方程解法分成各种类 型 如 n次项系数不等于次项系数不等于1的方程 奇次幂系数均为 零的方程 进行 的方程 奇次幂系数均为 零的方程 进行x y c代换后常数项变号的方程与常数 项符号不变而绝对值增大的方程等 方程的根为非整 数时 秦九韶采取继续求根的小数 或用减根变换方 程各次幂的系数之和为分母 常数为分子来表示根的 非整数部分 这是 九章算术 和刘徽注处理无理数 方法的发展 在求根的第 代换后常数项变号的方程与常数 项符号不变而绝对值增大的方程等 方程的根为非整 数时 秦九韶采取继续求根的小数 或用减根变换方 程各次幂的系数之和为分母 常数为分子来表示根的 非整数部分 这是 九章算术 和刘徽注处理无理数 方法的发展 在求根的第 2位数时 秦九韶还提出以一 次项系数除常数项为根的第 位数时 秦九韶还提出以一 次项系数除常数项为根的第 2位数的试除法 秦九韶的 方法比霍纳方法早 位数的试除法 秦九韶的 方法比霍纳方法早500多年 多年 高阶等差级数求和高阶等差级数求和起源于沈 括的 隙积术 杨辉在 详解九章算法 中讨论 了垛积的 3个特例 朱世杰把高阶等差级数求和 问题与二项系数表结合起来 得到更复杂的三角 形垛和岚形垛 内插法元代天文学家王恂 郭守敬等在 授时 历 1280 中解决了三次函数的内插值问题 秦九韶在 缀术推星 题 朱世杰在 四元玉鉴 如象招数 题都提到内插法 他们称为招差 术 朱世杰得到一个四次函数的内插公式 一次同余式组解法 孙子算经 一次同余式组解法 孙子算经 物不知数物不知数 题已提到 一次同余式组解法的例子 秦九韶把它一般化 在这个 方法中有一个必须解决的关键问题是求同余式 题已提到 一次同余式组解法的例子 秦九韶把它一般化 在这个 方法中有一个必须解决的关键问题是求同余式k iGi 1 mod ai 中的中的k i 式中 式中Gi M ai M a1a2 ap 秦 九韶在 数书九章 大衍类里 用更相减损的方法给出 秦 九韶在 数书九章 大衍类里 用更相减损的方法给出k i 一个计算程序 完满地解决了这个问题 此外 秦九 韶还讨论了模数 一个计算程序 完满地解决了这个问题 此外 秦九 韶还讨论了模数ai是收数 小数 通数 分数 元数 一般正整数 复数 是收数 小数 通数 分数 元数 一般正整数 复数 10n的倍数 非两两互素的情 形 并分别给出变上述 的倍数 非两两互素的情 形 并分别给出变上述4种数为两两互素的模数的方法 种数为两两互素的模数的方法 高次方程立法 用天元 相当于现在的高次方程立法 用天元 相当于现在的x 作为未知数符 号 立出高次方程 古代称为天元术 这是中国数学史 上首次引入符号 并用符号运算来解决建立高次方程的 问题 现存最早的天元术著作是李冶的 测圆海镜 作为未知数符 号 立出高次方程 古代称为天元术 这是中国数学史 上首次引入符号 并用符号运算来解决建立高次方程的 问题 现存最早的天元术著作是李冶的 测圆海镜 从天元术推广到四元的高次联立方程组 是宋元数学家 的又一项杰出的创造 留传至今并对这一杰出创造进行 系统论述的是朱世杰的 四元玉鉴 朱世杰的最大贡 献是提出四元消元法 其方法是先择一元为未知数 其 他元组成的多项式作为这未知数的系数 列成若干个一 元高次方程式 然后应用互乘相消法逐步消去这一未知 数 重复这一步骤便可消去其他未知数 得到一个一元 高次方程 最后用增乘开方法求解 从天元术推广到四元的高次联立方程组 是宋元数学家 的又一项杰出的创造 留传至今并对这一杰出创造进行 系统论述的是朱世杰的 四元玉鉴 朱世杰的最大贡 献是提出四元消元法 其方法是先择一元为未知数 其 他元组成的多项式作为这未知数的系数 列成若干个一 元高次方程式 然后应用互乘相消法逐步消去这一未知 数 重复这一步骤便可消去其他未知数 得到一个一元 高次方程 最后用增乘开方法求解 明清数学明清数学 明代进入了封建社会的晚期 封建统治 者实行极权统治 宣传唯心主义哲学 施行八股考试制度 在这种情况下 除 珠算外 数学发展逐渐衰落 16世纪末 以后 西方初等数学陆续传入中国 使 中国数学研究出现一个中西融合贯通的 局面 鸦片战争以后 近代数学开始传 入中国 中国数学便转入一个以学习西 方数学为主的时期 直到19世纪末与20 世纪初 近代数学研究才真正开始 珠算的普及从明初到明中叶 商品经济有所发展 和这种商业 发展相适应的是珠算的普及 明初 魁本对相四言杂字 珠算的普及从明初到明中叶 商品经济有所发展 和这种商业 发展相适应的是珠算的普及 明初 魁本对相四言杂字 1371 和 鲁班木经 和 鲁班木经 15世纪上半叶 的出现 说明珠算已十分流行 前者是儿童看图识字的课本 后者把算盘作为家庭必需用品列入 一般的木器家具手册中 随后 珠算著作也陆续出现 如吴敬 九章详注比类算法大全 世纪上半叶 的出现 说明珠算已十分流行 前者是儿童看图识字的课本 后者把算盘作为家庭必需用品列入 一般的木器家具手册中 随后 珠算著作也陆续出现 如吴敬 九章详注比类算法大全 1450 王文素 古今算学宝鉴 王文素 古今算学宝鉴 1524 徐心鲁 盘珠算法 徐心鲁 盘珠算法 1573 柯尚迁 数学通轨 柯尚迁 数学通轨 1578 朱载堉的 算学新说 朱载堉的 算学新说 1584 程大位 直指算法 统宗 程大位 直指算法 统宗 1592 等 随着珠算的普及 珠算算法和口诀也逐渐趋 于完善 等 随着珠算的普及 珠算算法和口诀也逐渐趋 于完善 早期传入的西方数学早期传入的西方数学1582年意大利传教士利玛窦到中国 年意大利传教士利玛窦到中国 1607 年以后 先后与徐光启翻译 几何原本 前年以后 先后与徐光启翻译 几何原本 前6卷 卷 1607 测量 法义 测量 法义 1卷 卷 1607 1608 与李之藻编译 圜容较义 与李之藻编译 圜容较义 1608 和 同文算指 和 同文算指 1613 1629年 徐光启被礼部任命在历局督 修历法 在他主持下 编译 崇祯历书 年 徐光启被礼部任命在历局督 修历法 在他主持下 编译 崇祯历书 137卷 崇祯历书 主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说 作为这一学说的数学 基础 希腊的几何学 欧洲的三角学以及纳皮尔算筹 伽利略比 例规等计算工具也同时介绍进来 在传入的数学中 影响最大的 是 几何原本 几何原本 是现传的中国第一部数学翻译著 作 绝大部分数学名词都是首创 其中许多至今仍在沿用 卷 崇祯历书 主要是介绍欧洲天文学家第谷的地心学说 作为这一学说的数学 基础 希腊的几何学 欧洲的三角学以及纳皮尔算筹 伽利略比 例规等计算工具也同时介绍进来 在传入的数学中 影响最大的 是 几何原本 几何原本 是现传的中国第一部数学翻译著 作 绝大部分数学名词都是首创 其中许多至今仍在沿用 清代数学家对西方数学做了大量的会通工作 并取得许 多独创性的成果 这些成果 如和传统数学比较 是有 进步的 但和同时代的西方比较 则明显落后了 清代数学家对西方数学做了大量的会通工作 并取得许 多独创性的成果 这些成果 如和传统数学比较 是有 进步的 但和同时代的西方比较 则明显落后了 传统数学的整理和研究雍正即位 传统数学的整理和研究雍正即位 1723 以后 对外 闭关自守 导致西方科学停止输入中国 对内对汉族士 大夫实行高压政策 在这种情况下 一般学者既不能接 触西方数学 又不敢过问经世致用之学 因而埋头于究 治古籍 乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学 派 以后 对外 闭关自守 导致西方科学停止输入中国 对内对汉族士 大夫实行高压政策 在这种情况下 一般学者既不能接 触西方数学 又不敢过问经世致用之学 因而埋头于究 治古籍 乾嘉年间逐渐形成一个以考据学为主的乾嘉学 派 1773年开设四库全书馆 辑录 永乐大典 保存佚 书和征集私家藏书 于 年开设四库全书馆 辑录 永乐大典 保存佚 书和征集私家藏书 于1781年编成 四库全书 先后 收集到 算经十书 和宋元时期的数学著作 纂修兼分 校官戴震 年编成 四库全书 先后 收集到 算经十书 和宋元时期的数学著作 纂修兼分 校官戴震 1724 1777 对 周髀算经 九章算 术 孙子算经 五经算术 对 周髀算经 九章算 术 孙子算经 五经算术 4部著作详加校 勘 改正许多误文夺字 对学者是有帮助的 部著作详加校 勘 改正许多误文夺字 对学者是有帮助的 随着 算经十书 与宋元数学著作的收集与注释 出现 了一个研究传统数学的高潮 其中能突破旧有框框并有 发明创造的有焦循 汪莱 李锐 李善兰等 和西方代 数学比较 他们的成果在时间上晚了一些 但是在没有 受到西方近代数学的影响下独立得到的 随着 算经十书 与宋元数学著作的收集与注释 出现 了一个研究传统数学的高潮 其中能突破旧有框框并有 发明创造的有焦循 汪莱 李锐 李善兰等 和西方代 数学比较 他们的成果在时间上晚了一些 但是在没有 受到西方近代数学的影响下独立得到的 二 珍贵的文化遗产 现存传统 数学典籍 二 珍贵的文化遗产 现存传统 数学典籍 数学在古代被称为算学或算术 是中国古代形 成体系的四大学科之一 它但源远流长 而且 成就辉煌 自秦汉以迄清末 出现了一批又一 批的优秀数学家 撰写了一部又一部数学典籍 据不完全统计 见于文献记载或收入目录的中 算典籍有 数学在古代被称为算学或算术 是中国古代形 成体系的四大学科之一 它但源远流长 而且 成就辉煌 自秦汉以迄清末 出现了一批又一 批的优秀数学家 撰写了一部又一部数学典籍 据不完全统计 见于文献记载或收入目录的中 算典籍有2千千6 7百种 其中现存的算学典籍 有 百种 其中现存的算学典籍 有1900余种 按年代分布可将现存的算学典籍 分为汉唐算书 宋元算书 明代算书和清代算 书 余种 按年代分布可将现存的算学典籍 分为汉唐算书 宋元算书 明代算书和清代算 书 1 汉唐算书汉唐算书 汉代至唐代一千多年的时间里 有许多数 学著作出现 但多数著作没有保存下来 现存的汉唐算学典籍有13种 这里列举4 种 1 算数书 算数书 在湖北江陵张家山出土一 本西汉初年的竹简 算数书 收有许多 应用的数学问题 现已整理出版 包括竹 简照片和释文 2 周髀算经 周髀算经 书 中包含的数学内容 主要有学习数学的 方法 用勾股定理 来计算高深远近和 比较复杂的分数计 算等现传本 周髀 算经 大约成书于 西汉时期 公元前 中包含的数学内容 主要有学习数学的 方法 用勾股定理 来计算高深远近和 比较复杂的分数计 算等现传本 周髀 算经 大约成书于 西汉时期 公元前 1世纪 南宋的传 刻本 世纪 南宋的传 刻本 1213 是目前 传世的最早刻本 收藏于上海图书馆 历代许多数学家都 曾为此书作注 三 国时赵爽和唐代李 淳风的注释最为有 名 清华有明毛晋 校刻本 是目前 传世的最早刻本 收藏于上海图书馆 历代许多数学家都 曾为此书作注 三 国时赵爽和唐代李 淳风的注释最为有 名 清华有明毛晋 校刻本 周髀算经 中的弦图 周髀算经 中的弦图 3 九章算经 九章算经 通称 九章算术 通称 九章算术 是中国 古代数学典籍中最重 要的一种 九章算 术 大约成书于西汉 末年 它汇总了战国 和西汉时期数学发展 的成果 又几经增删 而最后成书 九章 算术 全书共分九 章 收有 是中国 古代数学典籍中最重 要的一种 九章算 术 大约成书于西汉 末年 它汇总了战国 和西汉时期数学发展 的成果 又几经增删 而最后成书 九章 算术 全书共分九 章 收有 246个数学 问题 南宋的传刻本 个数学 问题 南宋的传刻本 残本残本 是目前传世的 最早刻本 是目前传世的 最早刻本 4 敦煌算书 敦煌算书 敦煌卷子中几部唐代算书的残 卷 现藏欧洲 下图为伦敦大英博物馆藏敦煌 千佛洞算经残片 唐人写卷 2宋元算书宋元算书 宋元时期是中国数学最辉煌的时代 出现了李冶 秦九绍 杨辉和朱世杰 宋元四大家 等伟大的数 学家 取得了许多领先世界的数学成果 宋元数学 典籍的精品实际上就是这四大家的代表作 现存宋 元数学典籍有约 宋元时期是中国数学最辉煌的时代 出现了李冶 秦九绍 杨辉和朱世杰 宋元四大家 等伟大的数 学家 取得了许多领先世界的数学成果 宋元数学 典籍的精品实际上就是这四大家的代表作 现存宋 元数学典籍有约20种 列举种 列举3种 种 1 数书九章 数书九章 秦九绍 数书九章 数书九章 秦九绍1247年 写成杰作 南宋时称为 数学大略 或 数术大 略 明朝时又称为 数学九章 年 写成杰作 南宋时称为 数学大略 或 数术大 略 明朝时又称为 数学九章 北图藏 数书九章 沈钦裴 宋景昌校订本北图藏 数书九章 沈钦裴 宋景昌校订本 2 测圆海镜 十二 卷 测圆海镜 十二 卷 1248 这本中国古 代的重要数学著作的贡献 主要有两点 天元术 就是设 这本中国古 代的重要数学著作的贡献 主要有两点 天元术 就是设 天元一天元一 为未知 数 根据问题的已知条 件 列出两个相等的多项 式 经相减后得出一个高 次方程 为未知 数 根据问题的已知条 件 列出两个相等的多项 式 经相减后得出一个高 次方程 天元开方式天元开方式 勾股形解法已知勾股形 的三边 任二边之和 任 二边之差 及勾股积等 勾股形解法已知勾股形 的三边 任二边之和 任 二边之差 及勾股积等14 项中的任二项 求解勾股 形 求勾股形容方 内接 正方形 边长和容圆 内 切圆 直径等 是古代传 统数学的重要内容之一 项中的任二项 求解勾股 形 求勾股形容方 内接 正方形 边长和容圆 内 切圆 直径等 是古代传 统数学的重要内容之一 3 四元玉鉴 四元玉鉴 1303 朱世杰撰 全书三卷 24门288问 从所包含的数学内 容来看 高次方程 组 最多可包括四个 未知数 解法 高阶 等差级数求和 高 次内插法等等都是 书中的重要内容 朱世杰已经通晓了 任意高次的招差法 公式 这比西方要 早四百余年 3 明代算书明代算书 明代传统数学的理论研究明显衰落 数 学著作也少新意 但实用数学和珠算著 作却非常盛行 明末西方数学传入后 又出现了许多翻译和编译西方数学的著 作 现存的明代数学典籍有三十多种 A 明代传统数学典籍明代传统数学典籍 现存的明代传统数学著作有十三 四种 现存的明代传统数学著作有十三 四种 清华图书馆藏 直指算法统宗 清刻本清华图书馆藏 直指算法统宗 清刻本 直指算法统宗 的日本训点本 直指算法统宗 的日本训点本 B 明代翻译 编译或论述西方数学知识的 著作与会通中西数学的著作 明代翻译 编译或论述西方数学知识的 著作与会通中西数学的著作 明末西方数学的传入 使中国数学知识的结构发 生了重要变化 低谷中的中国数学开始有了新的 起色 不仅出现了西方数学典籍的中文译本 而 且中国学者也开始撰写研究西算的著作 有约二 十种 最著名的是 几何原本 几何原本 前6卷 1607 的中文译 本 利玛窦与徐光启合作翻译 是现存的中国第 一部数学翻译著作 绝大部分数学名词都是首 创 其中许多至今仍在沿用 对明清数学有很大 的影响 几何原本 完整的中译本 几何原本 完整的中译本 清华藏 几何原本 清刻本清华藏 几何原本 清刻本 4清代算书清代算书 清代算书汗牛充栋 现存的数学典籍 90 以上是清代的作品 有1700多种 由于不断有新材料发现 准确的数字还 难以统计 影响较大的数学家都有著作 集 日本京都大学藏 数理精蕴 日本京都大学藏 数理精蕴 中国传统数学一直与计算工具有着密不可分关系 算 具在传统数学的发展中始终扮演着重要的角色 早在春秋 战国之际 中国传统数学一直与计算工具有着密不可分关系 算 具在传统数学的发展中始终扮演着重要的角色 早在春秋 战国之际 约约500B C 已采用算筹记数和计算 到西汉时期 已采用算筹记数和计算 到西汉时期 206B C A D 24 已建立了筹算算法体系 此后筹算算法 不断得到发展 形成了中国独特的数学传统 唐宋时期 已建立了筹算算法体系 此后筹算算法 不断得到发展 形成了中国独特的数学传统 唐宋时期 A D 618 1126 筹算方法不断简化 同时算法歌诀十分盛 行 产生了改革计算工具的需求 从而导致一种新型的高 效算具 筹算方法不断简化 同时算法歌诀十分盛 行 产生了改革计算工具的需求 从而导致一种新型的高 效算具 珠算盘的出现 宋元时期 珠算盘的出现 宋元时期 A D 960 1368 珠算 开始与算筹并行 特别是在民间得到流传 到了明代 珠算 开始与算筹并行 特别是在民间得到流传 到了明代 A D 1368 1644 进而取代算筹成为主要的算具 珠算现 仍被采用 至今具有强大的生命力 中国筹算和珠算方法 先后传入朝鲜 日本和越南等汉字文化圈国家 对这些国 家数学的发展产生了深远的影响 进而取代算筹成为主要的算具 珠算现 仍被采用 至今具有强大的生命力 中国筹算和珠算方法 先后传入朝鲜 日本和越南等汉字文化圈国家 对这些国 家数学的发展产生了深远的影响 三 建立在算具基础上的数学 从筹算到珠算 三 建立在算具基础上的数学 从筹算到珠算 1 算筹 十进位值制的表数方法1 算筹 十进位值制的表数方法 2 筹算的各种演算程序2 筹算的各种演算程序 3 筹算的改革与珠算的诞生3 筹算的改革与珠算的诞生 4 筹算表达式的书面化与数天元术的产生4 筹算表达式的书面化与数天元术的产生 5 珠算的普及与筹算在中国的失传5 珠算的普及与筹算在中国的失传 6 筹算和珠算所反映的东亚数学特色6 筹算和珠算所反映的东亚数学特色 1 算筹 十进位值制的表数方法1 算筹 十进位值制的表数方法 从有文字记载开始 中国的记数法就遵循十 进制 在殷商时期 10 从有文字记载开始 中国的记数法就遵循十 进制 在殷商时期 1000B C 之前 甲骨文中已 开始采用十进制数字和记数法 其中最大的数字 为三万 但甲骨文和钟鼎文中没有出现 之前 甲骨文中已 开始采用十进制数字和记数法 其中最大的数字 为三万 但甲骨文和钟鼎文中没有出现 算算 筹筹 二字 说明商 西周时期没有发明算筹 春秋战国时期是中国科学与技术发展的一个 重要时期 需要处理大量比较复杂的数字计算问 题 一种极为重要的计算方法 二字 说明商 西周时期没有发明算筹 春秋战国时期是中国科学与技术发展的一个 重要时期 需要处理大量比较复杂的数字计算问 题 一种极为重要的计算方法 筹算方法应运 而生 现有的文献和文物也证明筹算出现在春秋 战国时期 例如 筹算方法应运 而生 现有的文献和文物也证明筹算出现在春秋 战国时期 例如 算算 和和 筹筹 二字出现在春秋战国 时期的著作 如 仪礼 孙子 老子 二字出现在春秋战国 时期的著作 如 仪礼 孙子 老子 管子 墨经 荀子 等 中 管子 墨经 荀子 等 中 筹算是指用算筹进行的计算和演算 所谓算筹 有时也称 筹算是指用算筹进行的计算和演算 所谓算筹 有时也称 算算 或或 筹筹 是用 来记数或计算的一种由竹 木或其他材 料制作的工具 小棍 老子 提到 是用 来记数或计算的一种由竹 木或其他材 料制作的工具 小棍 老子 提到 善计者不用筹策善计者不用筹策 可见春秋战国之 际 用筹计算已非常普遍 约公元前 4 世纪的 墨经 描述这种记数法时说 可见春秋战国之 际 用筹计算已非常普遍 约公元前 4 世纪的 墨经 描述这种记数法时说 一少于二而多于五 说在建位 一少于二而多于五 说在建位 这就 是说 一在个位少于二 在十位就多于 五 每个数字的大小除由它本身所表示 的数值决定外 还要看它在整个数中所 处的位置 筹算记数法已使用十进位值 制 这就 是说 一在个位少于二 在十位就多于 五 每个数字的大小除由它本身所表示 的数值决定外 还要看它在整个数中所 处的位置 筹算记数法已使用十进位值 制 关于算筹形状和大小 记载最早见于 汉 书 关于算筹形状和大小 记载最早见于 汉 书 律历志 根据记载 算筹是直径一分 合 0 23cm 长六寸 合13 69cm 的圆形竹棍 以271根为一 律历志 根据记载 算筹是直径一分 合 0 23cm 长六寸 合13 69cm 的圆形竹棍 以271根为一 握握 算筹的实物已出土近20批 如1954年在湖南 长沙战国墓 1986年在甘肃放马滩战国墓都出 土过竹制的算筹 更多的算筹是在汉墓中都出 的 如在陕西千阳县发现西汉宣帝时期 73 49 算筹的实物已出土近20批 如1954年在湖南 长沙战国墓 1986年在甘肃放马滩战国墓都出 土过竹制的算筹 更多的算筹是在汉墓中都出 的 如在陕西千阳县发现西汉宣帝时期 73 49B C 的骨制算筹三十多根 大小长短和 汉书 的骨制算筹三十多根 大小长短和 汉书 律历志 的记载基本相同 在湖北江陵 凤凰山汉墓出土了西汉文帝时期 179 157 律历志 的记载基本相同 在湖北江陵 凤凰山汉墓出土了西汉文帝时期 179 157B C 的竹制算筹一束 长度比千阳县发 现的算筹稍大一点 的竹制算筹一束 长度比千阳县发 现的算筹稍大一点 图1 为陕西旬阳出土的西汉象牙算筹 图1 为陕西旬阳出土的西汉象牙算筹 根据文献记载 算筹在表示数目时 可摆成 纵式和横式两种形式 任何数都是由九个纵排 数字和九个横排数字按个 百 万等用纵筹 十 千等用横筹来表示 零用空位表示 筹算 一出现 就严格遵循十进位值制记数法 九以 上的数就进一位 同一个数字放在百位就是几 百 放在万位就是几万 五以下数用几根筹表 示几 6 7 8 9四个数目 用一根筹放在上 边表示五 余下来每一根筹表示一 根据文献记载 算筹在表示数目时 可摆成 纵式和横式两种形式 任何数都是由九个纵排 数字和九个横排数字按个 百 万等用纵筹 十 千等用横筹来表示 零用空位表示 筹算 一出现 就严格遵循十进位值制记数法 九以 上的数就进一位 同一个数字放在百位就是几 百 放在万位就是几万 五以下数用几根筹表 示几 6 7 8 9四个数目 用一根筹放在上 边表示五 余下来每一根筹表示一 123 4 5 6 7 8 9 表示一个多位数字时 各位值的数目从左到 右排列 纵横相间 规则是 表示一个多位数字时 各位值的数目从左到 右排列 纵横相间 规则是 纵十横 百立 千僵 千 十相望 万 百相当 纵十横 百立 千僵 千 十相望 万 百相当 并以空位 表示零 数4368 用算筹 或筹 表示就是 并以空位 表示零 数4368 用算筹 或筹 表示就是 很显然 筹算记数法 除所用的数字 和现今通用的印度一阿拉伯数字形式不 同外 和现在的十进位值制置记数法实 质是一样的 在当时 筹算记数法是世 界上最先进的记数制 它对中国数学的 以算法为中心的特点的形成起了奠基性 的作用 很显然 筹算记数法 除所用的数字 和现今通用的印度一阿拉伯数字形式不 同外 和现在的十进位值制置记数法实 质是一样的 在当时 筹算记数法是世 界上最先进的记数制 它对中国数学的 以算法为中心的特点的形成起了奠基性 的作用 2 筹算的各种演算程序 筹算的运算程序在 九章算术 约 1 筹算的运算程序在 九章算术 约 100B C 00B C 数术记遗 约 数术记遗 约A D 200A D 200 孙 子算经 约 孙 子算经 约A D 300 400A D 300 400 夏侯阳算经 约 夏侯阳算经 约A D 400 500A D 400 500 和 张丘建算经 中 和 张丘建算经 中 A D 500 600A D 500 600 等著作都有介绍 负数出现 后 算筹分成红黑两种 红筹表示正数 黑筹 表示负数 算筹还可以表示各种代数式 进行 各种代数运算 方法和现今的分离系数法相似 下面举例具体介绍筹算的演算程序和方法 等著作都有介绍 负数出现 后 算筹分成红黑两种 红筹表示正数 黑筹 表示负数 算筹还可以表示各种代数式 进行 各种代数运算 方法和现今的分离系数法相似 下面举例具体介绍筹算的演算程序和方法 筹算的乘除法筹算的乘除法 乘法 示例乘法 示例 孙子算经 卷上题求81 81 孙子算经 卷上题求81 81 动画演示 动画演示 筹算乘法运算 筹式 筹算乘法运算 阿拉伯数字 筹算乘法运算 筹式 筹算乘法运算 阿拉伯数字 除法 示例除法 示例 孙子算经 卷上题 求6561 9 孙子算经 卷上题 求6561 9 动画演示 动画演示 筹算除法运算 筹式 筹算除法运算 阿拉伯数字 筹算除法运算 筹式 筹算除法运算 阿拉伯数字 筹算的开方法筹算的开方法 筹算开平方 示例 九章算术 少广章题 动画演示 筹算开平方运算 筹式 筹算开平方运算 阿拉伯数字 筹算开平方 示例 九章算术 少广章题 动画演示 筹算开平方运算 筹式 筹算开平方运算 阿拉伯数字 筹算解线性方程组筹算解线性方程组 筹算解线性方程组方法 示例 九章算术 方程章题 求解线性方程组 动画演示 例1 例2 筹算解线性方程组方法 示例 九章算术 方程章题 求解线性方程组 动画演示 例1 例2 筹算增乘开方法筹算增乘开方法 高次方程数值解法高次方程数值解法 筹算增乘开方法 示例 秦九韶 数学九章 卷五题 动画演示 例1 筹算增乘开方法 示例 秦九韶 数学九章 卷五题 动画演示 例1 3 筹算的改革与珠算的出现3 筹算的改革与珠算的出现 计算技术的改革计算技术的改革算筹是中国古代的主要计算工 具 它具有简单 形象 具体等优点 但也存在布筹 占用面积大 运筹速度加快时容易摆弄不正而造成错 误等缺点 因此很早就开始进行改革 现传本 数术 记遗