等比数列及其前n项和 （理） 课件.ppt

等比数列及其前n项和 知识梳理 1 等比数列的概念 1 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的比等于非零常数 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 公比通常用字母q q 0 表示 2 同一个 公比 q 2 如果三个数a G b成等比数列 那么G叫做a与b的 其中G 等比中项 2 等比数列的通项公式及前n项和公式 a1qn 1 3 等比数列的性质 已知 an 是等比数列 Sn是数列 an 的前n项和 1 若k l m n k l m n N 则有ak al 2 当q 1 或q 1且n为奇数时 Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比数列 其公比为 am an qn 答案1 4 2015 全国 卷 在数列 an 中 a1 2 an 1 2an Sn为 an 的前n项和 若Sn 126 则n 答案6 5 2014 江苏卷 在各项均为正数的等比数列 an 中 若a2 1 a8 a6 2a4 则a6的值是 解析因为a8 a2q6 a6 a2q4 a4 a2q2 所以由a8 a6 2a4得a2q6 a2q4 2a2q2 消去a2q2 得到关于q2的一元二次方程 q2 2 q2 2 0 解得q2 2 a6 a2q4 1 22 4 答案4 考点一等比数列基本量的运算 例1 2015 安徽卷 已知数列 an 是递增的等比数列 a1 a4 9 a2a3 8 则数列 an 的前n项和等于 考点二等比数列的性质及应用 例2 公比为2的等比数列 an 的各项都是正数 且a3a11 16 则log2a10 考点三等比数列的判定与证明 例3 已知数列 an 的前n项和为Sn 在数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且an Sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 2 求数列 bn 的通项公式 考点三等比数列的判定与证明 例3 已知数列 an 的前n项和为Sn 在数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且an Sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 2 求数列 bn 的通项公式 训练1 1 已知正项数列 an 为等比数列 且5a2是a4与3a3的等差中项 若a2 2 则该数列的前5项的和为 2 设 an 是首项为a1 公差为 1的等差数列 Sn为其前n项和 若S1 S2 S4成等比数列 则a1的值为 训练1 1 已知正项数列 an 为等比数列 且5a2是a4与3a3的等差中项 若a2 2 则该数列的前5项的和为 2 设 an 是首项为a1 公差为 1的等差数列 Sn为其前n项和 若S1 S2 S4成等比数列 则a1的值为 训练2 1 2016 南京 盐城调研 已知各项均为正数的等比数列 an 中 a1a2a3 5 a7a8a9 10 则a4a5a6等于 2 在等比数列 an 中 各项均为正值 且a6a10 a3a5 41 a4a8 5 则a4 a8 规律方法证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法 其他方法只用于填空题中的判定 若证明某数列不是等比数列 则只要证明存在连续三项不成等比数列即可 训练3 设数列 an 的前n项和为Sn 已知a1 1 Sn 1 4an 2 1 设bn an 1 2an 证明 数列 bn 是等比数列 2 求数列 an 的通项公式 思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 易错防范 1 特别注意q 1时 Sn na1这一特殊情况 2 由an 1 qan q 0 并不能立即断言 an 为等比数列 还要验证a1 0 3 在运用等比数列的前n项和公式时 必须注意对q 1与q 1分类讨论 防止因忽略q 1这一特殊情形而导致解题失误 4 Sn S2n Sn S3n S2n未必成等比数列 例如 当公比q 1且n为偶数时 Sn S