高考试题表述上不能触碰的“高压线”.pdf

2 0 1 5年 第 5 4卷 第 5期 数 学通报 5 3 高考试题表述上不能触碰 任 志瑜 的 高压线 薛文 叙 王 尚 志 北方交通大学 附属 中学 1 0 0 0 8 1 北京石油 附中 1 0 0 0 8 3 首都师范大学 1 0 0 0 4 8 数学 问题 很 少 采用 声 音 的抒 情 表 达 这 大 概 也 是学科 之 间 的 不 同 特 性 所 决定 的 数 学 问 题 特 别讲究准确 严谨 科 学 自然 要求采 用文字 语 言 图表语言 符号语 言进行恰 当科学地组合 自 然流畅地表达本意 特别是具有 决定全体考生命 运 的高考试题 是在命题者不可能对应试者有丝 毫解释或补充 的情况下 应试者完全依靠试题表 述 的语 言信 息 独 立 地 分 析 问题 与 解 决 问 题 的 因 此 命题者怎样让应试者 准确完整地理解 问题 的 原 意 不发 生 歧义 甚 至 误 解 这 对 于考 生 至关 重 要 也 给命题 者 提 出 了更 高 的要 求 下面 笔 者就 以近 年部 分 高考 数 学 试 题 为例 努 力 为 所 有 为 师 者 树立一块命题 时特别注意 的 高压线 提示界 碑 以期在此界碑的引导下 创意出一道道高品质 的数 学 问题 1 零错 误 的底 线 任何 的考试 都不 能容 忍有 试 题错 误 所 以 我 们命题者要坚守 试题零错误 的底线意识 比如 试题 表 达里 将 图 形 中 的 虚 线 画成 了实 线 几何 体 位 置就 完全 颠 倒 一 个 小 数 点 的位 置 错 误 就 可 能 导 致该 题 问题 多多 因此 零错 误 是不 能 破 的底线 但 2 0 1 4年高考福建理科第 1 0题似乎出现 了 遗 憾 用 a代 表 红球 b代表 蓝 球 C 代 表黑 球 由加 法 原理 及 乘 法 原 理 从 1个 红球 和 1个 蓝 球 中取 出若干个球 的所 有取法 可 由 1 n 1 b 的展 开 式 1 a 6 n 6表示 出来 如 1 表 示 一 个 球 都 不取 a 表 示 取 出一 个 红 球 而 n 6 表 示 把 红 球 和蓝 球都 取 出来 以此 类 推 下 列各 式 中 其 展 开 式 可用来 表 示 从 5个 无 区别 的 红 球 5个 无 区 别的蓝球 5个有区别 的黑球中取出若干个球 且 所 有 的蓝球 都 取 出或都 不 取 出的所 有取 法 的是 A 1 a a 口 a n 1 b 1 c B 1 4 a 1 4 b 4 b 4 b 4 b 4 b 1 4 c C 1 4 a 1 6 b 4 b 4 b 4 b 1 4 c D 1 4 口 1 4 b 1 4 c 4 C 4 c 4 C 4 c 本题 的表述存在一些问题 第一 表 述 的科 学 性 有 待 斟 酌 按 照 题 意 对 5 个 有 区别 的黑球 第 一个 球 的取 与不 取用 1 C 表示 因为球 是 有 区别 的 所 以第 二 个球 的取 与 不取就再不能用 1 4 c 来 表示 了 应该 区别开来 如第一个球的取与不取用 1 4 C 表示 第二个 球 的取与 不取 用 1 4 C 表 示 以此 类 推 第 五个 球 的 取 与不 取 用 1 4 C 表示 所 以 5个 有 区别 的 黑 球 取 出若 干 个 球 的表 示 应 该 是 1 4 C 4 4 c C 4 C C c C 所 以题 目选 择 支 给 出 的 表 达 式 严格地讲应该是错误的 而且是知识性的错误 第 二 有失 公 正选 才 的考试 本意 考 生在 只关 注 5个 无 区 别 的红 球 取 出若 干 这 一 个 要 求 下 对 四个选择支进行 比较 只有 A最接近答案 但 这 样就 人 为地 为小 聪 明考 生轻 松高 出别 人 5分 提 供 了机会 对高考这样几乎是具有决定人生命运 的选 拔性 考试 有 失公 允 当然 此题采用多项式展开式来解读取球情 况 是很有数学应用于生活创意的 高考命题是艰巨与工作 特别是好 的试题命 制十 分 困难 即使 这样 也 不允 许试 题 出现 一 些科 学性 的 问题 零 错误 的底线 万万 不能 破 2 晦涩难懂 的警戒线 考题 首 先要 让 考 生 十 分 清 楚 题 目的本 意 将 其精力集 中于解决问题的全面理解 与深刻分析 但高考试卷 中也不乏各种原因而出现因题 目表述 的晦涩难懂 让应试者 只能凭经验猜想甚至主观 臆 断 当然 也 因晦 涩 难 懂 的表 述 影 响 了 考 生 真 正 的发挥 这 显然 不 是 真 正 考 查 学 生 水 平 与 能 力 的 5 4 数 学通报 2 0 1 5年 第 5 4卷第 5期 正 道 例 2 0 1 1 年高考广东文理科试题 在平面直角坐标系 x o y上 给定抛物线 L Y 实数 P q 满足P 一4 q 0 z 是方程 一 q 一0的两根 记 9 P q 一ma x I z l J l 1 1 1 过点A P P P 0 作 L的切线 交 Y轴于 点 B 证明 对 线段 AB上 的任 一 点 Q P q 有 q 一 2 设 M a 6 是定 点 其 中 口 b满 足 a 一4 6 0 n 0 过 M a 6 作 L的两条 切线 l 切 点 分别为 E p 1 2 E 户 z 1 z2 z z与 Y轴 分 别 交于 F F 线段 EF上异 于两 端点 的点 集 记 为 X 证 明 M a 6 X I P I g z 恒成立 则实数 b的取值 范 围是 第一 这道题初读 的感觉就和我们平常 课本 所学和各类创新性考题的 新定义 陈述方式不一 样 一 倒 装 句 再 读 第 二 遍 的 时候 也 有 点 绕 的 感 觉 难 于快 速 理 解 题 意 其 实 将 本 题 新 定 义 的 中间段这样表述 对函数 g z zED 若存在 函数 y h z 对任意 E J 两个点 h g 总是关 于点 f 对 称 那 么称 Y一 E 为 g 关于 z 的 对称 函数 这 样 学 生就 感 到 亲 切 自然 了 后 面用 新 定 义 解 决 新 问题 也 就不 会再 有 我是 否真 正读 懂 了新 定义 的 心理 担忧 第二 前面表述有点 绕 的新定义是在说 曲 线关于曲线对称 这样的知识大学都不要求 而用 在 考 查 中学 生 的高 考 试 题 上 是 不 是 有 点 不 太 合 适 况且后面要 解决的问题却 又是 曲线关于直线 对 称 这样 的试 题 设 计 一学 了不 用 是 否 合 理 也 很值得商榷 第三 要学生解决的问题 若 h z 是 g z 一 J 4 一z 关于直线 3 x b的 对称函数 且 h g z 恒成立 则实数 b的取值范 围是 学生通过画出确定的半 圆和斜率为 3的 直线 由 h g 的几 何直 观很 容 易就 得到 了 答案 也 就是 说 题 干 前 面 绕 来 绕 去 的 表 述 是 多 余的 真正成为了 干扰 简洁严谨是数学重要的特点 考题 的叙 述简 洁尤其重要 试题一 目了然 考生很 容易理解题 目 含义 不 影 响考 查能 力与 区分 考 生 5 超越 考 生理 解 能力 的 彩虹 线 彩虹一一看似美 丽 但无从企 及 这种 彩虹 美丽 的思想 往 往 也会 被 命 题 者 知 觉 不 自觉 地 采 用 其实 考试本 身不是 目的 它是以一个个 数学 问题 的解决 为 途 径 来 诊 断 甄 别 学 生 的一 种 手 段 所 以使 用超 标 内容 特别 是 应试 考生 理解 程 度 和不 知 所云 的表 述形 式 来考 查学 生 显然 就失 去 了考 试 的本意 更 是在 消 减让 学生 学 习数 学 的价值 而考 生愿 意在 自己有 一定 难度 的 问题 上再 三 努 力 其 实很 大程 度 上 是 因 为 问题 的表 述 让 考 生 感 到 亲切 和熟 悉 这 种 并 不 难 的 感觉 源 自试 题 文字 图表 符号语言的第一直觉 恰恰就是这读 着 看 着 的第一 感 觉在 很大 程 度上 决定 考生 要 冲 要 退 的 态度 例 2 0 1 0年高考福建理科最末选择题 对于具 有 相 同定 义 域 D 的 函数 f z 和 g 若存 在 函数 h 惫 b k b为 常数 对 任给的正数 存 在相应 的 E D 使得 当 z D 且 z z 时 总 有 f x 一 gh zx 1 的 四 组 函数 如 下 f z g z 厂 1 0 2 g 竺 5 6 数 学通报 2 0 1 5年 第 5 4卷第 5期 厂 一 g z 91 2 厂 z g 一2 x 1 一e 一 其 中 曲线 Y 一 与 g 存在 分渐近 线 的是 A B C D 这道题所 给 的 分 渐近线 定义 涉及三 个量 词 比大学 微 积分 中 极 限定义 还难 理 解 就是 上 了大 学数 学 系 的学生 都不 容 易读懂 这 个概 念 和理 清题意 更何况在处于高度紧张状态下的高考 场 学生 而且所给 四组八个函数也不全为学生所熟 悉 心 中没有 了函数 图像 轮廓 对 晦涩 难懂 的定 义 就更 是 抽象 得 一 头 雾 水 而 且 即使 学 生 从 代 数 方 面理解了这个概念 但后面 的问题也是 比求函数 极 限 的问题 更 难 根 本 不 可 能 是 在 学 生 真 正 理 解 了题意基础上的解 决问题 这样靠猜靠蒙得分 的 考题 不 只是 没有 意 义 甚 至 发挥 着反 面 的作 用 试 题所 涉 及 的数 学 知 识 和 方 法 的 深 度 和 广 度 切合 中学数 学 教学 和考 生 学 习的实 际 也应 该 是 命题 的 一个 重要 原则 6 脱 离 学 生生活 现 实与 数 学本 身 的虚假 线 让 考 生通 过 自己感 到 很 现 实 的生 活 问题 社 会 问题 的解 决 来 增 强 数 学 有 用 数 学 好 玩 的 学 习信心 作为高考试题更应该在 这个方 向上发 挥 指挥棒 作用 但有 的考题脱离实际 违背客观 而成 为虚 假 问题 有 的考题 人为捏 造 痕 迹严 重 甚 至 失去 了数学 本 身 的意义 与价 值 例2 0 1 1年 高考 湖南 文科 第 1 5 题 已知 圆 C 一1 2 直 线 L 4 z 3 y一2 5 1 圆 C的 圆心 到直 线 L 的距 离为 2 圆 C上任 意一 点 A 到直 线 L 的距 离小 于 2的概 率 为 这道题第 2 问是 确定性情况 中算 比例的问 题 根本 没有 随机试验 怎么能谈 概率呢 这 个问题尽管学生会解 但试题本身对我们理解数 学没好处 概率是随机现象讨论的内容 如果没有 随机试 验 谈 不上 概 率 而 现在 把 一些 确定 性 现象 中算 比例的题 目当成概率题来做 这是错误的 例 2 0 1 4年高 考北 京理 科 最末 题 对 于 数对 序 列 P 口 b 1 n 2 b 2 n b 记Tl P a 1 b 1 Tk P 一 b ma x T 一 l P a l a 2 a 2 忌 n 其 中 ma x T 1 P l 口 z 口 是 丁 一 P 和 a a 口 中的最大值 I 对 于 P 2 5 4 1 求 T 1 P T 2 P 的值 记 m为 a b C d四个数中的最小值 对 于由两个数对 n 6 C 组成 的数对序 列 P 口 6 c 和 P f n 6 试分别 对 a和 m d 比较 T P 和 T P 的大小 在 由五 个 数 对 1 1 8 5 2 1 6 1 1 1 1 1 1 4 6 组成 的所有数 对序列 中 写 出 一 个数对序列 P使 T 5 P 最小 并求 T 5 P 的值 这是北京 自 2 0 0 7年单独命题就着力探索 让 学 生在 全新 背 景 下 学 习新 知识 解 决 新 问题 的可 持 续 发展 能力 考 查 的优 秀 风 格 延 续 从 学 生 阅读 理解能力到学生综合素养的检测无疑是很好 的设 计 思路 也 有 了一 个 很 好 的呈 现 但 有 点 遗 憾 的 是 不 论是 定 时独立 解题 体 验 还 是 后来 阅读 该 题 参考答案的老师学生们都有对题 目表述 十分抽 象 不好 理解 的苦涩感 觉 特别 是 第 问 其实 如 果将 2 0 1 4年 北京 文科 的最末 填 空 题 作 为背景 放 上 学 生 通 过简 单 问题 的解 决 或 背 景 资料 的阅读 将 自己熟悉的生活事理 由于每件产 品 的精加 工 必 须 在粗 加 工 之 后 所 以 师傅 必 须 等 徒弟粗加工完第一件产品后 才能开工 师傅最后 一 件产品的精加工时徒弟必然 已经开始休 息 因 此 应该 把粗 加 工所需 时 间最 短 的安 排在 最 前 面 让师傅尽早开工 把精加工所需时间最短的安排 在 最后 让 师傅 尽 早结 束 概 括 抽 象 出 数 学 模 型 这 样 让压 轴题 一下 就鲜 活 了 丰富 了 这 样 的 长 并不多 而且让学 生有 了解 决第 问的 思想 根 自然会对第 问的形式生发理性结论 给 定 的两个 数 对 将 数 值 较 小 的 两 个 数 放 在 最 外 边 得 到 的 T P 比放 在 靠里 边 得 到 的 T P 小 将此思想方法扩充 到三个数对 五个数对 自 然就解决 了 只需写出结论 的第 问 学生当然 也就 在解 决 问题 的过 程 中亲 身感 受数 学有 用 而 乐 在 其 中 了 从 如上 六个 方 面七 个 典 例 的深 刻 剖析 也 让 我们深切感到 一定不能让试 题的表述成为考生 分 析 问题 和解决 问题 的障碍 况且 从 统计 分 析 得 知 几 乎所 有数 学 试 卷 都 需 要 学 生 在 两 个 小 时 内 解 决 2 9 个 左右 的问题 平 均要 在 4 1 3 8分 钟 解 决 2 0 1 5年 第 5 4卷 第 5期 数 学通报 5 7 一 个 问 题 有 的 省 市 整 张 试 卷 字 数 近 2 0 0 0 学 生 平均每分钟要阅读 3 4个字 还不包括诸如江西理 科卷对考试的特别提醒 请 考生在下列两题 中任 选 题作答 若两题都做 则按所做 的第一题评 阅 计 分 湖北 对考 生 的特 别 提 醒 请 将 答 案 填 在 答 题卡 对 应题 号 的位 置 上 答 错 位 置 书 写 不 清 模 棱两可均不得分 所 以试题的表述与试卷呈现的 设计确实是值得命题者研究的一个大问题 怎样 精当简约的表述有利于真正考查出学生最重要 的 数学能力 参考文献 1 任志瑜 别让高考题 的表述成 为 路 障 E J 3 数学通 报 Z 0 1 4 4 4 9 上接 第 5 2页 由不等关系 有学生想到了 夹逼法 即若 能 否在 曲线 y I n z下方也 找 一条 过点 1 0 的 曲 线 在该点处也最逼近曲线 y I n 且 曲线 的解 析式是有理函数 用此有理函数代替 I n z 便 可得到另一不等式 课本中并无一曲线在某点处最逼近另一 曲线 之说 不妨设两 曲线在某公共点处有相同的切线 作 为 最逼 近 的标 准 依据曲线 Y I n 的特征 容易想到反 比例 函数图象 但需 作适 当平移 为此 考虑 函数 Y一 口 一 鱼 O 因 图象 经 过 点 1 O 所 以 口一 k 因此 解析式又可写成Y k 1 一 叉该函数 在 1 O 处与直线 y z 一 1相切 所以在 z 1 时 的导数 等 于 1 解 得 k一 1 故所求函数是Y 1 一 z 0 下面考虑 其图象是否在曲线 Y I n 下方 即当 x 0时 不 等式 I n z 1 一一 1 是 否恒 成 立 设 y ln z 一 1 圭 z 0 则 一 去 一 1 一 z一 1 一丁 当