《1.3.2函数的极值与导数》导学案3.doc

1.3.2函数的极值与导数导学案3问题导学一、求函数的极值活动与探究1求下列函数的极值：(1)f(x)x312x；(2)f(x)2迁移与应用求函数f(x)的极大值利用导数求函数极值的步骤：(1)求导数f(x)；(2)求方程f(x)0的所有实数根；(3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f(x)的符号如何变化如果f(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值；如果由负变正，则f(x0)是极小值；如果在f(x)0的根xx0的左右侧f(x)的符号不变，则不是极值点二、函数极值的逆应用活动与探究2已知函数f(x)ax3bx2在x1处取得极值，且极值为0(1)求a，b的值；(2)求f(x)的另一个极值迁移与应用1若x2与x4是函数f(x)x3ax2bx的两个极值点，则有()Aa2，b4 Ba3，b24Ca1，b3 Da2，b42已知函数yx36x2m有极大值13，则m的值为_(1)已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点：常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性(2)对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f(x0)0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f(x)0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解三、有关函数极值的综合问题活动与探究3已知x1是函数f(x)mx33(m1)x2nx1的一个极值点，其中m，nR，m0(1)求m与n的关系表达式；(2)求f(x)的单调区间迁移与应用1已知函数y2x3ax236x24在x2处有极值，则该函数的一个递增区间是()A(2,3) B(3，)C(2，) D(，3)2已知函数f(x)ax3bx23x在x1处取得极值(1)讨论f(1)和f(1)是函数f(x)的极大值还是极小值；(2)过点A(0,16)作曲线yf(x)的切线，求此切线方程(1)利用导数可探究出函数的单调性与极值情况，据图象走势及最高点、最低点画出函数的大致图象(2)研究方程根的个数问题时，可利用数形结合的思想方法，将问题转化为两函数图象交点个数的问题，然后借助函数的单调性和极值情况进行求解答案：课前预习导学【预习导引】1(1)0f(x)0f(x)0(2)f(x)0f(x)0极大值点极小值点极大值极小值预习交流1提示：(1)不一定，例如对于函数f(x)x3，虽有f(0)0，但x0并不是f(x)x3的极值点，要使导数为0的点成为极值点，还必须满足其他条件(2)不可以，函数在一个区间的端点处一定不可能取得极值，因为不符合极值点的定义(3)在一个给定的区间上，函数可能有若干个极值点，也可能不存在极值点；函数可以只有极大值，没有极小值，或者只有极小值没有极大值，也可能既有极大值，又有极小值极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小2(1)极大值(2)极小值预习交流2提示：f(x)33x2，令f(x)0得x1，由极值的定义可得函数的极大值为f(1)2，极小值为f(1)2课堂合作探究【问题导学】活动与探究1思路分析：首先从方程f(x)0入手，求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点，然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点解：(1)函数f(x)的定义域为Rf(x)3x2123(x2)(x2)令f(x)0，得x2，或x2当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，2)2(2,2)2(2，)f(x)00f(x)单调递增16单调递减16单调递增从上表可以看出：当x2时，函数有极大值，且f(2)16；当x2时，函数有极小值，且f(2)16(2)函数的定义域为Rf(x)令f(x)0，得x1，或x1当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1,1)1(1，)f(x)00f(x)单调递减3单调递增1单调递减由上表可以看出：当x1时，函数有极小值，且f(1)3；当x1时，函数有极大值，且f(1)1迁移与应用解：函数定义域为(0，)，f(x)，令f(x)0，得x，且当0x时，f(x)0，当x时，f(x)0，所以f(x)在x处取得极大值f()活动与探究2思路分析：由极值的定义可知f(1)0，再结合f(1)0，建立关于a，b的方程即可求得a，b的值，从而得出另一个极值解：(1)f(x)ax3bx2，f(x)3ax2b依题意可得f(1)0且f(1)0，即解得(2)由(1)知f(x)x33x2，f(x)3x23令f(x)0得3x230，所以x1故函数f(x)在x1处取得另一个极值，且极值等于f(1)1324迁移与应用1B解析：f(x)3x22axb，依题意有2和4是方程3x22axb0的两个根，所以有24，24，解得a3，b24219解析：y3x212x3x(x4)，令y0，得x0，或x4当x0，或x4时，y0，函数单调递减；当0x4时，函数单调递增，故f(x)在x4处取得极大值，且f(4)6496m13，故m19活动与探究3思路分析：本题主要考查运用导数来解函数的极值和函数的单调性问题解决本题的关键是利用已知条件得到m，n的关系式和分类讨论的运用解：(1)f(x)3mx26(m1)xnx1是f(x)的一个极值点，f(1)0，即3m6(m1)n0，n3m6(2)由(1)知，f(x)3mx26(m1)x3m63m(x1)当m0时，有11，当x变化时，f(x)与f(x)的变化如下表：x11(1，)f(x)00f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当m0时，f(x)在上单调递减，在上单调递增，在(1，)上单调递减当m0时，有11，当x变化时，f(x)与f(x)的变化如下表：x(，1)11f(x)00f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增上表知，当m0时，f(x)在(，1)上单调递增，在上单调递减，在上单调递增迁移与应用1B解析：因为函数y2x3ax236x24是可导函数，且在x2处有极值，所以有f(2)0，而f(x)6x22ax36，代入得a15，这时f(x)6x230x36，再令f(x)0，解得x3，或x2，所以该函数的递增区间是(3，)和(，2)2解：(1)f(x)3ax22bx3依题意，f(1)f(1)0，即解得a1，b0，f(x)x33x，f(x)3x233(x1)(x1)令f(x)0，得x1，x1若x(，1)(1，)，则f(x)0，故f(x)在(，1)上是增函数，f(x)在(1，)上也是增函数若x(1,1)，则f(x)0，故f(x)在(1,1)上是减函数f(1)2是极大值，f(1)2是极小值(2)曲线方程为yx33x点A(0,16)不在曲线上，可设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0x3x0f(x0)3(x1)，故切线的方程为yy03(x1)(xx0)又点A(0,16)在切线上，16(x3x0)3(x1)(0x0)，化简得x8，解得x02切点为M(2，2)，切线方程为9xy160当堂检测1若函数f(x)2x33ax236x1在x2处有极值，则a的值为()A5 B5 C8 D8答案：A解析：f(x)6x26ax36，依题意f(2)0，所以2412a360，解得a52函数f(x)ln xx在区间(0，e)上的极大值为()Ae B1 C1e D0答案：B解析：定义域为(0，)，令f(x)0得x1，且当0x1时，f(x)0，x(1，e)时f(x)0，故f(x)在x1处取得极大值f(1)ln 110113设函数f(x)xex，则()Ax1为f(x)的极大值点Bx1为f(x)的极小值点Cx1为f(x)的极大值点Dx1为f(x)的极小值点答案：D解析：由f(x)xex(ex)xexexxex(x1)0，得x1当x1时，f(x)0，f(x)在(，1)上单调递减；当x1时，f(x)0，f(x)在(1，)上单调递增所以x1为f(x)的极小值点4设aR，若函数yexax，xR有大于零的极值点，则a的取值范围是_答案：a1解析：yexa，依题意方程exa0有大于0的实数根，所以ex1，所以ex1由aex，所以a15求下列函数的极值：(1)y2x36x218x3；答案：解：函数的定义域为Ry6x212x186(x3)(x1)，令y0，得x3，或x1当x变化时，y，y的变化情况如下表：x(，3)3(3,1)1(1，)y00y单调递增57单调递减7单调递增从上表