《1.4 导数在实际生活中的应用》同步练习.doc

1.4课时作业 同步练习一、填空题1一质点沿直线运动，如果由始点起经过t秒后的距离为St32t2，则速度为零的时刻是_秒末【解析】S4t24t，令S0，得t0或t1，速度为0的时刻是0秒末或1秒末【答案】0或12已知某矩形广场面积为4万平方米，则其周长至少为_米【解析】设广场的长为x米，则宽为米，于是其周长为y2(x)(x0)，所以y2(1)令y0，得x200或x200(舍去)，当0x200时，y0；当x200时，y0.故当x200时，y取得最小值800，即矩形广场的周长至少为800米【答案】8003要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则其高为_【解析】设该漏斗的高为x cm，则底面半径为 cm，其体积为Vx(202x2)(0x20)，则V(4003x2)令V0，解得x或x(舍去)当0x时，V0；当x20时，V0，所以当x时，V取得最大值【答案】 cm4某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k0)，贷款的利率为0.048，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率为x(x(0，0.048)，则存款利率定为_时，银行可获得最大利润【解析】设利润为y，则ykx2(0.048x)0.048kx2kx3，y0.096kx3kx2.令y0得x10(舍去)，x20.032.【答案】0.0325设底面为等边三角形的直棱柱的体积为V，则其表面积最小时，底面边长为_【解析】设直棱柱的底面边长为a，高为h，依题意，a2hV，ah.因此表面积S3ah2a2a2.Sa，由S0，得a.易知当a时，表面积S取得最小值【答案】6某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为Q，则销售量Q(单位：件)与零售价p(单位：元)有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为_元(毛利润销售收入进货支出)【解析】设毛利润为L(p)，则题意知：L(p)pQ20Q(8 300170pp2)(p20)p3150p211 700p166 000，所以，L(p)3p2300p11 700.令L(p)0，解得p30或p130(舍去)此时，L(30)23 000.因为在p30附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0，所以L(30)是极大值，根据实际问题的意义知，L(30)是最大值，即零售价定为每件30元时，最大毛利润为23 000元【答案】23 0007现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为35海里/时，A地至B地之间的航行距离约为500海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为0.6)，其余费用为每小时960元为了使全程运输成本最小，轮船行驶速度应为_海里/时【解析】设轮船行驶速度为x海里/时，运输成本为y元依题意得y(9600.6x2)300x，x(0，35则y300，x(0，35又当0x35时，y0，所以y300x在(0，35上单调递减，故当x35时，函数y300x取得最小值故为了使全程运输成本最小，轮船应以35海里/时的速度行驶【答案】35图1428如图142所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形(其中一边长为x)，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器当这个正六棱柱容器的底面边长为_时，其容积最大【解析】由题意可知，正六棱柱的底面边长为12x，高为xtan 60x，所以六棱柱的体积为V(x)6(12x)2x(4x34x2x)(0x0；当x(，)时，V(x)0，所以x时函数取得极大值，也是最大值此时正六棱柱的底面边长为.【答案】二、解答题图1439要做成一个截面为等腰梯形的水槽，下底长和腰都为a，如图143，则斜角为多大时，水槽的流量最大？【解】设横截面面积为S，则S(ABED)CD，ABa2acos ，CDasin ，Sa(a2acos )asin a2sin (1cos )(0)又Sa2(2cos2cos 1)，令S0，即a2(2cos2cos 1)0，得cos 或cos 1.因为0，故cos 1，则cos ，此时.而0时，S0；时，S0.故当时，横截面的面积最大，此时，水槽的流量最大10甲乙两地相距400千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P(元)关于速度v(千米/小时)的函数关系是Pv4v315v，(1)求全程运输成本Q(元)关于速度v的函数关系式；(2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大速度行驶？并求此时运输成本的最小值【解】(1)QP(v4v315v)(v3v215)400v26 000(0v100)(2)Q5v，令Q0，则v0(舍去)或v80，当0v80时，Q0；当80v100时，Q0.当v80千米/小时时，全程运输成本取得极小值，又函数在(0，100内有惟一极小值，也就是最小值故运输成本的最小值为Q(80)(元)11某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2)x万元假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素记余下工程费用为y万元(1)试写出y关于x的函数关系式；(2)当m640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？【解】(1)设需新建n个桥墩，则(n1)xm，n1，所以yf(x)256n(n1)(2)x256(1)(2)xm2m256.(2)由(1)知，f(x)mx(