赵胜专题——空间几何体的表面积与体积高考题训练.doc

xxx学校2012-2013学年度3月月考卷学校:_姓名：_班级：_考号：_一、选择题（题型注释）1.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示，图中蓝色数字所表示的为直接从题目所给三视图中读出的长度，黑色数字代表通过勾股定理的计算得到的边长。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选B。2.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）A B C D 3.如右图，已知正四棱锥所有棱长都为1，点E是侧棱上一动点，过点垂直于的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记截面下面部分的体积为则函数的图像大致为 4.已知三棱锥的所有顶点都在球的求面上，是边长为的正三角形，为球的直径，且；则此棱锥的体积为（ ） 5.平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为 （A） （B）4 （C）4 （D）66.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）A. 28+6 B. 30+6 C. 56+ 12 D. 60+12 7.已知球的直径SC=4，。A.,B是该球球面上的两点，AB=2，ASC=BSC=45，则棱锥S-ABC的体积为（A） (B)(C) (D)8.设球的体积为，它的内接正方体的体积为，下列说法中最合适的是A. 比大约多一半B. 比大约多两倍半C. 比大约多一倍D. 比大约多一杯半9.已知平面截一球面得圆M，过圆心M且与成二面角的平面截该球面得圆N.若该球面的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A)7 (B)9 (C)11 (D)1310.已知平面截一球面得圆M ， 过圆心M且与成，二面角的平面截该球面得圆N.若该球的半径为4，圆M的面积为4，则圆N的面积为 (A) (B) (c) (D)11.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，ACB=900,ACC1=600,BCC1=450,侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于A. B. C. D. 12.如图，在半径为3的球面上有三点，=90，,球心O到平面的距离是，则两点的球面距离是 A. B. C. D.213.在正四棱柱中，顶点到对角线和到平面的距离分别为和，则下列命题中正确的是（ ）A若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为B若侧棱的长小于底面的变长，则的取值范围为C若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为D若侧棱的长大于底面的变长，则的取值范围为14.已知球的直径SC=4，A,B是该球球面上的两点，AB=，则棱锥S-ABC的体积为（A） （B） （C） （D）115.（2009辽宁卷理）正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥DGAC与三棱锥PGAC体积之比为（A）1：1 (B) 1：2 (C) 2：1 (D) 3：216.(2009陕西卷理)若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 (A) (B) (C) (D) 评卷人得分二、填空题17.已知点P，A，B，C，D是球O表面上的点，PA平面ABCD，四边形ABCD是边长为2正方形。若PA=2,则OAB的面积为_.18.一个高为2的圆柱，底面周长为，该圆柱的表面积为 19.若一个圆锥的侧面展开图是面积为的半圆面，则该圆锥的体积为 。20.如图，与是四面体中互相垂直的棱，若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是 。21.已知某三棱锥的三视图（单位：cm）如图所示，则该三棱锥的体积等于_cm3.22.BSD协议23.三棱锥P-ABC中，PA底面ABC，PA=3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥P-ABC的体积等于_。24.若圆锥的侧面积为，底面面积为，则该圆锥的体积为 .25.B26.（5分）如图，在长方体中，则四棱锥的体积为 cm327.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.1528.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_.29.已知两个圆锥有公共底面，且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上，若圆锥底面面积是这个球面面积的，则这两个圆锥中，体积较小者的高与体积较大者的高的比值为 。30.已知矩形的顶点都在半径为4的球的球面上，且,则棱锥的体积为 。31.如图，半径为R的球O中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是 . 32.水平桌面上放有4个半径均为2R的球,且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R的小球，它和下面的4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面的距离是 .33.已知圆O1是半径为R的球O1的一个小圆，且圆O的面积与球O的表面积的比值为，则线段OO1与R的比值为 。34.如图，半径为4的球O中有一内接圆柱当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是_35.（2009江苏卷）在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 . 36.（2009江西卷文）体积为的一个正方体，其全面积与球的表面积相等，则球的体积等于 37.（2009江西卷理）正三棱柱内接于半径为的球，若两点的球面距离为，则正三棱柱的体积为 38.（2009全国卷理）设是球的半径，是的中点，过且与成45角的平面截球的表面得到圆。若圆的面积等于，则球的表面积等于 .39.（2009年上海卷理）已知三个球的半径，满足，则它们的表面积，满足的等量关系是_. 评卷人得分三、解答题40.如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）证明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥P-ABCD的体积.41.(本小题满分12分)如图，直三棱柱，AA=1，点M，N分别为和的中点。 ()证明：平面; ()求三棱锥的体积。（椎体体积公式V=Sh,其中S为地面面积，h为高）42.（本小题满分12分） 如图5，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中点.来源%:*中#国教育出版网（）证明：CD平面PAE；（）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.43.（本小题满分12分） 如图6，在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，ADBC，ACBD.（）证明：BDPC；（）若AD=4，BC=2，直线PD与平面PAC所成的角为30，求四棱锥P-ABCD的体积. 中国教*育出#版%44.如图，在交AC于 点D,现将（1）当棱锥的体积最大时，求PA的长；（2）若点P为AB的中点，E为45. （1）如图，对于任一给定的四面体，找出依次排列的四个相互平行的平面 ，使得（i=1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等； （2）给定依次排列的四个相互平行的平面，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体的四个顶点满足：（i=1,2,3,4），求该正四面体的体积.46.如图，四棱锥P-ABCD中，PA底面ABCD，ABAD，点E在线段AD上，且CEAB。 （I）求证：CE平面PAD；（11）若PA=AB=1，AD=3，CD=，CDA=45，求四棱锥P-ABCD的体积47.如图，平行四边形中，将沿折起到的位置，使平面平面 （I）求证： （）求三棱锥的侧面积。48.本题共有两个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 如图，正四棱柱的底面边长为，高为，为线段的中点.求：（1）三棱锥的体积；（2）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）49.（本小题满分12分，（）小问6分，（）小问6分） 如题（20）图，在四面体中，平面ABC平面， （）求四面体ABCD的体积； （）求二面角C-AB-D的平面角的正切值。50.（2009广东卷理）（本小题满分14分）如图6，已知正方体的棱长为2，点是正方形的中心，点、分别是棱的中点设点分别是点，在平面内的正投影（1）求以为顶点，以四边形在平面内的正投影为底面边界的棱锥的体积；（2）证明：直线平面；（3）求异面直线所成角的正弦值.zyxE1G1试卷答案1.B2.B从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，本题所求表面积为三棱锥四个面的面积之和。利用垂直关系和三角形面积公式，可得：，因此该几何体表面积，故选B。3.A（定性法）当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越快；当时，随着的增大，观察图形可知，单调递减，且递减的速度越来越慢；再观察各选项中的图象，发现只有A图象符合.故选A.【点评】对于函数图象的识别问题，若函数的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，没必要去求解具体的解析式，不但方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃；再次，作为选择题也没有太多的时间去给学生解答；因此，使用定性法，不但求解快速，而且准确节约时间.4.A5.B6.B7.C本题主要考查了球与多面体的组合体问题，考查了割补思想在球体积中的应用，难度中等。连结OA、OB，则OA=OB=OS,又，则，即面OAB，球半径为2，故为边长为2的等边三角形，,则,选B. (11)函数的定义域为R，对任意，则f(x)2x+4的解集为（A）(-1,1) (B) (C)(-,-1) (D)(-,+)【答案】B本题主要考查了.导数在函数中的应用，合理构造函数是解答本题的关键，难度较大。令，即为增函数，又因为，所以，因此的解集为，选B。8.D 本题主要考查了球的体积以及正方体的体积公式和球的内接正方体之间的关系，同时考查了数形结合思想.属中等题设球的半径为R，正方体的半径为r，所以因为，故大约比多2倍半选D答案.9.D 本题主要考查了球的性质和二面角的概念。是难度较大的题目。OMN60 球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，如图 由题意球半径,圆M半径为2，所以 又因为圆面M与圆面N成的二面角为60，所以 则，所以圆N的半径为，圆N的面积为.10.D 本题主要考查了球的性质和二面角的概念，难度较高。OMN60 球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，如图 由题意球半径,圆M半径为2，所以 又因为圆面M与圆面N成的二面角为60，所以 则，所以圆N的半径为，圆N的面积为.11.A解析：过顶点A作底面ABC的垂线，由已知条件和立体几何线面关系易求得高的长.12.B解析：AC是小圆的直径。所以过球心O作小圆的垂线，垂足O是AC的中点。 OC，AC3，BC3，即BCOBOC。，则两点的球面距离13.C解析：设底面边长为1，侧棱长为，过作。在中，由三角形面积关系得设在正四棱柱中，由于，所以平面，于是，所以平面，故为点到平面 的距离，在中，又由三角形面积关系得于是，于是当，所以，所以14.C本题主要考查了球与多面体的组合体问题，考查了割补思想在球体积中的应用，难度中等.连结OA、OB，则OA=OB=OS,又，则，作面OAB，连结OH，由三余弦定理得：,即，点C到平面AOB的距离为，球半径为2， ，因此,则,选C.15.C解析：由于G是PB的中点,故PGAC的体积等于BGAC的体积 在底面正六边形ABCDER中 BHABtan30AB 而BDAB 故DH2BH 于是VDGAC2VBGAC2VPGACABCDEFH16.B解析：正方体各个面的中心为顶点的凸多面体是两个全等的正四棱锥，该棱锥的高时正方体高的一半，底面面积是正方体一个面面积的一半，17.点【点评】本题主要考查组合体的位置关系、抽象概括能力、空间想象能力、运算求解能力以及转化思想，该题灵活性较强，难度较大。该题若直接利用三棱锥来考虑不宜入手，注意到条件中的垂直关系，把三棱锥转化为长方体来考虑就容易多了。18.底面圆的周长，所以圆柱的底面半径，所以圆柱的侧面积为两个底面积为。，所以圆柱的表面积为。19.因为半圆面的面积为，所以，即，即圆锥的母线为，底面圆的周长，所以圆锥的底面半径，所以圆锥的高，所以圆锥的体积为。20.。过点A做AEBC，垂足为E，连接DE，由ADBC可知，BC平面ADE，所以=，当AB=BD=AC=DC=a时，四面体ABCD的体积最大。过E做EFDA，垂足为点F，已知EA=ED，所以ADE为等腰三角形，所以点E为AD的中点，又，EF=，=，四面体ABCD体积的最大值=。21.1观察三视图知该三棱锥的底面为一直角三角形，右侧面也是一直角三角形故体积等于22.该几何体是底面是直角梯形，高为的直四棱柱，几何体的的体积是。23.本题考查棱锥的体积公式，难度较小。 V=24.本题考查圆锥的侧面积、体积计算，难度中等.因为圆锥的底面积是，所以底面半径，又侧面积是，所以，解得母线长，所以该圆锥的高为，体积为.25.26.6。【考点】正方形的性质，棱锥的体积。长方体底面是正方形，中 cm，边上的高是cm（它也是中上的高）。 四棱锥的体积为。由27.由三视图可知，该几何体是由左右两个相同的圆柱（底面圆半径为2，高为1）与中间一个圆柱（底面圆半径为1，高为4）组合而成，故该几何体的体积是.【点评】本题考查圆柱的三视图的识别，圆柱的体积.学生们平常在生活中要多多观察身边的实物都是由什么几何形体构成的，以及它们的三视图的画法. 来年需注意以三视图为背景，考查常见组合体的表面积.28.12+由三视图可知该几何体为一个长方体和一个等高的圆柱的组合体，其中长方体的长、宽、高分别为4、3、1，圆柱的底面直径为2，高位1，所以该几何体的体积为【点评】本题主要考查几何体的三视图、柱体的体积公式，考查空间想象能力、运算求解能力，属于容易题。本题解决的关键是根据三视图还原出几何体，确定几何体的形状，然后再根据几何体的形状计算出体积。29.本题主要考查了球的表面积公式及球截面中有关三角形的运算，有一定难度.设圆锥底面半径及球半径分别为r、R，两圆锥的高分别为、，由题意可知,+=2R,，从而求得,所以:=. 30.如图，过球心O向AC作垂线OE由球的对称性知一定垂直平分AC，由长方形AB=6,BC=,得AC=2AE=，即AE=，由勾股定理可得OE=，所以.31. 本题考查了球、圆柱的侧面积及基本不等式的知识，考查了学生综合运用知识解决问题的能力，难度中等。 设圆柱的底面半径为r，高为h，则有，圆柱的侧面积为，当且仅当时等号成立，所以球的表面积与圆柱的最大侧面积之差为.32.3R33.34.32如图，设球一条半径与圆柱相应的母线夹角为，圆柱侧面积，当时，S取最大值，此时球的表面积与该圆柱的侧面积之差为35.1：8 解析：考查类比的方法。体积比为1：8 36.解析：设球的半径为，依题设有，则，球的体积为 37.解析：由条件可得，所以，到平面的距离为，所以所求体积等于38.解析：设球半径为，圆的半径为， 因为。由得.故球的表面积等于.39.解析：，同理：，即R1，R2，R3，由得40.（）因为又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.（）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，所以均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积在等腰三角形中，所以故四棱锥的体积为.41.本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定、棱锥体积的计算，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，难度适中。第一小题可以通过线线平行来证明线面平行，也可通过面面平行来证明；第二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键，也可以采用割补发来球体积。42.解法1（如图（1），连接AC，由AB=4，是的中点，所以所以而内的两条相交直线，所以CD平面PAE.（）过点作由（）CD平面PAE知，平面PAE.于是为直线与平面PAE所成的角，且.由知，为直线与平面所成的角.由题意，知因为所以由所以四边形是平行四边形，故于是在中，所以于是又梯形的面积为所以四棱锥的体积为解法2：如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：（）易知因为所以而是平面内的两条相交直线，所以()由题设和（）知，分别是，的法向量，而PB与所成的角和PB与所成的角相等，所以由（）知，由故解得.又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为 .【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明即可，第二问算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积，或者建立空间直角坐标系，求得高几体积.43.（）因为又是平面PAC内的两条相较直线，所以BD平面PAC，而平面PAC，所以.（）设AC和BD相交于点O，连接PO，由（）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，从而.由BD平面PAC，平面PAC，知.在中，由，得PD=2OD.因为四边形ABCD为等腰梯形，所以均为等腰直角三角形，从而梯形ABCD的高为于是梯形ABCD面积在等腰三角形中，所以故四棱锥的体积为.【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明，考查空间角的应用，及几何体体积计算.第一问只要证明BD平面PAC即可，第二问由（）知，BD平面PAC，所以是直线PD和平面PAC所成的角，然后算出梯形的面积和棱锥的高，由算得体积.44.本题考查了立体几何体积计算以及线线位置关系的确定，通过图形翻折这一载体，突出考查空间感及对空间位置关系的掌握。第一问通过设置体积，在转化为函数的的最值问题，依托三次函数，利用求导处理；第二问，选对来说单薄了一些，本题着力于体积问题函数化，综合考查学生对知识的掌握。难度偏大。 （1）设，则 令 则 单调递增极大值单调递减由上表易知：当时，有取最大值。证明：（2） 作得中点F，连接EF、FP 由已知得： 为等腰直角三角形， 所以.45.本题考查了空间中有关平面的做法、线面的位置关系，考查了几何体的体积的计算，考查了同学们的空间想象能力以及解决问题的能力。（1）将直线三等分，其中另两个分点依次为,连接,作平行于的平面，分别过，即为。同理，过点作平面即可的出结论。 （2）现设正方体的棱长为a,若，由于得，那么，正四面体的棱长为，其体积为（即