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湘潭大学数学学院岳慧 第四节补充空间曲线及其方程 第六章 一 空间曲线的一般方程 二 空间曲线的参数方程 三 空间曲线在坐标面上的投影 湘潭大学数学学院岳慧 一 空间曲线的一般方程 空间曲线可视为两曲面的交线 其一般方程为方程组 例如 方程组 表示圆柱面与平面的交线C 湘潭大学数学学院岳慧 又如 方程组 表示上半球面与圆柱面的交线C 湘潭大学数学学院岳慧 二 空间曲线的参数方程 将曲线C上的动点坐标x y z表示成参数t的函数 称它为空间曲线的参数方程 当给定 时 就得到曲线上的一个点 随着参数的变化可得到曲线上的全部点 湘潭大学数学学院岳慧 圆柱螺旋线 的参数方程为 螺旋线的重要性质 上升的高度与转过的角度成正比 上升高度 称为螺距 湘潭大学数学学院岳慧 例2 将下列曲线化为参数方程表示 解 1 根据第一方程引入参数 2 将第二方程变形为 故所求为 得所求为 湘潭大学数学学院岳慧 例3 求空间曲线 绕z轴旋转 时的旋转曲面方程 解 点M1绕z轴旋转 转过角度 后到点 则 这就是旋转曲面满足的参数方程 湘潭大学数学学院岳慧 例如 直线 绕z轴旋转所得旋转曲面方程为 消去t和 得旋转曲面方程为 湘潭大学数学学院岳慧 绕z轴旋转所得旋转曲面 即球面 方程为 又如 xOz面上的半圆周 说明 一般曲面的参数方程含两个参数 形如 湘潭大学数学学院岳慧 三 空间曲线在坐标面上的投影 设空间曲线C的一般方程为 消去z得投影柱面 则C在xOy面上的投影曲线C 为 消去x得C在yOz面上的投影曲线方程 消去y得C在zOx面上的投影曲线方程 湘潭大学数学学院岳慧 湘潭大学数学学院岳慧 例4 求 在xOy面上的投影曲线方程 解 1 消去z 求投影柱面 将 式代入 式 得 再代回 式 得 2 得到投影曲线方程 湘潭大学数学学院岳慧 例5 设一个立体由上半球面 和锥面 所围成 求它在xOy面上的投影 解 二者交线 消去z得投影柱面 在xOy面上的投影曲线 所围圆域 湘潭大学数学学院岳慧 湘潭大学数学学院岳慧 练习1 求曲线在坐标面上的投影 解 1 消去变量z后得 在面上的投影为 湘潭大学数学学院岳慧 所以在面上的投影为线段 3 同理在面上的投影也为线段 2 因为曲线在平面上 湘潭大学数学学院岳慧 练习2 求抛物面 与平面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方程 截线方程为 解 1 消去z得投影柱面 故在xOy面上的投影为 湘潭大学数学学院岳慧 2 消去y得投影柱面 故在zOx面上的投影为 3 消去x得投影柱面 故在yOz面上的投影为 湘潭大学数学学院岳慧 内容小结 空间曲线 三元方程组
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